残差マッピング

数学において、剰余写像の概念は半順序集合の理論から生まれ、単調関数の概念を洗練させます。

A、Bがposet である場合、関数f : A → Bは順序が保存されるとき単調であると定義されます。つまり、x  ≤  yならばf ( x ) ≤  f ( y )が成り立ちます。これは、 Bのすべてのダウンセットのfによる逆像がAのダウンセットであるという条件に相当します。主ダウンセットは、↓{ b } = { b ' ∈ B  : b ' ≤ b }の形式のいずれかであると定義します。一般に、主ダウンセットのfによる逆像は主ダウンセットである必要はありません。すべてが主ダウンセットである場合、fは残余であると呼ばれます。

残余写像の概念は、成分ごとの残余化によって二項演算子（あるいは任意の高次アリティ）に一般化できる。このアプローチは、半順序マグマにおける左除算と右除算の概念を生み出し、さらに準群構造を与える。（ここでは高次アリティについてのみ残余代数について言及する。）二項（あるいは高次アリティ）残余写像は、通常、単項写像として残余化されない。 ^[1]

意味

A、Bが半集合である場合、関数f : A → Bが残余となるのは、 Bのすべての主ダウンセットのfによる逆像がAの主ダウンセットである場合のみです。

結果

Bがposetの場合、関数A → Bの集合は点ごとの順序 f ≤ g ↔ (کک x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x )で順序付けることができます。

単調関数fが残余写像であるための必要十分条件は、（必然的に唯一の）単調関数f  ⁺ : B → Aが存在してf  o  f  ⁺ ≤ id _Bかつf  ⁺  o  f ≥ id _A（id は恒等関数）が存在する場合である。関数f  ^+はfの残余である。残余写像とその残余写像は、その概念の（より最近の）単調定義の下ではガロア接続を形成し、すべての（単調）ガロア接続に対して、下側随伴関数が残余写像となり、残余写像は上側随伴関数となる。^[2]したがって、単調ガロア接続と残余写像の概念は本質的に一致する。

さらに、 f  ^-1 (↓{ b }) = ↓{ f  ⁺ ( b )}となります。

B ° がBへの双対順序（反対の poset）を表す場合、f  : A → Bが剰余写像となるのは、この概念の元の反トーン定義の下でf  : A → B ° とf  ^* : B ° → A がガロア接続を形成するようなf  ^*が存在する場合のみです。

f  : A → Bとg  : B → Cが剰余写像であるならば、関数合成 gf  : A → Cも剰余写像であり、剰余は ( gf )  ⁺ = f  ⁺ g  ⁺となる。逆調ガロア接続はこの性質を共有しない。

poset上の単調変換（関数）の集合は点ごとの順序を持​​つ順序付きモノイドであり、残余変換の集合も同様である。^[3]

例

• RからZへの天井関数 (それぞれの場合で通常の順序) は残差化され、残差はZのRへの自然な埋め込みをマッピングします。${\displaystyle x\mapsto \lceil x\rceil }$
• ZのRへの埋め込みも残差関数である。その残差は床関数 である。${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$

剰余二項演算子

もし • : P × Q → Rが二値写像で、P、Q、Rが半順序集合ならば、左および右の並進移動について成分ごとに剰余、すなわち固定元による乗算を定義できる。Pの元xについて_x λ ( y ) = x • yと定義し、Qのxについてλ _x ( y ) = y • xと定義する。すると、 _x λとλ _{x が}すべてのx (それぞれPおよびQ内)について剰余となるとき、かつそのときに限り、 • は剰余であるとされる。左除算（およびそれぞれ右除算）は、左（およびそれぞれ右）並進移動の剰余をとることによって定義される：x \ y = ( _x λ ) ⁺ ( y ) およびx / y = ( λ _x ) ⁺ ( y )

例えば、すべての順序付きグループは剰余を持ち、上で定義される除算はグループにおける除算の概念と一致する。より単純な例として、ブール代数B上の正方行列の集合 Mat _n ( B ) が挙げられる。この行列は点ごとに順序付けられている。点ごとの順序により、 Mat _n ( B ) には点ごとの交わり、結合、補行列が備わっている。行列の乗算は通常の方法で定義され、「積」は交わり、「和」は結合である。 ^[4]により、 X \ Y = ( Y ^t X ′)′およびX / Y = ( X ′ Y ^t )′であることが示される。ここで、X ′はXの補行列、Y ^tは転置行列である。

参照

• 残留格子

注記

1. デネッケ、p. 95;ガラトス、p. 148
2. エルネ、命題4
3. ブライス、2005年、193ページ
4. ブライス、198ページ

参考文献

• JC Derderian、「ガロア接続とペア代数」、Canadian J. Math. 21 (1969) 498-501。
• ジョナサン・S・ゴラン著『半環とその上のアフィン方程式：理論と応用』クルーワー・アカデミック、2003年、ISBN 1-4020-1358-249ページ。
• TS Blyth、「Residuated mappings」、Order 1 (1984) 187-204。
• TS Blyth著『Lattices and Ordered Algebraic Structures』、Springer、2005年、ISBN 1-85233-905-57ページ。
• TSブライス、MFヤノウィッツ『残余理論』ペルガモン出版社、1972年、ISBN 0-08-016408-09ページ。
• M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, GE Strecker, 「ガロア接続入門」 , Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125. オンラインで様々なファイル形式で入手可能: PS.GZ PS
• クラウス・デネッケ、マルセル・エルネ、シェリー・L・ウィスマス、『ガロアの接続と応用』、Springer、2004 年、ISBN 1402018975
• Galatos、Nikolaos、Peter Jipsen、Tomasz Kowalski、小野博明 (2007)、Residuated Lattices。 An Algebraic Glimpse at Substructural Logics、エルゼビア、ISBN 978-0-444-52141-5。