反射的な空間

関数解析として知られる数学の分野において、反射空間は局所凸位相 ベクトル空間であり、その双対（の強双対の強双対）への標準的な評価写像が同相写像（またはTVS同型）となる。ノルム空間が反射的となるのは、この標準的な評価写像が全射である場合に限り、その場合、この（常に線形の）評価写像は等長同型であり、ノルム空間はバナッハ空間である。標準的な評価写像が全射である空間は半反射空間と呼ばれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1951年、RCジェームズは、現在ジェームズ空間として知られるバナッハ空間を発見した。この空間は反射的ではない（つまり、標準評価写像は同型ではない）が、それでもその双双対と等長同型である（このような等長同型は必ずしも標準評価写像ではない）。したがって重要なのは、バナッハ空間が反射的であるためには、その双双対と等長同型であるだけでは不十分であり、特に標準評価写像が同相でなければならないということである。

反射空間は、局所凸TVSの一般理論、特に バナッハ空間の理論において重要な役割を果たします。ヒルベルト空間は反射バナッハ空間の代表的な例です。反射バナッハ空間は、しばしばその幾何学的性質によって特徴付けられます。

意味

バイデュアルの定義

が体（実数または複素数）上の位相ベクトル空間（TVS）で、その連続双対空間が上の点を分離する（つまり、任意の に対して、となるような が存在する）と仮定する。（テキストによっては と表記される）を の強双対とすると、 は上の連続線型汎関数のベクトル空間で、の有界部分集合上で一様収束する位相を備えている。この位相は強双対位相とも呼ばれ、連続双対空間に配置される「デフォルト」の位相である（別の位相が指定されない限り）。 がノルム空間である場合、 の強双対は、通常のノルム位相を持つ連続双対空間である。で示されるの双双対は、の強双対である。つまり、空間^[1]である。がノルム空間である 場合、 はバナッハ空間の通常のノルム位相を持つ連続双対空間である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,x\neq 0}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle X_{\beta}^{\prime}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime}}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$

評価マップと反射空間の定義

任意の に対してが で定義される。はにおける評価写像と呼ばれる線型写像である。は必然的に連続なので、 が成り立つ。は で定義される線型写像上の点を で分離する ので、は単射であり、この写像は評価写像または標準写像と呼ばれる。が全単射（または同義的に全射）であるとき、半反射的であると呼び、さらに がTVS の同型であるとき、反射的であると呼ぶ。 ^[1]規範可能空間が反射的である場合と、それが半反射的である場合と、 それが評価写像が全射的である場合と、それが反射的である場合と、それが反射的である場合と、それが反射的である場合と同義である。 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle J_{x}:X^{\prime}\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime}\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }.}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J(x):=J_{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

反射的バナッハ空間

が数体または（実数または複素数）上のノルムベクトル空間で、ノルムがであるとする。すべての連続線型関数から成り、次式で定義される 双対ノルムを備えたその双対ノルム空間を考える。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|.}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }}$ $${\displaystyle \|f\|^{\prime }=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.}$$

双対はノルム空間（正確にはバナッハ空間）であり、その双対ノルム空間はの双対空間と呼ばれる。双対はすべての連続線型関数から成り、 のノルム双対を備えている。各ベクトルは、式： によって スカラー関数を生成する。 は、上の連続線型関数である。つまり、である。このようにして、評価写像 と呼ばれる線型 写像が得られる 。これは、 である。これは、ハーン・バナッハの定理から導かれる。は単射でノルムを保存する。 つまり、は の像に等長写像する。さらに 、 の像はで閉じているが、 と等しい必要はない。${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }=\left(X^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle h:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ $${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad {\text{ 任意の }}f\in X^{\prime },}$$ ${\displaystyle J(x)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle J(x)\in X^{\prime \prime }.}$ $${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\text{ 全ての }}x\in X\qquad \|J(x)\|^{\prime \prime }=\|x\|,}$$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

