圏論用語集

これは数学の圏論 における性質と概念の用語集です。（圏論の概要も参照してください。）

  • 基礎に関する注記：多くの解説（例えば、ヴィストリ）では、集合論的な問題は無視されている。これは、例えば、大小の範疇を区別しないことや、範疇の局所化を任意に形成できることを意味している。[1]これらの解説と同様に、この用語集でも、関連する場合（例えば、アクセス可能性に関する議論）を除き、集合論的な問題は概ね無視されている。

特に高次の圏については、代数的位相幾何学の概念が圏論でも用いられます。これについては、代数的位相幾何学の用語集も参照してください。

この記事全体で使用されている表記法と規則は次のとおりです。

  • [ n ] = {0, 1, 2, …, n } であり、これをカテゴリとして表示します（ と記述します）。 i → j ⇔ i ≤ j {\displaystyle i\to j\Leftrightarrow i\leq j}
  • Cat、（小さな）カテゴリのカテゴリ。ここで、オブジェクトはカテゴリ（ある宇宙に関して小さい）と射関数です。
  • Fct ( C , D )、関数カテゴリ:カテゴリCからカテゴリDへの関数のカテゴリ。
  • 集合、（小さな）集合のカテゴリ。
  • s集合、単体集合のカテゴリ。
  • デフォルトのステータスは「厳密」ではなく「弱い」になります。たとえば、「nカテゴリ」は、デフォルトでは厳密なカテゴリではなく「弱いnカテゴリ」を意味します。
  • ∞-カテゴリとは、他のモデルが議論されていない限り、最も一般的なモデルである準カテゴリを意味します。
  • 数ゼロ0は自然数です。

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2カテゴリー
1. 2-カテゴリは、射の間にも 2-射が存在するカテゴリの一般化です。
2. (2, 1)-カテゴリは、すべての2-射が逆である2-カテゴリです。

A

アーベル
圏がアーベル的であるとは、零対象を持ち、すべての引き戻しと押し出しを持ち、すべての単射とエピモーフィズムが正規である場合です
アクセス可能
1.基数κが与えられたとき、カテゴリ内のオブジェクトXは、κ-フィルターされた余極限と可換であるとき、 κ-アクセス可能（またはκ-コンパクト、あるいはκ-提示可能）である Hom ⁡ ( X , − ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}
2.正則基数κ が与えられたとき、カテゴリがκ フィルタされた余極限を持ち、余極限の下でカテゴリを生成する κ コンパクト オブジェクトの小さな集合Sが存在する場合、カテゴリはκ アクセス可能となります。つまり、すべてのオブジェクトはS内のオブジェクトの図の余極限として記述できます。
加法的
あるカテゴリーが前加法的（正確には、何らかの前加法的な構造を持つ）であり、すべての有限余積を許容する場合、そのカテゴリーは加法的です。「前加法的」は付加的な構造ですが、「加法的」はカテゴリーの性質であることを示すことができます。つまり、与えられたカテゴリーが加法的かどうかを問うことができます。[2]
随伴
随伴（随伴対とも呼ばれる）とは、関数F : C → D、G : D → Cの対で、「自然な」一対一関係が存在するもののことです
Hom D ⁡ ( F ( X ) , Y ) ≃ Hom C ⁡ ( X , G ( Y ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(X),Y)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(X,G(Y))} ;
FはGの左随伴であり、G はFの右随伴であると言われています。ここで「自然」とは、（最初​​の変数に対して反変である）双関手の自然な同型が存在することを意味します Hom D ⁡ ( F ( − ) , − ) ≃ Hom C ⁡ ( − , G ( − ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(-),-)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,G(-))}
モナドの代数
カテゴリXのモナドTが与えられた場合、Tの代数またはT代数は、 Tのモノイド作用を持つXのオブジェクトです(「代数」は誤解を招きやすいため、「Tオブジェクト」という用語の方が適切かもしれません)。たとえば、標準的な方法でSetのモナドTを決定するグループGが与えられた場合、 T代数はGの作用を持つセットです。
記憶喪失
関数が記憶喪失的であるとは、次の性質を持つ場合である: kが同型であり、F ( k ) が恒等写像である場合、 kは恒等写像である。
アノダイン
アノダイン拡張

B

平衡
すべての双射（つまり、単射とエピ射の両方）が同型である場合、カテゴリは平衡です
ベックの定理
ベックの定理は、与えられたモナドの代数の圏を特徴づけます
二圏
二圏は、弱い2圏のモデルです
双関手
圏CとDのペアから圏Eへの双関手は、関手C × D → Eです。例えば、任意の圏Cに対して、はC opとCからSetへの双関手です Hom ⁡ ( − , − ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-)}
双モノイド
双モノイド圏とは、2つのモノイド構造を持ち、一方が他方の上に分配される圏です
双射
双射とは、エピモーフィズムとモノモーフィズムの両方である射です
バウスフィールド局在
バウスフィールド局在を参照してください

C

関数計算
関数計算は、関数をテイラー級数展開によって研究するのと同様の方法で関数を研究する手法です。そのため、「計算」という用語が生まれました
分数微積分
分数微積分
直交座標
カテゴリが直交閉カテゴリであるのは、終端オブジェクトを持ち、任意の 2 つのオブジェクトに積と指数関数がある場合です。
直角写像関手
同じ基底圏C上の相対圏が与えられたとき、直角写像を直角写像に写す場合、C上の関手は直角写像である p : F → C , q : G → C {\displaystyle p:F\to C,q:G\to C} f : F → G {\displaystyle f:F\to G}
デカルト写像
1. 関数 π: C → D (例:スキーム上のプレスタック) が与えられたとき、 Cの射f : x → yがπ-カルティシアンであるとは、 Cの各オブジェクトz 、 Cの各射g : z → y 、 Dの各射v : π( z ) → π( x ) であって π( g ) = π( f ) ∘ vとなるものに対して、 π( u ) = vかつg = f ∘ uとなるような唯一の射u : z → x が存在する場合である。
2. 関数π: C → D（例えば、環上のプレスタック）が与えられたとき、 Cの射f : x → yがπ-コカルティシアンであるとは、 Cの各オブジェクトz 、 Cの各射g : x → z 、およびDの各射v : π( y ) → π( z ) （π( g ) = v ∘ π( f )）に対して、π( u ) = vかつg = u ∘ fとなる唯一の射u : y → zが存在 するときである。（つまり、fはπ-カルティシアン射の双対である。）
デカルト正方形
ファイバー積として与えられた図式と同型な可換図式
圏論的論理
圏論的論理は、圏論を用いた数学的論理へのアプローチです
カテゴリー確率
カテゴリー確率
カテゴリー化
カテゴリー化とは、カテゴリーの特徴を捉えるために、集合と集合論的概念をカテゴリーとカテゴリー論的概念に置き換える非自明な方法のプロセスです。脱カテゴリー化はカテゴリー化の逆です

カテゴリー理論は、空間からホモトピー的/ホモロジー的対象への質的飛躍を研究する上で、極限まで到達することを含む複雑な計算を導く必要性から生まれました。しかし、カテゴリー理論は、ウォルフ的形而上学の精神に則った単なる分類に満足するものではありません (一部の実践者はそうするかもしれませんが)。むしろ、数学的に正確な構造 (射による) の可変性がカテゴリー理論の本質的な内容です。

