無限に消える

数学において、関数が無限大で消滅するとは、入力が際限なく増大するにつれて関数の値が0に近づくことを言います。この定義には2つの異なる方法があり、1つはノルムベクトル空間上で定義された関数に適用され、もう1つは局所コンパクト空間上で定義された関数に適用されます。この違いを除けば、これらの概念はどちらも、無限大に点を追加し、関数の値がそれに近づくにつれて0に任意に近づくことを要求するという直感的な概念に対応しています。この定義は、多くの場合、（実際の）無限大に点を追加することで形式化できます。

定義

ノルムベクトル空間上の関数は、入力が限界なく増加するにつれて（つまり、のとき）、関数の値が に近づくとき、すなわち、 ${\displaystyle f:X\rightarrow\mathbb{C}}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(x)\to 0}$ ${\displaystyle \|x\|\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{\|x\|\to \infty }f(x)=0.}$

実数直線上では、これは次のように簡略化される。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }f(x)=0.}$

例えば、関数

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}},}$

実数直線上で定義され、無限遠で消えます。

あるいは、局所コンパクト空間上の関数が無限遠で消滅する場合、任意の正の数を与えると、次のようなコンパクト部分集合が存在する。^{[1] [2]}${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K\subseteq \Omega }$

${\displaystyle \forall x\in \Omega \setminus K\,,\quad |f(x)|<\varepsilon .}$

言い換えれば、任意の正数に対して、集合はコンパクト閉包を持つ。与えられた局所コンパクト空間に対して、そのような関数の 集合は${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left\{x\in \Omega :|f(x)|\geq \varepsilon \right\}}$ ${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {K} }$

のいずれかまたは両方が、点ごとのスカラー乗算と加算に関して-ベクトル空間を形成する。これは、しばしば次のように表記される。${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C_{0}(\オメガ ).}$

例えば、関数

${\displaystyle h(x,y)={\frac {1}{x+y}}}$

ここで、およびは 1 以上の実数であり、上の点が無限遠で消えることに対応します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 1}^{2}}$

ノルム空間が局所コンパクトであるためには、有限次元であることが必須です。したがって、この特定のケースでは、「無限遠で消滅する」関数には2つの異なる定義があります。この2つの定義は互いに矛盾する可能性があります。無限次元バナッハ空間の場合、定義によれば は無限遠で消滅しますが、コンパクト集合の定義によれば は消滅しません。 ${\displaystyle f(x)=\|x\|^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f(x)\|\to 0}$

急速に減少

概念を洗練させると、無限遠における関数の消失率をより詳しく見ることができます。数学的解析における基本的な直観の一つは、フーリエ変換が滑らかさの条件と無限遠における消失率の条件を入れ替えることです。ビッグオー記法を用いると、緩和分布理論の急速に減少する検定関数は滑らかな関数であり 、

${\displaystyle O\left(|x|^{-N}\right)}$

すべての、 、 に対して、それらの偏微分がすべて同じ条件を満たすような関係が成り立つ。この条件はフーリエ変換の下で自己双対となるように設定されているため、対応する緩和分布の分布理論も同じ性質を持つ。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |x|\to \infty }$

参照

• 無限 – 数学的概念
• 射影的に拡張された実数直線 – 無限遠点が追加された実数
• 関数の零点 – 関数の値が零となる点

引用

1. 「無限大で消える関数 - 数学百科事典」www.encyclopediaofmath.org . 2019年12月15日閲覧。
2. 「nLabにおける無限遠点消失」ncatlab.org . 2019年12月15日閲覧。

参考文献

• Hewitt, E.とStromberg, K. (1963).実解析と抽象解析. Springer-Verlag.