ノルム空間は、次の同値な条件を満たす場合、 反射的と呼ばれます。${\displaystyle X}$

1. 評価マップは射影的であり、${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
2. 評価写像はノルム空間の等長同型写像であり、${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
3. 評価写像はノルム空間の同型写像である。${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$

反射空間はバナッハ空間である。なぜなら、反射空間はバナッハ空間と等長だからである。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

述べる

バナッハ空間が反射的であるとは、その正準埋め込みの下でその双双対に線型等長であることを意味する。ジェームズ空間は、その双双対に線型等長である非反射的空間の例である。さらに、ジェームズ空間の正準埋め込みによる像は、その双双対において余次元が1である。 ^[2] バナッハ空間は、商が有限次元であるとき、準反射的（位数）と呼ばれる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }/J(X)}$ ${\displaystyle d.}$

例

1. すべての有限次元ノルム空間は反射的です。これは単に、この場合、空間、その双対、および双対がすべて同じ線形次元を持ち、したがって、階数零定理により、定義からの線形注入が全単射であるためです。${\displaystyle J}$
2. 無限遠で0に向かうスカラー列のバナッハ空間は、上限ノルムを備えており、反射的ではない。以下の一般的な性質から、およびは反射的ではないことが分かる。なぜなら、はの双対に同型であり、はの双対に同型であるからである。${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell^{1}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell^{1}.}$
3. すべてのヒルベルト空間は反射的であり、 のLp 空間も 同様である。より一般的には、ミルマン・ペティスの定理 によれば、すべての一様凸バナッハ空間は反射的である。および空間は反射的ではない（ただし、有限次元の場合は除く。有限次元とは、例えば が有限集合上の測度である場合に起こる）。同様に、上の連続関数のバナッハ空間も反射的ではない。${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$
4. ヒルベルト空間上のシャッテン類の作用素の空間は、 のとき一様凸であり、したがって反射的である。 の次元が無限大のとき、（トレース類）は反射的ではない。なぜなら に同型な部分空間を含み、（ 上の有界線型作用素）は反射的ではない。なぜなら に同型な部分空間を含むからである。 どちらの場合も、部分空間は の与えられた直交基底に関して作用素の対角となるように選ぶことができる。${\displaystyle S_{p}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S_{1}(H)}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle S_{\infty }(H)=L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle H.}$

プロパティ

すべての有限次元ノルム空間は反射的なバナッハ空間であるため、無限次元空間のみが非反射的になり得ます。

バナッハ空間が反射的バナッハ空間と同型であれば、反射的である。^[3]${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

反射空間のすべての閉線 型部分空間は反射的である。反射空間の連続双対は反射的である。反射空間を閉部分空間で割った商はすべて反射的である。 ^[4]

をバナッハ空間とする。以下は同値である。 ${\displaystyle X}$

1. 空間は反射的です。${\displaystyle X}$
2. の連続双対は反射的である。^[5]${\displaystyle X}$
3. の閉単位球は弱位相においてコンパクトである。（これは角谷の定理として知られている。）^[6]${\displaystyle X}$
4. におけるすべての有界列には弱収束部分列が存在する。^[7]${\displaystyle X}$
5. リースの補題の命題は、実数^[注1]がちょうど^[8]であるときに成り立つ。明示的には、任意の閉ベクトル部分空間に対して、単位ノルムのベクトルが存在し、すべての${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle u\in X}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle \|uy\|\geq 1}$ ${\displaystyle y\in Y.}$
   • ベクトルとセットの間の距離を表すためにを使用すると、これはより簡単な言葉で次のように言い換えることができます:が反射的であるのは、すべての閉じた適切なベクトル部分空間に対して、の単位球面上に、部分空間から常に少なくとも の距離離れたベクトルが存在する場合のみです。${\displaystyle d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|uy\|}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1=d(u,Y)}$
   • たとえば、反射バナッハ空間に通常のユークリッドノルムが備わっていて、が平面である場合、点は次の結論を満たします。 が代わりに -軸である場合、平面内の単位円に属するすべての点は結論を満たします。${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle u=(0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle d(u,Y)=1.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle xy}$
6. 上のすべての連続線型関数は^[9]の閉単位球上でその上限値を得る（ジェームズの定理）${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

