小さな物体の議論

数学、特に圏論において、キレンの小対象論は、適用可能な場合、射の因数分解を関数的に構成する。実際には、この論法は、モデル圏理論において、 ある種の射のクラスが弱因数分解系を構成することを示すために用いられる。

この議論は、（合理的な）位相空間のカテゴリのモデル構造を構築するためにQuillenによって導入された。^[1]元々の議論は後にGarnerによって洗練された。^[2]

声明

をすべての小さな余極限を持つ圏とします。その圏に含まれるオブジェクトが順序数に関してコンパクトであるとは、-フィルタされた余極限と可換であることを意味します。実際には、を固定し、その固定された に関してオブジェクトがコンパクトであるとき、単にオブジェクトはコンパクトであるとも言います。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,-)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

が射のクラスであるとき、に関して左持ち上げ特性を満たす射のクラスを と書きます。同様に、に関して右持ち上げ特性を満たす射のクラスを と 書きます。すると、${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r(F)}$

定理— ^{[3] [4]}を における射のクラスとする。における各射の源（定義域）がコンパクトであれば、における各射は、が であるような関数分解を許容する。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f=p\circ i}$ ${\displaystyle i,p}$ ${\displaystyle l(r(F)),r(F)}$

例: presheaf

以下は、ある小さなカテゴリ上の前層のカテゴリの場合に議論がどのように機能するかを示す簡単な例です。^[5]${\displaystyle C}$

表現可能な前層 の商である形式の単射の集合をと表記する。すると、 は単射の類と等しいことが示される。すると、小対象論法は次のように述べる。各前層射はのように因数分解できる。ここでは単射であり、においては である。つまり、は単射に関して正しい持ち上げ特性を持つ射である。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K\to L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle l(r(I))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=p\circ i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r(I)=r(l(r(I))}$ ${\displaystyle p}$

証拠

今のところは、参照。^[6]しかし、大まかに言えば、その構築は一種の逐次近似です。

参照

• アノダイン拡張

参考文献

1. DG Quillen. ホモトピー代数. 数学講義ノート第43号. Springer-Verlag, ベルリン, 1967
2. リチャード・ガーナー「小さな物体の議論を理解する」応用カテゴリー構造17 3 247-285 (2009) [arXiv:0712.0724, doi:10.1007/s10485-008-9137-4]
3. Cisinski 2023、命題2.1.9。
4. Riehl 2014、定理12.2.2。 harvnb error: no target: CITEREFRiehl2014 (help)
5. Cisinski 2023、例2.1.11。第2の方法
6. Riehl 2014、§ 12.2。および§12.5。 harvnb error: no target: CITEREFRiehl2014 (help)

• マーク・ホーヴィー、「モデルカテゴリー」、アメリカ数学会発行『数学概論と論文集』第63巻（2007年）、
• エミリー・リール『カテゴリーホモトピー理論』ケンブリッジ大学出版局（2014年）[1]
• Cisinski, Denis-Charles (2023). 高次圏とホモトピー代数(PDF) .ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1108473200。

さらに読む

• https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument