剛性カテゴリ

数学の一分野である圏論において、剛体圏（りょうたいかく）とは、すべての対象が剛体であるモノイド圏、すなわち双対X ^*（内部 Hom [ X , 1 ]）と自然条件を満たす射1 → X ⊗ X ^*を持つ圏である。この圏は、右双対を持つか左双対を持つかによって、右剛体または左剛体と呼ばれる。これらは、アレクサンダー・グロタンディークに倣い、ネアントロ・サアベドラ・リヴァーノがタンナキアン圏に関する論文で初めて定義した。^[1]

意味

剛性には少なくとも 2 つの同等の定義があります。

モノイドカテゴリの対象Xは、対象Yと射とが存在し、両方の合成が成り立つとき、左剛体と呼ばれる。 $\eta _{X}:\mathbf {1} \to X\otimes Y$ $\epsilon _{X}:Y\otimes X\to \mathbf {1}$

$X~{\xrightarrow {\eta _{X}\otimes \mathrm {id} _{X}}}~(X\otimes Y)\otimes X~{\xrightarrow {\alpha _{X,Y,X}^{-1}}}~X\otimes (Y\otimes X)~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{X}\otimes \epsilon _{X}}}~X$

$Y~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{Y}\otimes \eta _{X}}}~Y\otimes (X\otimes Y)~{\xrightarrow {~\alpha _{X,Y,X}~}}~(Y\otimes X)\otimes Y~{\xrightarrow {\epsilon _{X}\otimes \mathrm {id} _{Y}}}~Y$

これらは恒等式です。右剛体も同様に定義されます。

逆元とは、X ⊗ X ⁻¹とX ⁻¹ ⊗ Xの両方がモノイド圏の恒等対象1と同型となるような対象X ^{−1のことである。対象}Xにテンソル積に関する左（または右）逆元X ^{−1がある場合、それは左（または右）剛体であり、}X ^* = X ⁻¹となる。

双対を取る操作により、剛性カテゴリ上の反変関数が得られます。

用途

剛性の重要な応用の一つは、剛体の自己準同型の跡の定義である。この跡は任意のピボット圏、すなわち双対を二回繰り返す関数 ( ) ^**が恒等関数と同型となるような剛体圏に対して定義できる。すると、任意の右剛体Xと任意の他のオブジェクトYに対して、同型を定義できる。

$\phi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (X,Y)\\f&\longmapsto &(\epsilon _{X}\otimes id_{Y})\circ (id_{X}\otimes f)\end{array}}\right.$

およびその逆同型性

$\psi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (X,Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)\\g&\longmapsto &(id_{X^{*}}\otimes g)\circ \eta _{X}\end{array}}\right.$ 。

すると、任意の準同型に対して、 fのトレースは合成として定義されます。 $f:X\to X$

$\mathop {\mathrm {tr} } f:\mathbf {1} {\xrightarrow {\psi _{X,X}(f)}}X^{*}\otimes X{\xrightarrow {\gamma _{X,X}}}X\otimes X^{*}{\xrightarrow {\epsilon _{X}}}\mathbf {1} ,$

さらに続けて、剛体の次元を次のように定義します。

$\dim X:=\mathop {\mathrm {tr} } \ \mathrm {id} _{X}$ 。

剛体性は、内部 Hom との関係からも重要です。Xが左剛体オブジェクトである場合、[ X , Z ] の形をとるすべての内部 Hom が存在し、 Z ⊗ Yと同型です。特に、剛体圏においては、すべての内部 Hom が存在します。

代替用語

すべての対象が左（それぞれ右）双対を持つモノイド圏は、左（それぞれ右）自律圏と呼ばれることもあります。すべての対象が左と右の双対の両方を持つモノイド圏は、自律圏と呼ばれることもあります。対称性も持つ自律圏は、コンパクト閉圏と呼ばれることもあります。

議論

モノイドカテゴリはテンソル積を持つカテゴリであり、まさに剛性が意味を成すカテゴリの種類です。

純粋動機のカテゴリーは、有効純粋動機のカテゴリーを厳格化することによって形成されます。

注記

^ リヴァノ、N. サーベドラ (1972)。カテゴリータンナキエンヌ。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 265. スプリンガー。土井：10.1007/BFb0059108。ISBN 978-3-540-37477-0。

参考文献

Davydov, AA (1998). 「モノイド的カテゴリと関数」.数学科学ジャーナル. 88 (4): 458– 472. doi :10.1007/BF02365309.
n ラボにおける剛体モノイドカテゴリ

[1] リヴァノ、N. サーベドラ (1972)。カテゴリータンナキエンヌ。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 265. スプリンガー。土井：10.1007/BFb0059108。ISBN 978-3-540-37477-0。