バナッハ空間のノルム閉凸部分集合は弱閉であるため、 ^{[10] の} 第三の性質から、反射空間の閉有界凸部分集合は弱コンパクトであることが分かる。したがって、交差の空でない閉有界凸部分集合の任意の減少列に対して、交差は空でない。結果として、の閉凸部分集合上の連続凸関数であって、その集合が 空でなく、ある実数に対して有界であるものはすべて、その最小値をとる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle C.}$

反射的バナッハ空間の約束された幾何学的性質は次の通りです。 が反射空間の閉じた非空凸部分集合である場合、任意の に対して、 と の点間の距離を最小化するが存在する 。これは、 に適用された凸関数に関する前述の結果から導かれます。と 間の最小距離は によって一意に定義されますが、 は定義されないことに注意してください。が一様凸である 場合、最も近い点は一意です。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle c\in C}$ ${\displaystyle \|xc\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f(y)+\|yx\|.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X}$

反射的バナッハ空間が可分であることと、その連続双対が可分であることは同値である。これは、任意のノルム空間に対して連続双対の可分性が^[11]の可分性を示唆するという事実から導かれる。${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y^{\prime}}$ ${\displaystyle Y.}$

超反射空間

非公式には、超反射的バナッハ空間は次の性質を持つ：任意のバナッハ空間が与えられたとき、 のすべての有限次元部分空間に非常に類似したコピーが のどこかに存在するならば、その空間は反射的である。この定義によれば、その空間自体も反射的である。基本的な例として、2次元部分空間が の部分空間に等長であるすべてのバナッハ空間は平行四辺形則を満たすため、^[12]はヒルベルト空間であり、したがって反射的である。超反射的空間も同様である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=\ell^{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

正式な定義では等長変換は用いられないが、ほぼ等長変換が用いられる。バナッハ空間が バナッハ空間において有限表現可能[ ^13]とは、任意の有限次元部分空間と任意のに対して、と間の乗法バナッハ・マズール距離が次を満たすような部分空間が存在することを意味する 。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle Y_{0}}$ $${\displaystyle d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .}$$

において有限表現可能なバナッハ空間はヒルベルト空間である。任意のバナッハ空間は において有限表現可能である。Lp 空間はにおいて有限表現可能である。${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{0}.}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

バナッハ空間が超反射的であるとは、有限表現可能なバナッハ空間がすべて反射的である場合、または言い換えると、非反射的空間が有限表現可能ではない場合です。バナッハ空間の族の超積 の概念^[14]により 、簡潔な定義が可能になります。バナッハ空間の超冪が反射的である場合、そのバナッハ空間は超反射的です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

ジェームズは、空間が超反射的である場合、そしてその双対が超反射的である場合に限り、そのことを証明した。^[13]

バナッハ空間における有限木

ジェームズによる超反射性の特徴付けの 1 つは、分離された木の成長を利用している。^[15] ベクトル二分木の説明は、ベクトルでラベル付けされた根付き二分木から始まる。バナッハ空間の高さ の木は、連続するレベルに編成できるのベクトルの族であり、レベル0 から始まり、木の根である単一のベクトルから成り、続いて、レベル の頂点の子で あるレベルを形成する 2 つのベクトルの族が続く。木構造 に加えて、ここでは木の 内部頂点である各ベクトルがその 2 つの子の間の中点であることが要求される。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\varnothing },}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle s^{k}}$ ${\displaystyle k:}$ $${\displaystyle \left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$$ ${\displaystyle k-1.}$ $${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$$

正の実数が与えられた場合、すべての内部頂点に対して、2 つの子が指定された空間ノルム内で - 分離されて いるとき、ツリーは- 分離されていると言われます。${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$$

