ボレル右プロセス

数学の確率理論において、エミール・ボレルにちなんで名付けられたボレル右過程は、特定の種類の連続時間ランダム過程です。

を局所コンパクトで可分な計量空間とする。のボレル部分集合を と表記する。をから への右連続写像の全体空間とし、に左極限を持つものとし、各 に対して をにおける座標写像で表す。各 に対して はにおけるの値である。の普遍完備化を で表す。各 に対して、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle X_{t}(\omega )\in E}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,t],B\in {\mathcal {E}}\right\},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{*}=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,t],B\in {\mathcal {E}}^{*}\right\},}$

そして、

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,\infty ),B\in {\mathcal {E}}\right\},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }^{*}=\sigma \left\{X_{s}^{-1}(B):s\in [0,\infty ),B\in {\mathcal {E}}^{*}\right\}.}$

上の各ボレル可測関数について、各 について、 と定義します ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle U^{\alpha }f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}f(X_{t})\,dt\right]}$

であり、 によって与えられる写像は右連続であるため、任意の一様連続関数に対して、 によって与えられる写像が右連続であることがわかります。 ${\displaystyle P_{t}f(x)=\mathbf {E}^{x}\left[f(X_{t})\right]}$ ${\displaystyle t\rightarrow X_{t}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t\rightarrow P_{t}f(x)}$

したがって、単調類定理と合わせて、任意の普遍的可測関数 に対して、 によって与えられる写像は共測可能、すなわち可測であり、したがって、および上のすべての有限測度に対して、この写像は -可測でもある。ここで、 は積測度 に関するの完備化である 。したがって、上の任意の有界普遍的可測関数 に対して、写像はルベーグ可測であり、したがって、 のそれぞれに対して、 を定義できる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (t,x)\rightarrow P_{t}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}\right)^{\lambda \otimes \mu }}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,\infty))}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}\right)^{\lambda \otimes \mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,\infty ))\otimes {\mathcal {E}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \otimes \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle t\rightarrow P_{t}f(x)}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,\infty )}$

${\displaystyle U^{\alpha }f(x)=\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}P_{t}f(x)dt.}$

が 上のマルコフレゾルベントであり、それがマルコフ半群 と一意に関連付けられていることを確認するのに十分な共同測定可能性が存在する。したがって、フビニの定理を適用して、 ${\displaystyle \{U^{\alpha }:\alpha \in (0,\infty )\}}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}}^{*})}$ ${\displaystyle \{P_{t}:t\in [0,\infty )\}}$

${\displaystyle U^{\alpha }f(x)=\mathbf {E}^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}f(X_{t})dt\right]}$

ボレル右過程の定義的性質は以下の通りである: ^[1]

• 仮説1：

上の各確率測度に対して、 が初期測度と遷移半群 を持つマルコフ過程となるような上の確率測度 が存在する。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{\mu}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}^{*})}$ ${\displaystyle (X_{t},{\mathcal {F}}_{t}^{*},P^{\mu })}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \{P_{t}:t\in [0,\infty )\}}$

• 仮説2：

が 上のレゾルベントに対して -過剰であるとする。すると、上の各確率測度に対して、 によって与えられる写像は上でほぼ確実に右連続となる。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}}^{*})}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle t\rightarrow f(X_{t})}$ ${\displaystyle P^{\mu}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

注記

1. シャープ 1988、第20節

参考文献

• シャープ、マイケル (1988)、『マルコフ過程の一般理論』、ISBN 0126390606