環の補題

円充填における半径の下限

ユークリッド平面上の円充填の幾何学において、環の補題は円充填における隣接する円の大きさの下限を与える。 ^[1]

声明

補題は次のように述べている。3以上の任意の整数とする。単位円が、すべて単位円に接する内接しない円の環に囲まれ、その環内の連続する円が互いに接していると仮定する。このとき、環内の任意の円の最小半径は、少なくとも単位分数である。ここで、は番目のフィボナッチ数である。^[1]^[2] $n$ $n$ ${\frac {1}{F_{2n-3}-1}}$ $F_{i}$ $i$

最小半径の順序は、から始まり、 $n=3$

{\textstyle \displaystyle 1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{12}},{\frac {1}{33}},{\frac {1}{88}},{\frac {1}{232}},\dots }

（ OEISの配列A027941）

3次元空間への一般化も知られている。^[3]

工事

無限の円列を構成することができ、各円は環の補題の境界と正確に一致し、補題がタイトであることを示します。この構成により、半平面を無限半径の退化した円と見なすことができ、補題の記述で要求されている以上の円間の接線を含めることができます。これは、2 つの平行な半平面の間に単位円を挟むことから始まります。円の幾何学では、これらは無限遠点で互いに接していると見なされます。最初の 2 つの後の連続する円はそれぞれ、中心の単位円と最後に追加した 2 つの円に接します。この方法で構成された最初の 6 つの円 (2 つの半平面を含む) については、図を参照してください。この構成の最初の円は環を形成し、その最小半径はデカルトの定理によって計算され、環の補題で指定された半径と同じになります。この構成は、追加の接線を持たない有限円の環に摂動することができ、その最小半径はこの境界に任意に近い。^[4] $n$ $n$ $n$

歴史

より弱い境界を持つ環の補題のバージョンは、円充填が共形写像を近似するために使用できるというウィリアム・サーストンの予想の証明の一部として、バートン・ロディンとデニス・サリバンによって初めて証明されました。^[5]ローウェル・ハンセンは可能な限り最も厳しい下限値の再帰関係を与え、 ^[6]ドヴ・アハロノフは同じ下限値の閉じた形式の表現を発見しました。 ^[2]

アプリケーション

等角写像への本来の応用を超えて、^[5]円充填定理と環補題の変種は、マリッツとパパコスタスによる、制限された次数の平面グラフが制限された角度分解能で描画できることの証明^[7]や、ケゼグ、パック、パルヴォルギによる、同じグラフが制限された傾き数で描画できることの証明^[8]において重要な役割を果たしています。

参考文献

^ ab スティーブンソン、ケネス（2005）、サークルパッキング入門：離散解析関数の理論、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-82356-2、MR 2131318特に、補題8.2（環の補題）p.73–74と付録B「環の補題」p.318–321を参照。
^ ab Aharonov, Dov (1997)、「環補題における鋭い定数」、複素変数、33 ( 1–4 ): 27– 31、doi :10.1080/17476939708815009、MR 1624890
^ Vasilis、Jonatan (2011)、「三次元の環補題」、Geometriae Dedicata、152 : 51–62、doi :10.1007/s10711-010-9545-0、MR 2795235、S2CID 120113578
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^ ab ロダン、バート；サリバン、デニス（1987）、「円パッキングのリーマン写像への収束」、微分幾何学ジャーナル、26（2）：349–360、doi：10.4310/jdg/1214441375、MR 0906396
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^ マリッツ、セス; パパコスタス、アキレアス (1994)、「平面グラフの角度分解能について」、SIAM Journal on Discrete Mathematics、7 (2): 172– 183、doi :10.1137/S0895480193242931、MR 1271989
^ ケシェグ、バラーズ; Pach, ヤーノス; Pálvölgyi、Dömötör (2013)、「傾斜が少ない境界次数の平面グラフの描画」、離散数学に関する SIAM ジャーナル、27 (2): 1171–1183、doi :10.1137/100815001、MR 3071400

[s-1] スティーブンソン、ケネス（2005）、サークルパッキング入門：離散解析関数の理論、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-82356-2、MR 2131318特に、補題8.2（環の補題）p.73–74と付録B「環の補題」p.318–321を参照。

[a-2] Aharonov, Dov (1997)、「環補題における鋭い定数」、複素変数、33 ( 1–4 ): 27– 31、doi :10.1080/17476939708815009、MR 1624890

[v-3] Vasilis、Jonatan (2011)、「三次元の環補題」、Geometriae Dedicata、152 : 51–62、doi :10.1007/s10711-010-9545-0、MR 2795235、S2CID 120113578

[as-4] Aharonov, D.; Stephenson, K. (1997)、「アポロニアンパッキングにおける円板の幾何学的シーケンス」、Algebra i Analiz、9 (3): 104– 140、MR 1466797

[rs-5] ロダン、バート；サリバン、デニス（1987）、「円パッキングのリーマン写像への収束」、微分幾何学ジャーナル、26（2）：349–360、doi：10.4310/jdg/1214441375、MR 0906396

[h-6] ハンセン、ローウェル J. (1988)、「ロダンとサリバンの環の補題について」、複素変数、10 (1): 23– 30、doi :10.1080/17476938808814284、MR 0946096

[mp-7] マリッツ、セス; パパコスタス、アキレアス (1994)、「平面グラフの角度分解能について」、SIAM Journal on Discrete Mathematics、7 (2): 172– 183、doi :10.1137/S0895480193242931、MR 1271989

[kpp-8] ケシェグ、バラーズ; Pach, ヤーノス; Pálvölgyi、Dömötör (2013)、「傾斜が少ない境界次数の平面グラフの描画」、離散数学に関する SIAM ジャーナル、27 (2): 1171–1183、doi :10.1137/100815001、MR 3071400