スケルトン（圏論）

数学において、圏の骨格とは、大まかに言えば、余分な同型性を含まないサブカテゴリーのことです。ある意味では、圏の骨格は「最小の」同値圏であり、元の圏のすべての「圏論的性質」を包含しています。実際、2つの圏が同値であるためには、それらが同型の骨格を持つ必要があります。同型な対象が必然的に同一である場合、 その圏は骨格的と呼ばれます。

意味

圏Cのスケルトンとは、同型な対象が等しい圏 Dのことである。典型的には、スケルトンはCのサブカテゴリ Dであって、以下の条件を満たすものとされる。

• DのCへの包含は完全かつ本質的に射影的であり、

• Dは骨格です。つまり、 Dの任意の 2 つの同型オブジェクトは等しいです。

存在と唯一性

すべての小さなカテゴリにはスケルトンがあるというのは基本的な事実です。より一般的には、すべてのアクセス可能なカテゴリにはスケルトンがあります。^{[引用が必要] (これは}選択公理に相当します。) また、カテゴリには多くの異なるスケルトンがある場合がありますが、任意の 2 つのスケルトンはカテゴリとして同型であるため、カテゴリの同型性を除き、カテゴリのスケルトンは一意です。

スケルトンの重要性は、それらが（カテゴリの同型性を除き）カテゴリの同値関係におけるカテゴリの同値類の標準的な代表であるという事実に由来する。これは、カテゴリCの任意のスケルトンがCと同値であること、そして2つのカテゴリが同型であるためには、それらが同型のスケルトンを持つ必要があるという事実から導かれる。

例

• すべての集合の集合というカテゴリは、すべての基数というサブカテゴリを骨格として持っています。
• 固定体上のすべてのベクトル空間のカテゴリK -Vectには、すべてのべき乗（ αは任意の基数）からなるサブカテゴリがスケルトンとして存在します。任意の有限のmとnに対して、マップはKに要素を持つn × m行列とまったく同じです。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle K^{m}\to K^{n}}$
• すべての有限集合のカテゴリFinSet は、すべての有限順序数のカテゴリFinOrdをスケルトンとして持っています
• すべての順序付き集合のカテゴリは、すべての順序数のサブカテゴリを骨格として持っています。
• 事前順序、つまりオブジェクトのすべてのペアに対して、セットに1 つの要素が含まれるか空になるような小さなカテゴリには、スケルトンとして半順序セットがあります。${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle {\mbox{Hom}}(A,B)}$
• 融合カテゴリと関連構造のスケルトン化の例は数多くあります。

参照

• 圏論用語集
• 痩せ型カテゴリー

参考文献

• アダメック, イジー; ヘルリッヒ, ホルスト; ストレッカー, ジョージ E. (1990). 『抽象と具象の範疇：猫の喜び』 ニューヨーク: J. Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6。
  • アダメック, イジー; ヘルリッヒ, ホルスト; ストレッカー, ジョージ E. (2006). 抽象範疇と具象範疇：猫の喜び(PDF) . 『範疇の理論と応用』第17号再録.
• ロバート・ゴールドブラット (1984).トポイ 論理の圏論的分析(論理学と数学の基礎研究, 98). 北ホラント.
  • ゴールドブラット、ロバート (2006). 『トポイ：論理の範疇分析』（ドーバー版改訂第2版の再出版）ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー出版. ISBN 9780486450261。
• イズベル, JR; ライト, FB (1966年1月1日). 「選択公理のもう一つの等価形式」.アメリカ数学会報. 17 (1): 174. doi :10.1090/S0002-9939-1966-0186535-8.