ウィリアム・ローヴェア[3]
カテゴリー
カテゴリーは以下のデータで構成されます
  1. オブジェクトのクラス、
  2. オブジェクトX、Yの各ペアに対して、 XからYへの射と呼ばれる要素を持つ集合が作られる。 Hom ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}
  3. オブジェクトX、Y、Zの3つの組ごとに、マップ（合成と呼ばれる）
    ∘ : Hom ⁡ ( Y , Z ) × Hom ⁡ ( X , Y ) → Hom ⁡ ( X , Z ) , ( g , f ) ↦ g ∘ f {\displaystyle \circ :\operatorname {Hom} (Y,Z)\times \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z),\,(g,f)\mapsto g\circ f} 、
  4. 各対象Xに対して、恒等射 id X ∈ Hom ⁡ ( X , X ) {\displaystyle \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Hom} (X,X)}
条件に従う：任意の射、およびに対して、 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} g : Y → Z {\displaystyle g:Y\to Z} h : Z → W {\displaystyle h:Z\to W}
  • ( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f ) {\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)} そして。 id Y ∘ f = f ∘ id X = f {\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}=f}
たとえば、半順序集合はカテゴリとして見ることができます。オブジェクトは集合の要素であり、オブジェクトの各ペアx、yに対して、次の場合のみ、一意の射が存在します。合成の結合法則は推移性を意味します。 x → y {\displaystyle x\to y} x ≤ y {\displaystyle x\leq y}
のカテゴリ
1. Catで表される（小さな）カテゴリのカテゴリは、対象が何らかの固定された宇宙に関して小さなカテゴリすべてであり、射がすべての関手であるカテゴリです
2.  加群のカテゴリー、位相空間のカテゴリー、群のカテゴリー、距離空間のカテゴリーなど
分類空間
圏 Cの分類空間は、Cの神経の幾何学的実現である
co-
op-と同義語として使われることが多い。例えば、colimitはop-limitを指し、反対のカテゴリの極限という意味で使われる。しかし、区別がある場合もある。例えば、op-fibrationはcofibrationと同じではない
共密度モナド
共密度モナド
共終点
関手の共終点はFの終点の双対であり、次のように表される F : C op × C → X {\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}
∫ c ∈ C F ( c , c ) {\displaystyle \int ^{c\in C}F(c,c)} 。
例えば、Rが環、Mが右R加群、Nが左R加群の場合、MとNのテンソル積は
M ⊗ R N = ∫ R M ⊗ Z N {\displaystyle M\otimes _{R}N=\int ^{R}M\otimes _{\mathbb {Z} }N}
ここで、Rは、その射がRの要素である 1 つのオブジェクトを持つカテゴリとして見られます。
余等化子
射のペアの余等化子は、そのペアの余極限です。これは等化子の双対です f , g : A → B {\displaystyle f,g:A\to B}
コヒーレンス定理
コヒーレンス定理
コヒーレンス定理
コヒーレンス定理は、弱い構造が厳密な構造と等価であることを述べる形式の定理です
首尾一貫した
1. 首尾一貫したカテゴリー（現時点では、https://ncatlab.org/nlab/show/coherent+category を参照）。
2.首尾一貫したトポス。
凝集性
凝集圏
共像
射f : X → Yの共像は、の共等化子です X × Y X ⇉ X {\displaystyle X\times _{Y}X\rightrightarrows X}
色付きオペラド
多重圏の別名。射が複数の定義域を持つことができる一般化された圏。「色付きオペラド」の概念はオペラドの概念よりも原始的です。実際、オペラドは単一の対象を持つ色付きオペラドとして定義できます
コンマ
関数が与えられたとき、コンマ圏とは、(1) オブジェクトが射であり、(2) からへの射がから成り、 となるような圏です。例えば、fが恒等関数で、g が値bを持つ定数関数である場合、それはオブジェクトb上のBのスライス圏です f : C → B , g : D → B {\displaystyle f:C\to B,g:D\to B} ( f ↓ g ) {\displaystyle (f\downarrow g)} f ( c ) → g ( d ) {\displaystyle f(c)\to g(d)} α : f ( c ) → g ( d ) {\displaystyle \alpha :f(c)\to g(d)} β : f ( c ′ ) → g ( d ′ ) {\displaystyle \beta :f(c')\to g(d')} c → c ′ {\displaystyle c\to c'} d → d ′ {\displaystyle d\to d'} f ( c ) → f ( c ′ ) → β g ( d ′ ) {\displaystyle f(c)\to f(c'){\overset {\beta }{\to }}g(d')} f ( c ) → α g ( d ) → g ( d ′ ) . {\displaystyle f(c){\overset {\alpha }{\to }}g(d)\to g(d').}
コモナド
圏Xのコモナドは、Xの自己関数子のモノイド圏のコモノイドです
コンパクト
おそらく#accessibleと同義です。
完全
すべての小さな限界が存在する場合、カテゴリは完全です。
完全性
ドリーニュの完全性定理。[1]を参照。
合成
1. 圏における射の合成は、その圏を定義するデータの一部である
2.が関数である場合、合成またはは次のように定義される関数です。C内のオブジェクトxと射uに対して、。 f : C → D , g : D → E {\displaystyle f:C\to D,\,g:D\to E} g ∘ f {\displaystyle g\circ f} g f {\displaystyle gf} ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) , ( g ∘ f ) ( u ) = g ( f ( u ) ) {\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)),\,(g\circ f)(u)=g(f(u))}
3. 自然変換は点ごとに合成されます。つまり、が自然変換である場合、 はによって与えられる自然変換です。 φ : f → g , ψ : g → h {\displaystyle \varphi :f\to g,\,\psi :g\to h} ψ ∘ φ {\displaystyle \psi \circ \varphi } ( ψ ∘ φ ) x = ψ x ∘ φ x {\displaystyle (\psi \circ \varphi )_{x}=\psi _{x}\circ \varphi _{x}}
計算
計算
具体的な
具体的な圏 Cとは、 CからSetへの忠実な関手が存在する圏です。例えば、Vec、Grp、Topなどです
円錐
円錐は、余極限（または双対的に極限）の普遍性を表現する方法です。 [4]によれば、余極限は対角関数の左随伴関数であり、オブジェクトXを値Xを持つ定数関数に送る関数であることが示せます。つまり、任意のXと任意の関数に対して、 lim → {\displaystyle \varinjlim } Δ : C → Fct ⁡ ( I , C ) {\displaystyle \Delta :C\to \operatorname {Fct} (I,C)} f : I → C {\displaystyle f:I\to C}
Hom ⁡ ( lim → ⁡ f , X ) ≃ Hom ⁡ ( f , Δ X ) , {\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{X}),}
問題の余極限が存在すると仮定する。すると右辺は頂点Xを持つ円錐の集合となる。[5]
連結
カテゴリが連結であるとは、オブジェクトx、yの各ペアに対して、任意のiに対してまたはが空でない場合、オブジェクトの有限列z iが存在することを意味します z 0 = x , z n = y {\displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y} Hom ⁡ ( z i , z i + 1 ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1})} Hom ⁡ ( z i + 1 , z i ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})}
保存関数
保存関数とは、同型性を反映する関数です。多くの忘却関数は保存的ですが、TopからSetへの忘却関数は保存的ではありません
定数
関数が定数であるとは、カテゴリ内のすべてのオブジェクトを同じオブジェクトAに、すべての射をA上の恒等写像に写す場合です。言い換えると、関数が定数であるとは、D内の何らかのオブジェクトAに対して、iが離散カテゴリ{ A }の包含である場合です f : C → D {\displaystyle f:C\to D} C → { A } → i D {\displaystyle C\to \{A\}{\overset {i}{\to }}D}
反変関手
圏Cから圏Dへの反変関手 Fは、 C opからDへの（共変）関手です。特にDが集合またはその変種である場合、前層と呼ばれることもあります。例えば、各集合Sに対し、Sの冪集合をとし、各関数に対して、と定義します P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)} f : S → T {\displaystyle f:S\to T}
P ( f ) : P ( T ) → P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(T)\to {\mathfrak {P}}(S)}
Tの 部分集合A を原像 に送ることによって、は反変関手となる。 f − 1 ( A ) {\displaystyle f^{-1}(A)} P : S e t → S e t {\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }
副産物
集合Iで添え字付けされた圏C内のオブジェクト族X iの余積は、 I を離散圏と見なした場合の関数 の帰納的極限である。これは族の積の双対である。例えば、 Grp内の余積は自由積である。 lim → {\displaystyle \varinjlim } I → C , i ↦ X i {\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}
コア
圏のコアとは、その圏に含まれる最大の群のことです
立方体
立方体集合は単体集合の代替であり、単体は立方体に置き換えられます

D

デイ畳み込み
群またはモノイドMが与えられたとき、デイ畳み込みはMのテンソル積である。[6] F c t ( M , S e t ) {\displaystyle \mathbf {Fct} (M,\mathbf {Set} )}
樹状体
樹状体集合
密度定理
密度定理は、任意の前層（集合値反変関手）は表現可能な前層の余極限であることを述べています。米田の補題は、圏CをC上の前層の圏に埋め込みます。すると密度定理は、像がいわば「稠密」であることを示します。「密度」という名称は、抽象代数学におけるヤコブソンの密度定理（あるいはその他の変種）との類似性に由来します。
対角関手
1. 圏I、Cが与えられた場合、対角関手は関手である
Δ : C → F c t ( I , C ) , A ↦ Δ A {\displaystyle \Delta :C\to \mathbf {Fct} (I,C),\,A\mapsto \Delta _{A}}
これは、各オブジェクトA を値Aを持つ定数関数に送り、各射を各iにおける自然変換fに送ります。 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} Δ f , i : Δ A ( i ) = A → Δ B ( i ) = B {\displaystyle \Delta _{f,i}:\Delta _{A}(i)=A\to \Delta _{B}(i)=B}
図
1. 圏Cが与えられたとき、C内の図式は圏Iからの関手である。例えば、恒等写像以外の射を持たない場合、図式は単にオブジェクトの列となる。一般のIの場合、典型的にはfの下でI内のオブジェクトの像の間に射が存在する（ここから図式という用語が生まれる）。 f : I → C {\displaystyle f:I\to C} I = N {\displaystyle I=\mathbb {N} }
2.  単体図、単体カテゴリの反対の図。 Δ op {\displaystyle \Delta ^{\textrm {op}}}
図式集合
図式集合は、単体集合や立方集合の代替です
微分次数圏
微分次数圏とは、Hom集合に微分次数圏の構造が備わっている圏のことです。特に、その圏が1つの対象しか持たない場合、それは微分次数圏と同じです
直接制限
直接極限は、直接システムの余極限です。
離散的
各射が（何らかの対象の）恒等射である場合、圏は離散的である。例えば、集合は離散圏と見なすことができる
ディストリビューター
「プロファンクター」の別名
ダブル
ダブルカテゴリー
ドワイヤー・カン同値性
ドワイヤー・カン同値性は、圏の同値を単体的文脈に一般化したものである。[7]