定理^[15] バナッハ空間が超反射的であることと、任意の数に対して、単位球に含まれる任意の-分離木の高さが${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in (0,2\pi ],}$ ${\displaystyle n(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n(t).}$

一様凸空間は超反射的である。^[15] が一様凸で、凸性の法則が で、が の実数であるとする。凸性の法則の性質 により、単位球に含まれる高さの分離木は、半径の球に含まれるレベル点をすべて持たなければならない。帰納法により、レベル点はすべて半径の球に含まれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta_{X}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (0,2].}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 1-\delta_{X}(t)<1.}$ ${\displaystyle nk}$ $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$$

高さが非常に大きい 場合、仮定に反して、第一階層の 二点は- 分離できなくなります。この場合、必要な境界関数はのみ となります。 ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}t/2,}$$ ${\displaystyle x_{1},x_{-1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n(t),}$ ${\displaystyle \delta_{X}(t)}$

エンフロは、木特性化を用いて、 超反射的バナッハ空間が同値な一様凸ノルムを許容することを証明した[16]。バナッハ空間内の木は、ベクトル値マルチンゲールの特別な例である。^スカラーマルチンゲール理論の手法を加えて、ピシエはエンフロの結果を改善し、^[17]、超反射的空間が同値な一様凸ノルムを許容し、その凸性の絶対値が、ある定数とある実数に対して、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle q\geq 2,}$ $${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{whenever }}t\in [0,2].}$$

反射的局所凸空間

反射バナッハ空間の概念は、次のように 位相ベクトル空間に一般化できます。

を数体（実数または複素数）上の位相ベクトル空間とします。その強双対空間を考えます。この空間はすべての連続線型関数から成り、 という強位相、つまり の有界部分集合上の一様収束の位相を備えています。空間は位相ベクトル空間（より正確には、局所凸空間）なので、に対する強双対空間と呼ばれるその強双対空間を考えることができます。 この空間はすべての連続線型関数から成り、 という強位相を備えています。各ベクトルは次の式により マップを生成します。 これは 上の連続線型関数で、つまり です。これは評価マップと呼ばれるマップを誘導します。 このマップは線型です。 が局所凸である場合、ハーン・バナッハの定理から、 は単射かつ開（つまり、におけるゼロの各近傍に対して となるにおけるゼロの近傍が存在する）であることがわかります。 ただし、 は非射影および/または不連続になる場合があります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime}\to \mathbb {F} }$ $${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X^{\prime }.}$$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$ $${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

局所凸空間は ${\displaystyle X}$

• 評価マップ が全射的（したがって全単射）であれば半反射的、${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
• 評価写像が 射影的かつ連続的である場合（この場合 は位相ベクトル空間の同型^[18]）、反射的である。${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle J}$

定理^[19] —局所凸ハウスドルフ空間が半反射的であるための必要十分条件は、-位相がハイネ・ボレル性を持つ場合（すなわち、 の弱閉かつ有界部分集合が弱コンパクトである場合）である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,X^{*})}$ ${\displaystyle X}$

定理^{[20] [21]} —局所凸空間が反射的であるための必要十分条件は、それが半反射的かつ樽型である場合である。 ${\displaystyle X}$

定理^[22] —半反射空間の強い双対は樽型である。

定理^[23] —がハウスドルフ局所凸空間である場合、その双対空間への から の標準的な注入は、 がアンダーバレルである場合に限り、位相的埋め込みとなる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

半反射的空間

特徴づけ

がハウスドルフ局所凸空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$ 半反射的です。
2. 上の弱位相はハイネ・ボレル性質を持つ（つまり、弱位相に対しての任意の閉有界部分集合は弱コンパクトである）。^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X_{\sigma}}$
3. 連続な線型形式が強双対位相を持つとき、その線型形式は弱位相を持つとき連続である。^[24]${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$
4. ${\displaystyle X_{\タウ }^{\プライム }}$ 樽詰めされている。^[24]
5. ${\displaystyle X}$ 弱位相は準完全である。^[24]${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

