署名演算子

数学において、シグネチャ演算子（シグネチャひょうじ）は、偶数次元コンパクトリーマン多様体上の微分形式空間の特定の部分空間上で定義される楕円微分演算子であり、多様体の次元が4の倍数である場合、その解析指数は多様体の位相シグネチャと同じになる。 ^[1]これはディラック型演算子の一例である。

偶数次元の場合の定義

を偶数次元のコンパクトリーマン多様体とする。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2l}$

${\displaystyle d:\Omega^{p}(M)\rightarrow \Omega^{p+1}(M)}$

上の- 階微分形式上の外微分とする。上のリーマン計量によりホッジスター作用素とそれを用いた内積 を定義することができる。${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \star}$

${\displaystyle \langle \omega ,\eta \rangle =\int _{M}\omega \wedge \star \eta }$

フォーム上。

${\displaystyle d^{*}:\Omega^{p+1}(M)\rightarrow \Omega^{p}(M)}$

外微分 の随伴作用素。この作用素は、純粋にホッジスター作用素を用いて次のように表すことができる。 ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d^{*}=(-1)^{2l(p+1)+2l+1}\star d\star =-\star d\star }$

ここで、すべての形式 の空間に作用することを考えてみましょう。これを次数付き作用素として考える一つの方法は次のようになります。 を、次のように定義されるすべての形式の空間上の反転とします。 ${\displaystyle d+d^{*}}$ ${\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{2l}\Omega ^{p}(M)}$ ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau (\omega )=i^{p(p-1)+l}\star \omega \quad ,\quad \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

はと反可換であり、その結果、 の-固有空間が入れ替わることが検証されている。${\displaystyle d+d^{*}}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle (\pm 1)}$ ${\displaystyle \Omega _{\pm }(M)}$ ${\displaystyle \tau}$

その結果、

${\displaystyle d+d^{*}={\begin{pmatrix}0&D\\D^{*}&0\end{pmatrix}}}$

定義:上記の等級付けを持つ演算子は、それぞれのシグネチャ演算子と呼ばれます。^[1]${\displaystyle d+d^{*}}$ ${\displaystyle D:\Omega_{+}(M)\rightarrow\Omega_{-}(M)}$ ${\displaystyle M}$

奇数次元の場合の定義

奇数次元の場合、シグネチャ演算子はの偶数次元形式に作用すると定義されます。 ${\displaystyle i(d+d^{*})\タウ }$ ${\displaystyle M}$

ヒルツェブルッフ署名定理

の次元が4 の倍数となる場合、ホッジ理論によれば次のようになります。 ${\displaystyle l=2k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {index} (D)=\mathrm {sign} (M)}$

ここで、右辺は位相的な署名（すなわち、カップ積によって定義される上の二次形式の署名）である。 ${\displaystyle H^{2k}(M)\ }$

アティヤ・シンガー指数定理に対する熱方程式アプローチを使用すると、次のことが示されます。

${\displaystyle \mathrm {sign} (M)=\int _{M}L(p_{1},\ldots ,p_{l})}$

ここではヒルツェブルフのL-多項式、^[2]であり、 は上のポントリャギン形式である。^[3]${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p_{i}\ }$ ${\displaystyle M}$

高次の指数のホモトピー不変性

カミンカーとミラーは、シグネチャ演算子の高次の指数はホモトピー不変であることを証明した。^[4]

参照

• ヒルツェブルッフの署名定理
• ポンチャギン級
• フリードリヒ・ヒルツェブルッフ
• マイケル・アティヤ
• イザドア・シンガー

注記

1. アティヤ＆ボット 1967
2. ヒルゼブルッフ 1995
3. ギルキー 1973、アティヤ、ボット & パトディ 1973
4. カミンカー＆ミラー 1985

参考文献

• アティヤ, MF ;ボット, R. (1967)、「楕円複体のレフシェッツ不動点式 I」、数学年報、86 (2): 374– 407、doi :10.2307/1970694、JSTOR  1970694
• アティヤ, MF ;ボット, R. ; パトディ, VK (1973)、「熱方程式と指数定理について」、Inventiones Mathematicae、19 (4): 279– 330、Bibcode :1973InMat..19..279A、doi :10.1007/bf01425417、S2CID  115700319
• ギルキー、ピーター・B.（1973）「楕円複体のラプ​​ラシアンの曲率と固有値」数学の進歩、10（3）：344-382、doi：10.1016/0001-8708（73）90119-9
• ヒルツェブルッフ、フリードリヒ（1995）、代数幾何学における位相的手法、第4版、ベルリンおよびハイデルベルク：シュプリンガー出版社、234頁、ISBN 978-3-540-58663-0
• カミンカー、ジェローム; ミラー、ジョン G. (1985)、「C*-代数上のシグネチャ演算子の解析的指数のホモトピー不変性」(PDF)、作用素理論ジャーナル、14 : 113– 127