E

集合の圏の基礎理論
集合の圏の基礎理論。このリンクはリダイレクトです。今のところ、https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS をご覧ください
アイレンバーグ・ムーア圏
与えられたモナドの代数の圏の別名
アイレンベルク・ツィルバー圏
アイレンベルク・ツィルバー圏
空
空圏とは、対象を持たない圏のことです。空集合を離散圏として捉えた場合、空集合と同じものになります。
終わり
関数の終わりは極限である F : C op × C → X {\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}
∫ c ∈ C F ( c , c ) = lim ← ⁡ ( F # : C # → X ) {\displaystyle \int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X)}
ここで、 はカテゴリ（Cの細分カテゴリと呼ばれる）であり、そのオブジェクトはCのすべてのオブジェクトcとすべての射uのシンボルであり、その射はと であり、ここではFによって誘導されるのでになり、は になる。例えば、関数 の場合、 C # {\displaystyle C^{\#}} c # , u # {\displaystyle c^{\#},u^{\#}} b # → u # {\displaystyle b^{\#}\to u^{\#}} u # → c # {\displaystyle u^{\#}\to c^{\#}} u : b → c {\displaystyle u:b\to c} F # {\displaystyle F^{\#}} c # {\displaystyle c^{\#}} F ( c , c ) {\displaystyle F(c,c)} u # , u : b → c {\displaystyle u^{\#},u:b\to c} F ( b , c ) {\displaystyle F(b,c)} F , G : C → X {\displaystyle F,G:C\to X}
∫ c ∈ C Hom ⁡ ( F ( c ) , G ( c ) ) {\displaystyle \int _{c\in C}\operatorname {Hom} (F(c),G(c))}
はFからGへの 自然変換の集合です。その他の例については、このmathoverflowのスレッドを参照してください。端点の双対は共端点です。
自己関数
同じ圏間の関数
拡張圏
モノイド的カテゴリ ( C , ⊗, 1 ) が与えられたとき、Cに富むカテゴリとは、非公式には、その Hom 集合がCに含まれるカテゴリのことである。より正確には、 Cに富むカテゴリDとは 、
  1. オブジェクトのクラス、
  2. D内のオブジェクトX、Yの各ペアに対して、 C内のオブジェクト（ XからYへのマッピングオブジェクトと呼ばれる） Map D ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Map} _{D}(X,Y)}
  3. D内の各オブジェクトX、Y、Zの三つ組に対して、 C内の射は、
    ∘ : Map D ⁡ ( Y , Z ) ⊗ Map D ⁡ ( X , Y ) → Map D ⁡ ( X , Z ) {\displaystyle \circ :\operatorname {Map} _{D}(Y,Z)\otimes \operatorname {Map} _{D}(X,Y)\to \operatorname {Map} _{D}(X,Z)} 、
    作曲と呼ばれる
  4. D内の各オブジェクトXに対して、 C内の射（Xの単位射と呼ばれる） 1 X : 1 → Map D ⁡ ( X , X ) {\displaystyle 1_{X}:1\to \operatorname {Map} _{D}(X,X)}
ただし、（大まかに）合成が結合的であり、単位射が乗法単位元として作用するという条件に従う。例えば、集合上に富化された圏は通常の圏である。
射影写像
射fは、 のときはいつでも、射影写像である。言い換えれば、fは単射の双対である g = h {\displaystyle g=h} g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f}
イコライザー
射のペアのイコライザーは、そのペアの極限です。これはコイコライザーの双対です f , g : A → B {\displaystyle f,g:A\to B}
同値性
1. 関数が忠実で、完全で、本質的に射影的である場合、その関数は同値性を持つ
2. ∞カテゴリCの射は、 C のホモトピーカテゴリに同型を与える場合、同値である。
同等
あるカテゴリーと別のカテゴリーの間に同値性がある場合、そのカテゴリーは同等です
本質的に射影的
関数Fは、すべての対象Bに対して、F ( A )がBと同型となるような対象Aが存在する場合、本質的に射影的（または同型稠密）であると呼ばれます
評価
カテゴリC、D 、およびC内のオブジェクトAが与えられた場合、 Aにおける評価は関手である
F c t ( C , D ) → D , F ↦ F ( A ) . {\displaystyle \mathbf {Fct} (C,D)\to D,\,\,F\mapsto F(A).}
たとえば、Eilenberg–Steenrod 公理は、関数が同値である場合の例を示します。
正確な
1.正確な数列は、通常、写像の列（任意の負の整数から任意の正の整数まで）です
⋯ → E 1 → f 1 E 2 → f 2 E 3 → ⋯ {\displaystyle \cdots \to E_{1}{\overset {f_{1}}{\to }}E_{2}{\overset {f_{2}}{\to }}E_{3}\to \cdots }
の像がの核となるようなもの。この概念は様々な方法で一般化できる。 f i {\displaystyle f_{i}} f i + 1 {\displaystyle f_{i+1}}
2. 短完全数列は、 の形式の数列です。 0 → E → F → G → 0 {\displaystyle 0\to E\to F\to G\to 0}
3. 関数（たとえば、アーベルカテゴリ間）は、短い完全シーケンスを短い完全シーケンスに変換する場合、完全であると言われます。
4.正確なカテゴリとは、おおよそ、短い正確なシーケンスの概念があるカテゴリです。
5. Barr の意味での正確なカテゴリー。
出口
出口経路カテゴリ

F

忠実な
関数が忠実なのは、各ホム集合に制限されたときに単射である場合です
基本圏
基本圏関手は神経関手Nの左随伴である。任意の圏Cに対して、… τ 1 : s S e t → C a t {\displaystyle \tau _{1}:s\mathbf {Set} \to \mathbf {Cat} } τ 1 N C = C {\displaystyle \tau _{1}NC=C}
基本群
カン複体Xの基本群 は、対象が0-単体（頂点）であり、射が1-単体（パス）のホモトピー類であり、合成がカンの性質によって決定される圏です Π 1 X {\displaystyle \Pi _{1}X} Δ 0 → X {\displaystyle \Delta ^{0}\to X} Δ 1 → X {\displaystyle \Delta ^{1}\to X}
ファイバー化圏
関数π: C → DがC をD上のファイバー化圏 として示すとは、D内の各射g : x → π( y )に対して、 C内のπ-カルティシアン射f : x' → yが存在し、π( f ) = gとなる場合を言う。D がアフィンスキームの圏（例えば、ある体上の有限型の圏）である場合、 π はより一般的にはプレスタックと呼ばれる。注：π はしばしば忘却関数であり、実際、グロタンディーク構成は、すべてのファイバー化圏がその形とみなせることを意味する（適切な意味での同値性を除く）。
ファイバー積
圏Cと集合Iが与えられたとき、Iで添え字付けられたC内の対象X iの族の対象S上のファイバー積は、 Cのスライス圏における族のS上の積です（ が存在する場合）。2つの対象XとYの対象S上のファイバー積は で表され、直交正方形とも呼ばれます C / S {\displaystyle C_{/S}} X i → S {\displaystyle X_{i}\to S} X × S Y {\displaystyle X\times _{S}Y}
ファイブラント
ファイブラントの概念が存在する場合、あるオブジェクトから最終的なオブジェクトへの唯一の射がファイブラントである場合、そのオブジェクトはファイブラントである
フィルタリング
1.フィルタリングされたカテゴリ（フィルトラントカテゴリとも呼ばれる）は、次の性質を持つ空でないカテゴリである。(1) オブジェクトiとjが与えられたとき、オブジェクトkと射i → kとj → kが存在する。(2) 射u、v : i → jが与えられたとき、オブジェクトkと射w : j → kが存在し、 w ∘ u = w ∘ vが成立する。カテゴリIがフィルタリングされる場合、かつその場合のみ、有限カテゴリJと関数f : J → Iの任意のオブジェクトiに対して、その集合が空でない。 lim ← ⁡ Hom ⁡ ( f ( j ) , i ) {\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}
2. 基数πが与えられたとき、射の集合の基数がπより厳密に小さい各カテゴリJに対して、その集合がI内のあるオブジェクトiに対して空でない場合、カテゴリはπフィルトラントであると言われる。 lim ← ⁡ Hom ⁡ ( f ( j ) , i ) {\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}
最終
終端と同義
有限モナド
有限モナドまたは代数モナドは、基礎となる自己関数がフィルター付き余極限と可換である集合上のモナドです
有限
圏は、有限個の射しか持たない場合、有限である。
忘却関手
忘却関手は、大まかに言えば、オブジェクトのデータの一部を失う関手です。たとえば、グループをその基礎セットに送り、グループ準同型をそれ自身に送る関手は忘却関手です。 G r p → S e t {\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }
自由カテゴリー
自由カテゴリー
自由補完
自由補完、自由共補完
自由関手
自由関手は忘却関手の左随伴関数です。例えば、環Rに対して、集合X をXによって生成される自由R加群に送る関手は自由関手です（これが名前の由来です）。
フロベニウス圏
フロベニウス圏とは、十分な数の入射項と十分な数の射影項を持ち、射影対象の類が一致するような正確な圏です
深谷カテゴリー
深谷カテゴリーをご覧ください。
フル
1. 関数が各ホム集合に制限されたときに射影的である場合、その関数は完全である。
2. カテゴリAは、 AからBへの包含関数が完全である場合に、カテゴリBの完全サブカテゴリになります。
関手
圏C、Dが与えられたとき、CからDへの関手 FはCからDへの構造保存写像である。すなわち、 C内の各オブジェクトxに対するD内のオブジェクトF ( x )と、 C内の各射fに対するD内の射F ( f )から成り、以下の条件を満たす：(1)が定義されている場合、かつ(2) 。例えば、 F ( f ∘ g ) = F ( f ) ∘ F ( g ) {\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)} f ∘ g {\displaystyle f\circ g} F ( id x ) = id F ( x ) {\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})=\operatorname {id} _{F(x)}}
P : S e t → S e t , S ↦ P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} ,\,S\mapsto {\mathfrak {P}}(S)} 、
ここで、Sの冪集合は、次のように定義されるとき、関数である。各関数 に対して、によって P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)} f : S → T {\displaystyle f:S\to T} P ( f ) : P ( S ) → P ( T ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(T)} P ( f ) ( A ) = f ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(f)(A)=f(A)}
関数圏
関数圏 Fct ( C , D )、つまり圏Cから圏Dへの関数圏は、対象がCからDへのすべての関数であり、射が関数間のすべての自然変換である圏です D C {\displaystyle D^{C}}

G

ガブリエル・ポペスクの定理
ガブリエル・ポペスクの定理によれば、アーベル圏は加群の圏の商である。
ガロア圏
1. SGA 1、Exposé V（定義5.1）において、ある圏が、ある非有限群Gに対する有限G集合の圏と同値である場合、その圏はガロア圏と呼ばれる
2.技術的な理由により、一部の著者（例えば、Stacksプロジェクト[8]または[9]）は若干異なる定義を使用しています。
生成子
圏Cにおいて、関数が保存的であれば、オブジェクトの族はCの生成子系と呼ばれます。その双対は余生成子系と呼ばれます G i , i ∈ I {\displaystyle G_{i},i\in I} X ↦ ∏ i ∈ I Hom ⁡ ( G i , X ) {\displaystyle X\mapsto \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} (G_{i},X)}
一般化された
一般化された距離空間
灰色
1.グレイテンソル積はデカルト積の緩い類似物である。[10]
2.グレーカテゴリとは、ある特定の準厳密な3カテゴリです。https://ncatlab.org/nlab/show/Gray-category を参照してください。
グロストポス
グロストポス（位相空間）の概念は、ジャン・ジローによるものです
グロタンディークのガロア理論
ガロア理論の圏論的一般化。グロタンディークのガロア理論を参照
グロタンディーク圏
グロタンディーク圏は、ある種の行儀の良いアーベル圏の一種です
グロタンディーク構成
関数が与えられたとき、D U を、 C内のオブジェクトxとカテゴリU ( x )内のオブジェクトuからなるペア ( x , u )であるカテゴリとします。また、( x , u ) から ( y , v ) への射は、 C内の射f : x → yとU ( y )内の射U ( f )( u ) → vからなるペアです。UからD Uへの通過は、グロタンディーク構成と呼ばれます U : C → C a t {\displaystyle U:C\to \mathbf {Cat} }
グロタンディーク繊維化
繊維状カテゴリ
類
1. カテゴリ内のすべての射が同型である場合、そのカテゴリは群と呼ばれます。
2. ∞-カテゴリは、その中のすべての射が同値である場合（またはそれがカン複体である場合と同値である場合）、∞-群体と呼ばれます。

H

カテゴリーのホール代数
リンゲル・ホール代数を参照してください。
ハート
三角形化圏上のT構造（、 ）のハートは、交差です。これはアーベル圏です D ≥ 0 {\displaystyle D^{\geq 0}} D ≤ 0 {\displaystyle D^{\leq 0}} D ≥ 0 ∩ D ≤ 0 {\displaystyle D^{\geq 0}\cap D^{\leq 0}}
高次圏理論
高次圏理論は、n圏と∞圏の研究を扱う圏理論のサブフィールドです
上位スタック
上位スタックとは、スタックを上位カテゴリに一般化したものです
ホモロジー次元
十分な数の単射を持つアーベル圏のホモロジー次元は、その圏内のすべての対象が長さn以下の単射的分解を許容するような、最小の非負整数nです。そのような整数が存在しない場合、次元は∞です。例えば、主イデアル領域Rを持つMod Rのホモロジー次元は高々1です
ホモトピーカテゴリ
ホモトピー圏を参照してください。これは圏の局所化と密接に関連しています
ホモトピー余極限
トマソンのホモトピー余極限定理
ホモトピー仮説
ホモトピー仮説では、 ∞ 群体は空間であると述べられています (より明確に言えば、 n群体はn型のホモトピーとして使用できます)。

I

べき等
準同型写像fは、次の場合べき等である f ∘ f = f {\displaystyle f\circ f=f}
恒等射
1.オブジェクトAの恒等射 fとは、 AからAへの射であって、定義域Aを持つ任意の射gと、余定義域Aを持つ任意の射hに対して、そしてとなるものである g ∘ f = g {\displaystyle g\circ f=g} f ∘ h = h {\displaystyle f\circ h=h}
2.カテゴリC上の恒等関数は、オブジェクトと射を自分自身に送信するCからCへの関数です。
3. 関数F : C → Dが与えられたとき、FからFへの恒等自然変換は、 C内のオブジェクトXに対するD内のF ( X )の恒等射からなる自然変換である。
像
射 f : X → Yの像はのイコライザーです Y ⇉ Y ⊔ X Y {\displaystyle Y\rightrightarrows Y\sqcup _{X}Y}
帰納的極限
における余極限（または帰納的極限）。 F c t ( C op , S e t ) {\displaystyle \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}
帰納的極限
余極限の別名。
∞-圏

∞-圏理論は、圏論の形式言語の意味論的解釈である。これは、圏論の言語で定式化されたあらゆる言明を、∞-圏の設定において体系的に理解できることを意味する

∞-圏は、対象と射の類/集合を対象と射の空間に置き換えることによって圏から得られる。正確には、∞-圏Cは次の条件を満たす単体集合である：各0 < i < nに対して、
  • 単体集合の写像はすべてn単体に拡張される f : Λ i n → C {\displaystyle f:\Lambda _{i}^{n}\to C} f : Δ n → C {\displaystyle f:\Delta ^{n}\to C}
ここで、Δ nは標準のn単体であり、 Δ nからi番目の面と内部を取り除いて得られる（カンファイブレーション#定義 を参照）。例えば、ある圏の神経は条件を満たすため、∞圏とみなすことができる。 Λ i n {\displaystyle \Lambda _{i}^{n}}
(∞, n )-カテゴリ
(∞, n )-カテゴリは、射の空間を射の (∞, n - 1)-カテゴリに置き換えることによって、∞-カテゴリから得られます。
∞層
ホモトピー層の別名。
初期値
1. オブジェクトAが初期オブジェクトである場合、 Aから各オブジェクトへの射が 1 つだけ存在します。たとえば、Set内の空セットなどです。
2. ∞カテゴリC内のオブジェクトAが初期オブジェクトである場合、それはC内の各オブジェクトBに対して縮約可能である。 Map C ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(A,B)}
単射
1.アーベル圏の対象Aは、関数が完全であれば単射である。これは射影対象の双対である Hom ⁡ ( − , A ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}
2. 「単射極限」という用語は直接極限の別名です。
内部Hom
モノイド圏( C ,⊗)が与えられたとき、内部Homは、 Cの各対象Yに対してがの右随伴となるような関手である。例えば、可換環R上の加群の圏の内部Homは、 R線型写像の集合として与えられる [ − , − ] : C op × C → C {\displaystyle [-,-]:C^{\text{op}}\times C\to C} [ Y , − ] {\displaystyle [Y,-]} − ⊗ Y {\displaystyle -\otimes Y} [ M , N ] = Hom R ⁡ ( M , N ) {\displaystyle [M,N]=\operatorname {Hom} _{R}(M,N)}
逆
1. 射fが射gの逆であるとは、 が定義され、 gの余域上の恒等射と等しく、が定義され、 gの定義域上の恒等射と等しい場合である。 gの逆は一意であり、 g −1と表記される。が定義され、 gの定義域上の恒等射と等しい場合、 fはgの左逆であり、右逆についても同様である g ∘ f {\displaystyle g\circ f} f ∘ g {\displaystyle f\circ g} f ∘ g {\displaystyle f\circ g}
2.逆極限は逆システムの極限です。
イスベル
1.  イスベル双対性／イスベル共役性
2.  イズベル完成。
3. イズベル包絡線
同型
1. あるオブジェクトと別のオブジェクトの間に同型性がある場合、そのオブジェクトは同型です。
2. あるカテゴリと別のカテゴリの間に同型性がある場合、そのカテゴリは別のカテゴリと同型です。
同型
射fは、fの逆が存在するとき同型である