反射的空間の特徴

がハウスドルフ局所凸空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$ 反射的です。
2. ${\displaystyle X}$ 半反射性で下垂体である。^[23]
3. ${\displaystyle X}$ 半反射的で樽型です。
4. ${\displaystyle X}$ は樽型であり、上の弱位相はハイネ・ボレル性を持つ（つまり、弱位相に対してのすべての閉有界部分集合は弱コンパクトである）。^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle X_{\sigma}}$
5. ${\displaystyle X}$ 半反射的かつ準樽型である。^[25]

がノルム空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$ 反射的です。
2. 閉じた単位球は、弱い位相を持つときコンパクトである^[26]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right).}$
3. ${\displaystyle X}$ はバナッハ空間であり反射的である。^[27]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$
4. のすべての空でない閉有界凸部分集合に対してとなるすべての列は、空でない交差を持つ。^[28]${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle C_{n+1}\subseteq C_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

定理^[29] —実バナッハ空間が反射的であるための必要十分条件は、一方が有界である空でない互いに素な凸閉部分集合のすべてのペアが超平面によって厳密に分離できることである。

ジェームズの定理—バナッハ空間 が反射的であることと、その空間上のすべての連続線型関数が閉単位球上その上限値を達成することが同じである。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$

十分な条件

ノルム空間

半反射的なノルム空間は反射的バナッハ空間である。^[30] 反射的バナッハ空間の閉ベクトル部分空間は反射的である。^[23]

をバナッハ空間、を の閉ベクトル部分空間とします。とのうちの2つが反射的であれば、それらはすべて反射的です。^{[23]これが反射性が}3空間特性と呼ばれる理由です。^[23]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,M,}$ ${\displaystyle X/M}$

位相ベクトル空間

樽型局所凸ハウスドルフ空間が半反射的であれば、それは反射的である。^[1]

反射的空間の強い双対は反射的である。^[31]すべてのモンテル空間は反射的である。^{[26]そして}モンテル空間の強い双対はモンテル空間である（したがって反射的である）。^[26]

プロパティ

局所凸ハウスドルフ反射空間は樽型である。がノルム空間ならば、は^[30]の閉部分空間への等長変換である。この等長変換は次のように表される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ $${\displaystyle \|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.}$$

がノルム空間であり、その双対空間に双対ノルムが備わっているとする。すると、の単位球は弱位相に対して の 単位球に稠密となる ^[30]。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})}$ ${\displaystyle \left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).}$

例

1. すべての有限次元ハウスドルフ位相ベクトル空間は反射的です。これは、線形代数により全単射であり、有限次元ベクトル空間上には一意のハウスドルフベクトル空間位相が存在するためです。${\displaystyle J}$
2. ノルム空間がノルム空間として反射的であるためには、局所凸空間として反射的であることが必要である。これは、ノルム空間の双対ノルム空間が位相ベクトル空間として強双対空間と一致するという事実から導かれる。系として、評価写像は評価写像と一致し、以下の条件は同値となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$
   1. ${\displaystyle X}$ は反射的ノルム空間である（つまり、ノルム空間の同型である）、${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
   2. ${\displaystyle X}$ は反射的局所凸空間である（つまり位相ベクトル空間の同型である^[18]）、${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
   3. ${\displaystyle X}$ は半反射的局所凸空間（つまり、射影的）である。${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
3. 反射的ではない半反射的空間の（やや不自然な）例は、次のように得られる。無限次元反射的バナッハ空間を とし、 を位相ベクトル空間、すなわち弱位相を備えたベクトル空間とする。すると、 と の連続双対は同じ汎関数の集合となり、 の有界部分集合（つまり の弱有界部分集合）はノルム有界となる。したがって、バナッハ空間はの強双対となる。は反射的であるため、 の連続双対は標準埋め込みによるの像に等しい が、 上の位相（ の弱位相）はのノルム位相に等しい強位相ではない。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y^{\prime}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{\prime}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\プライム }=Y^{\プライム }}$ ${\displaystyle J(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right),}$ ${\displaystyle Y.}$
4. モンテル空間は、反射的局所凸位相ベクトル空間である。特に、関数解析において頻繁に用いられる以下の関数空間は、反射的局所凸空間である。^[32]
   • 任意の（実）滑らかな多様体上の滑らかな関数の空間と、そのコンパクトな台を持つ超関数の強双対空間${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • 任意の（実）滑らかな多様体上のコンパクトな台を持つ滑らかな関数の空間と、その超関数の強双対空間${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • 任意の複素多様体上の正則関数の空間とその強双対な解析関数の空間${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\prime }(M)}$ ${\displaystyle M,}$
   • 上のシュワルツ空間 とその緩和超関数の強双対空間${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

