署名された尺度

数学において、符号付き測度は、集合関数が負の値を取ること、つまり符号を取得することを可能にすることによって、（正の）測度の概念を一般化したものです。

意味

符号測度には、無限値を許容するかどうかによって、わずかに異なる2つの概念があります。符号測度は通常、有限の実数値のみを許容しますが、一部の教科書では無限値を許容しています。混乱を避けるため、この記事ではこれら2つのケースを「有限符号測度」と「拡張符号測度」と呼びます。

測定可能空間 （つまり、σ-代数を持つ集合）が与えられたとき、拡張符号測度は、σ-加法性を持つ集合関数である。 つまり、σ-加法性を持つ。つまり、任意の素集合列に対して 等式を満たす 。 右辺の級数は、左辺の値が有限であるとき、必ず絶対収束する。結果として、拡張符号測度は、またはのいずれかを値としてとることができるが、両方を取ることはできない。この式は未定義であり^[1]、使用を避ける必要がある。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

有限符号測度（実測度ともいう）は、実数値のみを取ることができる点を除いて、同じように定義されます。つまり、${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty .}$

有限符号測度は実ベクトル空間を形成するが、拡張符号測度は加法に対して閉じていないため、実ベクトル空間を形成しない。一方、測度は拡張符号測度ではあるが、一般には有限符号測度ではない。

例

空間 ( X , Σ)上の非負測度と測定可能な関数f : X → Rを考え、 ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .}$

すると、有限符号測度は次のように与えられる。

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)}$

Σ のすべてのAについて。

この符号測度は有限値しか取らない。+∞を値として取るためには、fが絶対積分可能であるという仮定を、より緩やかな条件に 置き換える必要がある。

${\displaystyle \int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,}$

ここでf ⁻ ( x ) = max(− f ( x ), 0) はfの負の部分です。

プロパティ

以下は、拡張された符号付き測度が 2 つの非負測度の差であり、有限の符号付き測度が 2 つの有限の非負測度の差であることを意味する 2 つの結果です。

ハーンの分解定理は、符号付き測度μが与えられたとき、次の2つの測定可能な集合PとNが存在することを述べています。

1. P∪N = XかつP∩N = ∅である。
2. Σ内の各Eに対してμ ( E )≥0であり、E⊆Pとなる。言い換えれば、Pは正集合である。
3. Σ の各Eに対してμ ( E ) ≤ 0 が成り立ち、 E ⊆ Nとなる。つまり、Nは負の集合である。

さらに、この分解は、PとNにμ -ヌルセットを加算/減算するまで一意です。

次に、次のように定義される 2つの非負の測度μ ⁺とμ ^{−を考える。}

${\displaystyle \mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)}$

そして

${\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)}$

すべての測定可能な集合E、つまりΣ 内の Eに対して。

μ ⁺とμ ^{− は}どちらも非負の測度であり、どちらか一方は有限の値しか取らないことが確認でき、それぞれμの正の部分と負の部分と呼ばれる。 μ = μ ⁺ − μ ⁻である。測度 | μ | = μ ⁺⁺ + μ ^−はμの変分と呼ばれ、その最大値 || μ || = | μ |( X ) はμの 全変分と呼ばれる。

ハーン分解定理のこの帰結は、ジョルダン分解と呼ばれます。測度μ ⁺、μ ⁻、 | μ | は、ハーン分解定理における PとNの選択に依存しません。

符号付き尺度の空間

2 つの有限符号測度の和は有限符号測度であり、有限符号測度と実数の積も有限符号測度です。つまり、これらは線型結合に対して閉じています。したがって、測定空間 ( X 、Σ)上の有限符号測度の集合は実ベクトル空間になります。これは、円錐結合に対してのみ閉じているため凸円錐は形成しますがベクトル空間は形成しない正測度とは対照的です。さらに、全変化は、有限符号測度の空間がバナッハ空間になるノルムを定義します。この空間は、デデキント完全なバナッハ格子であることが示され、その際にラドン-ニコディムの定理がフロイデンタールのスペクトル定理の特殊なケースであることが示されるという点で、さらに構造化されています。

Xがコンパクト可分空間である場合、有限符号付きベール測度の空間は、リース・マルコフ・角谷表現定理により、 X上のすべての連続実数値関数の実バナッハ空間の双対になります。

参照

• 角度変位
• 複雑な測定
• スペクトル測定
• ベクトル測定
• リース・マルコフ・角谷表現定理
• 符号付き弧長
• 署名エリア
• 符号付き距離
• 署名入り巻
• 総変動

注記

1. 詳細については、 「拡張実数直線」の記事を参照してください。

参考文献

• バートル、ロバート・G.（1966）『統合の要素』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、Zbl  0146.28201
• Bhaskara Rao, KPS; Bhaskara Rao, M. (1983), 電荷理論：有限加法測度に関する研究、純粋および応用数学、ロンドン：アカデミックプレス、ISBN 0-12-095780-9、Zbl  0516.28001
• コーン、ドナルド L. (1997) [1980]、測度論、ボストン：ビルクハウザー出版社、ISBN 3-7643-3003-1、Zbl  0436.28001
• Diestel, JE; Uhl, JJ Jr. (1977), ベクトル測度, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 15, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1515-6、Zbl  0369.46039
• ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ・T. (1959)、「線型作用素。第1部：一般理論。第2部：スペクトル理論。ヒルベルト空間における自己随伴作用素。第3部：スペクトル作用素。」、純粋・応用数学、第6巻、ニューヨークおよびロンドン：インターサイエンス出版社、pp. XIV+858、ISBN 0-471-60848-3、Zbl  0084.10402
• ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ・T. (1963)、「線型作用素。第1部：一般理論。第2部：スペクトル理論。ヒルベルト空間における自己随伴作用素。第3部：スペクトル作用素。」、純粋・応用数学、第7巻、ニューヨークおよびロンドン：インターサイエンス出版社、pp. IX+859–1923、ISBN 0-471-60847-5、Zbl  0128.34803
• ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ・T. (1971)、「線型作用素。第1部：一般理論。第2部：スペクトル理論。ヒルベルト空間における自己随伴作用素。第3部：スペクトル作用素。」、純粋・応用数学、第8巻、ニューヨークおよびロンドン：インターサイエンス出版社、pp. XIX+1925–2592、ISBN 0-471-60846-7、Zbl  0243.47001
• Zaanen、Adriaan C. (1996)、リース空間における作用素理論入門、Springer Publishing、ISBN 3-540-61989-5

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