K

カン
1.カン複体は、単体集合の圏におけるファイブラントな対象である。すなわち、そこから最終対象への唯一の射はファイブレーション（カンファイブレーション）である。これはしばしば∞-群体のモデルとしてとらえられる
2.単体集合間のKanファイバ化は、およびの角包含に関して正しい持ち上げ特性を持つ写像である。 Λ k n → Δ n {\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\to \Delta ^{n}} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n}
3. 各ホム集合が単体集合であるカン複体の圏を考える。そのホモトピー整合神経は、カンと表記される∞-圏である。ホモトピー仮説の観点から、後者はしばしば空間の∞-圏とみなされる。
カン拡張
1. 圏Cが与えられたとき、関数 C に沿った左カン拡大関数は、（もし存在するならば） α の左随伴関数であり、 αと表記される。任意の α に対して、この関数はfに沿った α の左カン拡大と呼ばれる。[12]以下を示すことができる f : I → J {\displaystyle f:I\to J} f ∗ = − ∘ f : Fct ⁡ ( J , C ) → Fct ⁡ ( I , C ) {\displaystyle f^{*}=-\circ f:\operatorname {Fct} (J,C)\to \operatorname {Fct} (I,C)} f ! {\displaystyle f_{!}} α : I → C {\displaystyle \alpha :I\to C} f ! α : J → C {\displaystyle f_{!}\alpha :J\to C}
( f ! α ) ( j ) = lim → f ( i ) → j ⁡ α ( i ) {\displaystyle (f_{!}\alpha )(j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)}
ここで、余極限はコンマ カテゴリ内の すべてのオブジェクトに適用されます。 f ( i ) → j {\displaystyle f(i)\to j}
2. 右 Kan 拡大関数は の右随伴関数（存在する場合）であり、 と表記されます。 f ∗ {\displaystyle f^{*}} f ∗ {\displaystyle f_{*}}
ケン・ブラウンの補題
ケン・ブラウンの補題は、関数が弱同値性を保つための十分条件を与える
クライスリ圏
モナドTが与えられたとき、Tのクライスリ圏は、自由T-代数からなるT-代数の圏（アイレンバーグ・ムーア圏と呼ばれる）の完全な部分圏である

L

緩い
緩い関手は擬似関手の一般化であり、合成と恒等式に関連する構造変換は可逆である必要はありません
長さ
アーベル圏の対象は合成級数を持つ場合、有限長であると言われる。そのような合成級数における真部分対象の最大数は、Aの長さと呼ばれる。[13]
極限
1.関手の極限（または射影極限）は f : I op → S e t {\displaystyle f:I^{\text{op}}\to \mathbf {Set} }
lim ← i ∈ I ⁡ f ( i ) = { ( x i | i ) ∈ ∏ i f ( i ) | f ( s ) ( x j ) = x i  for any  s : i → j } . {\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}|i)\in \prod _{i}f(i)|f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{ for any }}s:i\to j\}.}
2.関数の極限とは、C内の任意のオブジェクト X に対して、 C内の任意のオブジェクトX がを満たすオブジェクトのことである。つまり、関数を表すオブジェクトである。 lim ← i ∈ I ⁡ f ( i ) {\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)} f : I op → C {\displaystyle f:I^{\text{op}}\to C} Hom ⁡ ( X , lim ← i ∈ I ⁡ f ( i ) ) = lim ← i ∈ I ⁡ Hom ⁡ ( X , f ( i ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (X,\varprojlim _{i\in I}f(i))=\varprojlim _{i\in I}\operatorname {Hom} (X,f(i))} X ↦ lim ← i ⁡ Hom ⁡ ( X , f ( i ) ) . {\displaystyle X\mapsto \varprojlim _{i}\operatorname {Hom} (X,f(i)).}
3. 余極限（または帰納的極限）は極限の双対です。つまり、関数 が与えられたとき、任意のXに対して が成り立ちます。明示的に、 を与えることは、任意のに対して が となるような射の族を与えることです。おそらく、余極限の最も単純な例は余等化子です。別の例として、f をC上の恒等関数とし、 が存在するとします。このとき、 L上の恒等射は、が恒等射となるような互換な射の族に対応します。 が任意の射である場合、 です。つまり、LはCの最終オブジェクトです。 lim → i ∈ I ⁡ f ( i ) {\displaystyle \varinjlim _{i\in I}f(i)} f : I → C {\displaystyle f:I\to C} Hom ⁡ ( lim → ⁡ f ( i ) , X ) = lim ← ⁡ Hom ⁡ ( f ( i ) , X ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f(i),X)=\varprojlim \operatorname {Hom} (f(i),X)} lim → ⁡ f ( i ) → X {\displaystyle \varinjlim f(i)\to X} f ( i ) → X {\displaystyle f(i)\to X} i → j {\displaystyle i\to j} f ( i ) → X {\displaystyle f(i)\to X} f ( i ) → f ( j ) → X {\displaystyle f(i)\to f(j)\to X} L = lim → X ∈ C ⁡ f ( X ) {\displaystyle L=\varinjlim _{X\in C}f(X)} α X : X → L {\displaystyle \alpha _{X}:X\to L} α L {\displaystyle \alpha _{L}} f : X → L {\displaystyle f:X\to L} f = α L ∘ f = α X {\displaystyle f=\alpha _{L}\circ f=\alpha _{X}}
カテゴリーのローカライズ
カテゴリの局所化と∞カテゴリの局所化を参照してください。

M

ミッタク・レフラー条件
逆システムは 、各整数 に対して、各 に対して、およびの像が同じになるような整数が存在する場合、ミッタク・レフラー条件を満たすと言われます。 ⋯ → X 2 → X 1 → X 0 {\displaystyle \cdots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}} n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} m ≥ n {\displaystyle m\geq n} l ≥ m {\displaystyle l\geq m} X m → X n {\displaystyle X_{m}\to X_{n}} X l → X n {\displaystyle X_{l}\to X_{n}}
修正
修正とは、自然変換間の射影です
モジュラー
モジュラー圏
モナド
圏Xのモナドは、 Xの自己関数者のモノイド圏におけるモノイドオブジェクトであり、そのモノイド構造は合成によって与えられます。例えば、群Gが与えられたとき、Set上の自己関数者Tをによって定義します。そして、 T上の乗法μを、次式で与えられる 自然変換として定義します T ( X ) = G × X {\displaystyle T(X)=G\times X} μ : T ∘ T → T {\displaystyle \mu :T\circ T\to T}
μ X : G × ( G × X ) → G × X , ( g , ( h , x ) ) ↦ ( g h , x ) {\displaystyle \mu _{X}:G\times (G\times X)\to G\times X,\,\,(g,(h,x))\mapsto (gh,x)}
同様に 恒等写像ηも定義する。すると、 ( T , μ , η ) はSet内のモナドを構成する。より本質的には、関数間の随伴がX内のモナドを決定する。つまり、T上の恒等写像ηを随伴の単位とみなし、随伴を用いてμを定義する。 F : X ⇄ A : G {\displaystyle F:X\rightleftarrows A:G} T = G ∘ F {\displaystyle T=G\circ F}
単項
1. 随伴行為は、アイレンバーグ・ムーア範疇（モナドの代数の範疇）によって決定されるモナドから生じる場合、モナド的であると言われる。
2. 関数がモナド的随伴作用素の構成要素である場合、その関数はモナド的であると言われます。
モノイド圏
モノイド圏はテンソル圏とも呼ばれ、(1)双関数、(2) 恒等対象、(3) ⊗ を結合的にし、恒等対象を ⊗ の恒等対象とする自然同型（ただし、特定の一貫性条件に従う）を備えた圏 C です ⊗ : C × C → C {\displaystyle \otimes :C\times C\to C}
モノイド対象
モノイド圏におけるモノイド対象は、乗法写像と恒等写像を伴い、結合性などの期待される条件を満たす対象です。例えば、Setにおけるモノイド対象は通常のモノイド（単位半群）であり、Rを法とするRにおけるモノイド対象は可換環R上の結合代数です
単射
射fは、が成り立つとき、単射（モニックとも呼ばれる）である。例えば、Setへの単射。言い換えれば、fはエピモーフィズムの双対である g = h {\displaystyle g=h} f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h}
多重圏
多重圏とは、射が複数の定義域を持つことを許す圏の一般化です。これは色付きオペランドと同じものです。[14]

N

nカテゴリ

弱nカテゴリーの定義を比較するという問題は扱いにくいものです。なぜなら、そのような 2 つの定義が同等であるということ自体が意味するところさえ難しいからです。[...] 弱nカテゴリーとそれらの間の関数、変換などによって形成される構造は弱 ( n + 1) カテゴリーであるべきだと広く考えられています。もしそうであれば、問題は、弱nカテゴリーの弱 ( n + 1) カテゴリーが私のものと同等であるかどうかですが、ここでは誰の弱 ( n + 1) カテゴリーの定義を使用しているのでしょうか...?