反例

• 強双対が反射的な非反射的局所凸TVSが存在する。^[33]

その他の種類の反射性

ステレオタイプ空間、または極反射空間は、反射性の同様の条件を満たす位相ベクトル空間(TVS) として定義されますが、双対空間の定義において、（有界部分集合の代わりに）全有界部分集合上の一様収束の位相を持ちます。より正確には、TVS は、第 2 の双対空間への評価写像が位相 ベクトル空間の同型で ある場合に、極反射^[34]またはステレオタイプと呼ばれます。^[18]ここで、ステレオタイプ双対空間は、全有界集合上の一様収束の位相を備えた連続線形関数の空間として定義されます(ステレオタイプの第 2 の双対空間は、同じ意味で の双対空間です)。${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }}$$ ${\displaystyle X^{\star}}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star \star}}$ ${\displaystyle X^{\star}}$

古典的な反射空間とは対照的に、ステレオタイプ空間のクラスSteは非常に広く (特に、すべてのフレシェ空間と、したがってすべてのバナッハ空間)、閉じたモノイドカテゴリを形成し、閉じた部分空間、商空間、射影的および単射的極限、演算子の空間、テンソル積などを取得するなど、新しい空間を構築する標準的な操作 ( Ste内で定義) を許可します。カテゴリSteは、非可換群の双対性理論に応用されています。

同様に、双対空間の定義における における有界（および全有界）部分集合のクラスを他の部分集合のクラス、たとえば におけるコンパクト部分集合のクラスに置き換えることもできる。対応する反射条件によって定義される空間は反射的と呼ばれ、^{[35] [36]それらは}Steよりもさらに広いクラスを形成するが、このクラスがSteと同様の特性を持つカテゴリを形成するかどうかは明らかではない (2012) 。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$

参照

• グロタンディーク空間
  • 反射空間のいくつかの特性を持ち、実用上重要な多くの空間を含む一般化がグロタンディーク空間の概念である。
• 反射的作用素代数

参考文献

注記

1. リースの補題の主張は、リースの補題の記事で と表記される実数を1つだけ含んでいる。この補題は常にすべての実数に対して成立する。しかし、バナッハ空間の場合、この補題がすべての実数に対して成立するのは、その空間が反射的である場合に限る。${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha <1.}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$