トム・レンスター「nカテゴリーの定義の概観」
1.厳密なn -カテゴリは帰納的に定義される。厳密な 0 -カテゴリは集合であり、厳密なn -カテゴリは、Hom 集合が厳密な ( n -1) -カテゴリであるカテゴリである。厳密に言えば、厳密なn -カテゴリは、厳密な ( n -1) -カテゴリによって拡張されたカテゴリである。例えば、厳密な 1 -カテゴリは通常のカテゴリである。
2.弱いnカテゴリの概念は、厳密なカテゴリから、合成の結合性などの条件を弱い意味での一貫性のある同型性までのみ成り立つように弱めることによって得られます。
3. ∞-圏はn-圏のcolimの一種として定義できる。逆に、（弱い）∞-圏（例えば準圏）という概念を最初に持つ場合、弱いn-圏は切断された∞-圏の一種として定義できる。
自然
1. 自然変換とは、大まかに言えば、関数間の写像です。正確には、圏Cから圏Dへの関数のペアF、Gが与えられたとき、FからGへの自然変換φはDにおける射の集合です
{ ϕ x : F ( x ) → G ( x ) ∣ x ∈ Ob ⁡ ( C ) } {\displaystyle \{\phi _{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}}
は条件を満たす：C内の各射f : x → yに対して、 となる。例えば、可換環R内の係数を持つn行n列の可逆行列の群について と書くと、可換環の圏CRingから群の圏Grpへの関手として見ることができる。同様に、はCRingからGrpへの関手である。すると、行列式det は から- *への自然変換となる。 ϕ y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ ϕ x {\displaystyle \phi _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \phi _{x}} G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(R)} G L n {\displaystyle GL_{n}} R ↦ R ∗ {\displaystyle R\mapsto R^{*}} G L n {\displaystyle GL_{n}}
2.自然同型とは、同型である（つまり、逆変換を許容する）自然変換のことである。
合成は 2 単体としてエンコードされます。
神経
1.神経関手 NはCatからs Setへの関手で、によって与えられます。例えば、が（2-単体と呼ばれる）の関手である場合、 とします。すると、はCの射であり、またCのあるgに対しても射となります。は が続き、は関手であるため、 となります。言い換えれば、 はf、g 、およびそれらの合成を符号化します。 N ( C ) n = Hom C a t ⁡ ( [ n ] , C ) {\displaystyle N(C)_{n}=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Cat} }([n],C)} φ {\displaystyle \varphi } N ( C ) 2 {\displaystyle N(C)_{2}} x i = φ ( i ) , 0 ≤ i ≤ 2 {\displaystyle x_{i}=\varphi (i),\,0\leq i\leq 2} φ ( 0 → 1 ) {\displaystyle \varphi (0\to 1)} f : x 0 → x 1 {\displaystyle f:x_{0}\to x_{1}} φ ( 1 → 2 ) = g : x 1 → x 2 {\displaystyle \varphi (1\to 2)=g:x_{1}\to x_{2}} 0 → 2 {\displaystyle 0\to 2} 0 → 1 {\displaystyle 0\to 1} 1 → 2 {\displaystyle 1\to 2} φ {\displaystyle \varphi } φ ( 0 → 2 ) = g ∘ f {\displaystyle \varphi (0\to 2)=g\circ f} φ {\displaystyle \varphi }
2.単体的に豊富化された圏のホモトピーコヒーレント神経は一般化である。2次元圏の場合、それはそのダスキン神経と呼ばれる。
正規
単射が正規であるとは、それがある射の核である場合です。また、エピモーフィズムが共正規であるとは、それがある射の余核である場合です。圏が正規であるとは、すべての単射が正規である場合です

O

オブジェクト
1. オブジェクトは、カテゴリを定義するデータの一部です
2. カテゴリCの [形容詞] オブジェクトは、 Cの「形容詞」に対応する固定カテゴリからの反変関数（または前層）です。たとえば、Cの単体オブジェクトは単体カテゴリからCへの反変関数であり、Γ-オブジェクトは、C が指し示されている場合、Γ（おおよそ、指し示された有限集合の指し示されたカテゴリ）からCへの指し示された反変関数です
オペファイブレーション
関数π: C → Dがオペファイブレーションであるとは、 C内の各オブジェクトxと D 内の各射g  : π( x ) → yに対して、 C内に少なくとも1つの π​​-コカルティシアン射f : x → y'が存在し、π( f ) = gとなる場合をいいます。言い換えれば、π はグロタンディークファイブレーションの双対です
反対
あるカテゴリの反対カテゴリは、矢印を逆にすることで得られます。例えば、半順序集合をカテゴリと見なす場合、その反対を取ることは順序を逆にすることと同じです

P

完璧
「コンパクト」と同義語となる場合もあります。「完璧複素数」を参照してください
尖った
カテゴリ（または∞カテゴリ）は、ゼロオブジェクトを持つ場合、尖ったものと呼ばれます。
ポリグラフ
ポリグラフは有向グラフの一般化です。
多項式
有限次元ベクトル空間の圏からそれ自身への関数が多項式関数と呼ばれるのは、ベクトル空間V、W、Fの各対に対して、 Hom( V、W ) → Hom( F ( V )、F ( W ))がベクトル空間間の多項式写像となるときである。シュール関数は基本的な例である。
前アーベル圏
前アーベル圏は、すべての核と余核を持つ加法圏です
前加法的
ある圏が前加法的であるとは、それがアーベル群のモノイド圏に豊富である場合です。より一般的には、 Rを可換環とした場合、 R加群のモノイド圏に豊富である場合、それはR線型的です
提示可能
1.正則基数κが与えられたとき、圏がκ-提示可能であるとは、すべての小さな余極限を許容し、κ-アクセス可能であることを指します。圏が提示可能であるとは、ある正則基数κに対してκ-提示可能であることを指します（したがって、任意のより大きな基数に対して提示可能であることを指します）。注：提示可能な圏を局所的に提示可能な圏と呼ぶ著者もいます
2.提示可能な∞カテゴリ。
前層
反変関数の別名：カテゴリC opからSetへの関数はC上の集合の前層であり、 C opからs Setへの関数は単体集合の前層、または単体前層などです。C上の位相があれば、どの前層が層であるかがわかります（その位相に関して）。
積
1.集合Iで添え字付けられた圏C内のオブジェクトの族X iの積は、関数Iを離散圏と見なした場合の射影極限である。これはで表され、族の余積の双対である lim ← {\displaystyle \varprojlim } I → C , i ↦ X i {\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}} ∏ i X i {\displaystyle \prod _{i}X_{i}}
2.集合Iで添え字付けされた圏C iの族の積は、 で表され、その対象の類がC iの対象の類の積であり、そのホーム集合が である圏である。射は成分ごとに合成される。これは素和の双対である。 ∏ i C i {\displaystyle \prod _{i}C_{i}} ∏ i Hom C i ⁡ ( X i , Y i ) {\displaystyle \prod _{i}\operatorname {Hom} _{\operatorname {C_{i}} }(X_{i},Y_{i})}
プロファンクター
カテゴリCとDが与えられた場合、CからDへのprofunctor (または distribution)は、形式 の関数です。 D op × C → S e t {\displaystyle D^{\text{op}}\times C\to \mathbf {Set} }
射影的
1.アーベル圏の対象Aは、関数が正確であれば射影的である。これは入射的対象の双対である Hom ⁡ ( A , − ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}
2. 「射影極限」という用語は逆極限の別名です。
PROP
PROPは、対象が自然数であり、そのテンソル積が自然数の加法である対称厳密モノイド圏です
擬似代数
擬似代数とは、モナドの代数の2-カテゴリ版です（モナドを2-モナドに置き換えたもの）。
擬似アーベル包絡線
加法圏の擬似アーベル包絡線は、与えられた圏を含む最小の擬似アーベル圏です

Q

Q
Qカテゴリー
キレン
キレンの定理Aは、関数が弱同値であるための基準を与える
準アーベル
準アーベル圏
準アーベル圏
準準位。​

R

リーディ
1.リーディ圏。典型的な例は単体圏である Δ {\displaystyle \Delta }
反映
1. 関数が「F ( k ) が恒等関数ならばkも恒等関数である」という性質を持つ場合、関数は恒等関数を反映すると言われる
2. 関数が同型写像を反映するとは、 F ( k ) が同型写像ならばkも同型写像であるという性質を持つ場合である。
規則的な
規則的なカテゴリ
表現可能な
圏C上の集合値反変関手Fは、それが米田埋め込みの本質像に属する場合、すなわち何らかの対象Zに対して表現可能であると言われる。対象ZはFの表現対象と呼ばれる。 C → F c t ( C op , S e t ) {\displaystyle C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )} F ≃ Hom C ⁡ ( − , Z ) {\displaystyle F\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,Z)}
引き込み
fはgの引き込みです。gはfの切断です
射影は、右逆が存在する場合には撤回となります。
リグ
リグ圏とは、2つのモノイド構造を持ち、一方が他方の上に分配される圏です

S

シューア
シューア関手
セクション
射は、左逆を持つ場合、切断である。例えば、選択公理によれば、任意の射影関数は切断を持つ。
シーガル
1.  シーガル条件。今のところは、https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+condition をご覧ください。
2.  シーガル空間は、 (∞, 1)-カテゴリのモデルとして導入された特定の単体空間でした。
3.  シーガルカテゴリ、 ∞カテゴリのモデル。
半アーベル
半アーベル圏
半単純
アーベル圏は、すべての短完全列が分解する場合、半単純である。例えば、環が半単純であるためには、その環上の加群の圏が半単純であることが必要である。
セール関手
体k上のk線型圏Cが与えられたとき、セール関手は任意の対象A、Bに対して自己同値となるものです f : C → C {\displaystyle f:C\to C} Hom ⁡ ( A , B ) ≃ Hom ⁡ ( B , f ( A ) ) ∗ {\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\simeq \operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}}
集合体
集合体とは、集合の圏の自由完全完備化の対象です。選択公理が成立する場合、集合と同じです
ふるい
圏において、対象x上のふるいとは、対象xを持ついくつかの射の集合Sであり、その圏の各射と各射に対し、合成が定義されている場合、がに含まれるようなものである。 [15] f {\displaystyle f} S {\displaystyle S} g {\displaystyle g} f ∘ g {\displaystyle f\circ g} S {\displaystyle S}
単純対象
アーベル圏における単純対象とは零対象と同型ではなく、そのすべての部分対象が零またはAと同型である対象Aである。例えば、単純加群は、（例えば左）加群の圏における単純対象そのものである
単体圏
単体圏Δは、対象が集合 [ n ] = { 0, 1, …, n }, n ≥ 0 で、標準的な方法で全順序付けされ、射が順序保存関数である圏です
単体圏
単体集合上の豊富な圏
単体局所化
単純化ローカリゼーションは、カテゴリをローカライズする方法です。
単体的対象
圏Cにおける単体的対象は、おおよそ、単体集合を形成するC内の対象の列です。言い換えれば、共変または反変関手Δ → Cです。例えば、単体的前層は前層の圏における単体的対象です X 0 , X 1 , X 2 , … {\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\dots }
シンプソン
シンプソンの半狭義化予想（これは赤いリンクなので、今のところ[2]を参照）。
単体集合
単体集合は Δ からSetへの反変関手である。ここで Δ は単体圏であり、その対象は集合 [ n ] = { 0, 1, …, n } であり、その射は順序保存関数である。 と書き、集合の元はn -単体と呼ばれる。例えば、は標準n -単体と呼ばれる単体集合である。米田の補題により、 となる。 X n = X ( [ n ] ) {\displaystyle X_{n}=X([n])} X n {\displaystyle X_{n}} Δ n = Hom Δ ⁡ ( − , [ n ] ) {\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} _{\Delta }(-,[n])} X n ≃ Nat ⁡ ( Δ n , X ) {\displaystyle X_{n}\simeq \operatorname {Nat} (\Delta ^{n},X)}
サイト
グロタンディーク位相を備えたカテゴリ
骨格
1.同型オブジェクトが必然的に同一である場合、カテゴリは骨格的である
2.カテゴリの（一意ではない）スケルトンは、スケルトンである完全なサブカテゴリです。
スライス
圏Cとその中の対象Aが与えられたとき、 A上のCのスライス圏 C / Aは、その対象がCの中の余域Aを持つすべての射であり、その射がCの中の射で、fがからへの射ならばCの中にあり、その合成がCの合成であるような圏である p X : X → A {\displaystyle p_{X}:X\to A} p Y : Y → A {\displaystyle p_{Y}:Y\to A} p Y ∘ f = p X {\displaystyle p_{Y}\circ f=p_{X}}
小さい
1.小さい圏とは、すべての射のクラスが集合（つまり、真クラスではない）である圏のことである。そうでない場合は大きい。すべてのオブジェクトAとBのペア間の射が集合を形成する場合、圏は局所的に小さい。一部の著者は、すべてのクラスの集合が「集合体」を形成するという基盤を仮定しており、その場合、準圏とは、オブジェクトと射が単に集合体を形成する圏のことである。[16]（注：一部の著者は「準圏」という用語を異なる意味で使用している。[17]）
2. ある圏の対象が、ある正則基数κに対してκコンパクトであるとき、その対象は小さいという。この概念は、クイレンの小対象論において顕著に現れる（https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument 参照）。
種
（組合せ的）種は、全単射を持つ有限集合の群体上の自己関数子です。対称列と圏的に同値です
球状
球状カテゴリ
安定
∞-カテゴリが安定であるとは、(1)零オブジェクトを持ち、(2)その中のすべての射がファイバーとコファイバーを許容し、(3)その中の三角形がファイバー列である場合とコファイバー列である場合に限る。
厳密
1.有限極限と有限余極限を許容する圏における射fは、自然な射が同型である場合に厳密である Coim ⁡ ( f ) → Im ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)}
2.厳密なエピモフィズム fとは、となる各射のペアに対して、 が の共等化子となるような同型写像です。 g , h {\displaystyle g,h} f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h} f {\displaystyle f} g , h {\displaystyle g,h}
3. 厳密な単射とは、反対のカテゴリにおいて厳密なエピモーフィズムとなる射のことです。
厳密なnカテゴリ
正格0-カテゴリは集合であり、任意の整数n > 0に対して、正格n-カテゴリは正格( n -1)-カテゴリを拡張したカテゴリです。例えば、正格1-カテゴリは通常のカテゴリです。注：「 n-カテゴリ」という用語は通常、「弱いn-カテゴリ」を指し、正格n-カテゴリを指すものではありません。
厳密化
厳密化とは、弱く成立する等式（すなわち、整合同型性を除いて）を実際の等式に置き換えるプロセスです
準正準
あるカテゴリ上の位相が準正準であるとは、C上のすべての表現可能な反変関手がその位相に関して層となる場合である。[18]一般的に言えば、平坦位相の中には準正準ではないものがあるが、実際に現れる平坦位相は準正準である傾向がある
サブカテゴリ
カテゴリAは、カテゴリBのサブカテゴリであるとは、 AからBへの包含関数が存在する場合を指します
部分対象
ある圏における対象Aが与えられたとき、 Aの部分対象はAへの単射の同値類である。2つの単射f、g は、 fがgを介して因数分解され、 gがfを介して因数分解される場合、同値であるとみなされる
部分商
1.部分商は部分対象の商です
2.  サブオブジェクト分類子。
部分終端オブジェクト
部分終端オブジェクトとは、すべてのオブジェクトがXへの射を最大で1つ持つようなオブジェクトXのことです
対称モノイドカテゴリ
対称モノイドカテゴリは、最大限に対称な編組を持つモノイドカテゴリ（つまり、⊗ を持つカテゴリ）です。
対称列
対称列とは、対称群の作用を持つオブジェクトの列です。これは（組合せ的）種と圏的に同値です
統語範疇
統語範疇