引用

1. Treves 2006、pp. 372–374。
2. Robert C. James (1951). 「非反射的バナッハ空間等長空間とその第二共役空間」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 37 (3): 174– 177. Bibcode :1951PNAS...37..174J. doi : 10.1073/pnas.37.3.174 . PMC  1063327 . PMID  16588998.
3. Megginson (1998, p. 99)の命題1.11.8。
4. メギンソン（1998年、104～105頁）。
5. 系1.11.17、Megginson（1998）104ページ。
6. Conway 1985、定理V.4.2、p.135。
7. 弱コンパクト性と弱逐次コンパクト性はエーベルライン・シュムリアンの定理により一致するため。
8. ディーステル 1984年、6ページ。
9. Megginson（1998、p.125）の定理1.13.11。
10. Megginson（1998、p.216）の定理2.5.16。
11. Megginson (1998, pp. 112–113)の定理1.12.11と系1.12.12。
12. バナッハ空間におけるヒルベルト空間の特徴付けを参照
13. James, Robert C. (1972)、「超反射的バナッハ空間」、Can. J. Math. 24 :896–904。
14. ダクーニャ＝カステル、ディディエ; Krivine、Jean-Louis (1972)、「Applications des Ultraproduits à l'étude des espaces et des algebres de Banach」（フランス語）、Studia Math。 41 :315–334。
15. James（1972）を参照。
16. Enflo, Per (1972). 「同値な一様凸ノルムが与えられるバナッハ空間」.イスラエル数学ジャーナル. 13 ( 3–4 ): 281– 288. doi :10.1007/BF02762802.
17. ピシエ、ジル(1975). 「一様凸空間に値を持つマルチンゲール」.イスラエル数学ジャーナル. 20 ( 3–4 ): 326– 350. doi :10.1007/BF02760337.
18. 位相ベクトル空間の同型写像は線型かつ同相写像である${\displaystyle \varphi :X\to Y.}$
19. エドワーズ 1965, 8.4.2.
20. シェーファー 1966、5.6、5.5。
21. エドワーズ 1965, 8.4.5.
22. エドワーズ 1965, 8.4.3.
23. Narici & Beckenstein 2011、pp. 488–491。
24. Schaefer & Wolff 1999、144ページ。
25. カリールーラ、1982 年、32–63 ページ。
26. Trèves 2006、376ページ。
27. Trèves 2006、377ページ。
28. ベルナルデス 2012.
29. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、212頁。
30. Trèves 2006、375ページ。
31. シェーファー＆ウォルフ 1999、145ページ。
32. エドワーズ 1965,8.4.7.
33. シェーファー＆ウォルフ 1999年、190～202頁。
34. ケーテ、ゴットフリート (1983).トポロジカル ベクトル空間 I. Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。スプリンガー。ISBN 978-3-642-64988-2。
35. Garibay Bonales, F.; Trigos-Arrieta, FJ; Vera Mendoza, R. (2002). 「局所凸空間におけるポンチャギン-ファン・カンペン双対性の特徴づけ」.トポロジーとその応用. 121 ( 1–2 ): 75–89 . doi : 10.1016/s0166-8641(01)00111-0 .
36. Akbarov, SS; Shavgulidze, ET (2003). 「ポンチャギンの意味で反射的な空間の2つのクラスについて」. Mat. Sbornik . 194 (10): 3– 26.

一般的な参考文献

• ベルナルデス、ニルソン C. ジュニア (2012)、「バナッハ空間における凸集合の入れ子列について」、第389巻、数学解析応用ジャーナル、pp.  558– 561。
• コンウェイ、ジョン・B. (1985). 『関数解析講座』 シュプリンガー.
• ディーステル、ジョー (1984).バナッハ空間における数列と級数. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• エドワーズ, RE (1965).関数解析学 理論と応用. ニューヨーク: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0030505356。
• ジェームズ、ロバート・C. (1972) 「ノルム線型空間の自己双対性について」無限次元位相幾何学に関するシンポジウム（ルイジアナ州立大学、ルイジアナ州バトンルージュ、1967年）、数学研究年報、第69巻、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、pp.  159– 175。
• カレルラ, SM (1982).位相ベクトル空間における反例.数学講義ノート. 第936巻. ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370。
• コルモゴロフ, AN; フォミン, SV (1957). 『関数理論と関数解析の要素』第1巻 計量空間とノルム空間. ロチェスター: グレイロック・プレス.
• メギンソン、ロバート・E.（1998）「バナッハ空間理論入門」、Graduate Texts in Mathematics、第183巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp. xx+596、ISBN 0-387-98431-3
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• シェーファー、ヘルムート・H. (1966).位相ベクトル空間. ニューヨーク: マクミラン社.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。