T

t構造
t-構造は、コホモロジーが非負次数または非正次数に集中している複体の概念を公理化する、三角形化カテゴリ（より一般的には安定∞-カテゴリ）上の追加構造です。
タンナキアン双対性
タンナキアン双対性は、適切な設定において、射を与えることは、それに沿って引き戻し関手を与えることであると述べている。言い換えれば、Hom集合は、おそらく導来の意味で、関手圏と同一視することができる。ここで、はXに関連付けられた圏（例えば、導来圏）である。 [19] [20] f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} f ∗ {\displaystyle f^{*}} Hom ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)} Fct ⁡ ( D ( Y ) , D ( X ) ) {\displaystyle \operatorname {Fct} (D(Y),D(X))} D ( X ) {\displaystyle D(X)}
テンソル圏
通常はモノイド圏と同義です（ただし、この2つの概念を区別する著者もいます）。
テンソル三角化圏
テンソル三角化圏は、対称モノイド圏と三角化圏の構造を両立させる圏です
テンソル積
モノイド圏Bが与えられたとき、関数 B と Cのテンソル積は共終点です F : C op → B {\displaystyle F:C^{\text{op}}\to B} G : C → B {\displaystyle G:C\to B}
F ⊗ C G = ∫ c ∈ C F ( c ) ⊗ G ( c ) . {\displaystyle F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).}
終端
1. オブジェクトAが終端（終結とも呼ばれる）であるとは、各オブジェクトからAへの射がちょうど1つ存在する場合です。例えば、Setにおけるシングルトンなどです。これは初期オブジェクトの双対です
2. ∞圏Cの対象Aが終対象であるとは、Cの任意の対象Bに対して A が縮約可能であることを意味する。準圏#終対象と終写像を参照。 Map C ⁡ ( B , A ) {\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(B,A)}
シータ圏
ジョイアルのシータ圏は単体圏の代替であり、∞圏の定義にも使用できます
厚い部分圏
アーベル圏の完全部分圏は、拡大に関して閉じている場合、厚いと言えます
薄い
薄い圏とは、任意のオブジェクトのペア間に最大で1つの射が存在する圏です
小さな
小さな物体。今のところは、https://ncatlab.org/nlab/show/tiny+object をご覧ください。
位相的なトポス
位相空間のカテゴリの代替となり得る位相的トポス。https ://golem.ph.utexas.edu/category/2014/04/on_a_topological_topos.html を参照。
超限
超限合成とは、無限個の射を含む合成です
三角形化圏
三角形化圏とは、区別された三角形や正確な数列の一般化について議論できる圏です。アーベル圏は三角形化圏の典型的な例です。導来圏は、必ずしもアーベル圏ではない三角形化圏です

U

普遍的
1. 関数とD内のオブジェクトXが与えられたとき、Xからfへの普遍射はコンマ圏の始対象である。（その双対は普遍射とも呼ばれる。）例えば、fを忘却関数とし、Xを集合とする。関数の始対象は関数である。それが始対象であるということは、が別の射である場合、 jからkへの唯一の射が存在することを意味し、これはjを介してkを拡張する線型写像からなる。つまり、はXによって生成される自由ベクトル空間である f : C → D {\displaystyle f:C\to D} ( X ↓ f ) {\displaystyle (X\downarrow f)} V e c k → S e t {\displaystyle \mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set} } ( X ↓ f ) {\displaystyle (X\downarrow f)} j : X → f ( V X ) {\displaystyle j:X\to f(V_{X})} k : X → f ( W ) {\displaystyle k:X\to f(W)} V X → W {\displaystyle V_{X}\to W} V X {\displaystyle V_{X}}
2. より明確に言えば、上記のfが与えられたとき、 Dの射が普遍的であるためには、自然写像 X → f ( u X ) {\displaystyle X\to f(u_{X})}
Hom C ⁡ ( u X , c ) → Hom D ⁡ ( X , f ( c ) ) , α ↦ ( X → f ( u x ) → f ( α ) f ( c ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))}
は全単射である。特に、 ならば、cをu Xとすると、恒等射を写像することで普遍射が得られる。言い換えれば、普遍射を持つことは、関手 が表現可能であることと同値である。 Hom C ⁡ ( u X , − ) ≃ Hom D ⁡ ( X , f ( − ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))} Hom D ⁡ ( X , f ( − ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}

V

ヴェルディエのローカリゼーション
ヴェルディエのローカリゼーション

W

ヴァルトハウゼンカテゴリー
ヴァルトハウゼン カテゴリは、大まかに言えば、コファイブレーションと弱同値性の族を持つカテゴリです。
wellpowered
各オブジェクトに対して、ペアワイズで同型でない部分オブジェクトの集合のみが存在する場合、カテゴリはwellpoweredです

Y

米田
1.  

米田の補題は…より示唆的な言葉で言えば、数学的対象Xは、それを取り囲む圏の文脈の中で考えるのが最も適切であり、その圏のすべての対象とXが持つ関係のネットワークによって決定される、と主張している。さらに、Xを理解するには、それを表す関数を直接扱う方が適切かもしれない。これはウィトゲンシュタインの「言語ゲーム」を彷彿とさせる。つまり、単語の意味は本質的に、言語におけるすべての発話との関係によって決定され、実際にはそれ以上のものではない、ということである

バリー・マズール、「グロタンディークについて考える」
米田補題は、 C上の集合値反変関手FとC内のオブジェクトXに対して、自然な一対一関係が存在することを 述べている。
F ( X ) ≃ Nat ⁡ ( Hom C ⁡ ( − , X ) , F ) {\displaystyle F(X)\simeq \operatorname {Nat} (\operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)}

ここでNatは自然変換の集合を意味する。特に、関数

y : C → F c t ( C op , S e t ) , X ↦ Hom C ⁡ ( − , X ) {\displaystyle y:C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} ),\,X\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,X)}
完全に忠実な埋め込みであり、米田埋め込みと呼ばれます。[21]
2.が関数で、yがCの米田埋め込みである場合、Fの米田拡大はyに沿ったFの左カン拡大です。 F : C → D {\displaystyle F:C\to D}
3.   2-米田補題は米田補題を2-圏に拡張したものである。

Z

ゼロ
ゼロオブジェクトとは、Grpの自明な群のように、始点かつ終点であるオブジェクトです

注釈

  1. ^ 強く到達不可能な基数の存在を信じるならば、文と構成がグロタンディーク宇宙を参照する厳密な理論が存在する可能性がある
  2. ^ https://ncatlab.org/nlab/show/additive+category の注釈 2.7。2024年9月10日にWayback Machineにアーカイブ。
  3. ^ * Lawvere, FW (1986), "Taking categories seriously", Revista Colombiana de Matemáticas , 20 ( 3– 4): 147– 178, MR  0948965, 2023年11月15日時点のオリジナルよりアーカイブ, 2024年7月16日閲覧
  4. ^ 柏原＆シャピラ 2006、Ch. 2、演習 2.8。
  5. ^ マクレーン 1998、Ch. III、§3..
  6. ^ 「nLab での日次畳み込み」。
  7. ^ Hinich, V. (2013-11-17). 「Dwyer-Kan 局所化の再考」. arXiv : 1311.4128 [math.QA].
  8. ^ https://stacks.math.columbia.edu/download/pione.pdf#nameddest=0BQ6 の定義 3.6
  9. ^ 定義 7.2.1。バーガブのバットにて 。 Scholze、Peter (2015)、「スキームのプロエタール トポロジー」、Asterisque : 99–201、arXiv : 1309.1198、Bibcode :2013arXiv1309.1198B、MR  3379634
  10. ^ “nLabにおけるグレイテンソル積”. 2024年7月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年7月1日閲覧。
  11. ^ Cisinski 2019、序文。いくつかの視点と賛辞。
  12. ^ 「普遍ホモロジー同値性（講義11）」（PDF）www.math.harvard.edu 2016年5月7日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF）。2017年7月6日閲覧。
  13. ^ 柏原 & シャピラ 2006、演習 8.20
  14. ^ “nLabのマルチカテゴリ”. 2019年1月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年1月3日閲覧。
  15. ^ “Section 7.47 (00YW): Topologies—The Stacks project”. 2025年8月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2025年4月15日閲覧。
  16. ^ Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E (2004) [1990]. 抽象カテゴリーと具象カテゴリー (The Joy of Cats) (PDF) . ニューヨーク: Wiley & Sons. p. 40. ISBN 0-471-60922-6 2020年2月16日にオリジナルからアーカイブ。2008年9月28日閲覧
  17. ^ Joyal, A. (2002). 「準圏とカン複体」.純粋・応用代数ジャーナル. 175 ( 1–3 ): 207– 222. doi :10.1016/S0022-4049(02)00135-4.
  18. ^ Vistoli 2004、定義 2.57。
  19. ^ Jacob Lurie. 幾何学的スタックのTannaka双対性. http://math.harvard.edu/~lurie/ Archived 2017-07-03 at the Wayback Machine , 2004.
  20. ^ バット、バルガブ (2014-04-29)。 「代数化と丹中双対性」。arXiv : 1404.7483 [math.AG]。
  21. ^ 技術的注記: この補題は暗黙的にSetの選択、つまり、ユニバースの選択を伴います。

参考文献

  • Pierre Deligne、「Voevodsky の交差関数に関する講義」、未発表、https://www.math.ias.edu/vladimir/node/94 で入手可能。Wayback Machineに 2025-03-04 にアーカイブ(2001)。
  • J. Lurie, Kerodon, https://kerodon.net 2025年3月9日アーカイブ、Wayback Machineより
  • Cisinski, Denis-Charles (2019-06-30). 高次圏とホモトピー代数(PDF) .ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-11084732002025年3月30日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。2025年3月25日閲覧

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