シュワルツシルト解の導出

シュワルツシルト解は、質量を持ち、回転せず、球対称な物体の影響下にある時空を記述する。これは、アインシュタイン場の方程式に対する最も単純かつ有用な解の一つであると考える者もいる。^[要出典]

仮定と表記

座標にそれぞれ1から4のラベルが付けられた座標チャートを用いて、最も一般的な形の計量（10個の独立成分、それぞれが4変数の滑らかな関数）から始めます。解は球対称、静的、真空であると仮定します。本稿では、これらの仮定を以下のように記述します（正確な定義については関連リンクを参照してください）。 ${\displaystyle \left(r,\theta ,\phi ,t\right)}$

1. 球対称時空とは、回転や鏡像をとっても不変な時空です。
2. 静的時空とは、すべての計量成分が時間座標から独立しており（したがって⁠ ⁠）、時間反転によって時空の形状が変化しない時空です⁠ ⁠。${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}g_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle t\rightarrow -t}$
3. 真空解とは、方程式⁠ ⁠${\displaystyle T_{ab}=0}$ を満たす解です。アインシュタインの場の方程式（宇宙定数はゼロ）から、収縮により⁠ ⁠となることがわかります。${\displaystyle R_{ab}=0}$ ${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {R}{2}}g_{ab}=0}$ ${\displaystyle R=0}$
4. ここで使用されるメトリック署名は(+ + + −)です。

メトリックの対角化

最初に行うべき簡略化は、計量値を対角化することです。座標変換、⁠ ⁠${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,\phi ,-t)}$ において、すべての計量値成分は同じままです。この変換により、計量値成分( ⁠ ⁠ ) は次のように変化します。 ${\displaystyle g_{\mu 4}}$ ${\displaystyle \mu \neq 4}$

${\displaystyle g_{\mu 4}'={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{'\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial x^{'4}}}g_{\alpha \beta }=-g_{\mu 4}}$ （⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$ ）

しかし、予想どおり（メトリック コンポーネントは同じまま）、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle g'_{\mu 4}=g_{\mu 4}}$

${\displaystyle g_{\mu 4}=0}$ （⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq 4}$ ）

同様に、座標変換およびはそれぞれ次のようになります。 ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,\theta ,-\phi ,t)}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\phi ,t)\rightarrow (r,-\theta ,\phi ,t)}$

${\displaystyle g_{\mu 3}=0}$ （⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq 3}$ ）

${\displaystyle g_{\mu 2}=0}$ （⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq 2}$ ）

これらをすべてまとめると次のようになります。

${\displaystyle g_{\mu \nu }=0}$ （⁠ ⁠${\displaystyle \mu \neq \nu }$ ）

したがって、メトリックは次の形式になります。

${\displaystyle ds^{2}=\,g_{11}\,dr^{2}+g_{22}\,d\theta ^{2}+g_{33}\,d\phi ^{2}+g_{44}\,dt^{2}}$

ここで、4 つのメトリック コンポーネントは時間座標とは独立しています(静的仮定により)。 ${\displaystyle t}$

コンポーネントの簡素化

定数、定数、定数の各超曲面（つまり、各放射状直線上）において、は のみ に依存する（球対称性により）。したがって、は一変数関数である。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g_{11}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g_{11}}$

${\displaystyle g_{11}=A\left(r\right)}$

同様の議論を に適用すると次のことがわかります。 ${\displaystyle g_{44}}$

${\displaystyle g_{44}=B\left(r\right)}$

定数と定数の超曲面上では、計量が2次元球面の計量であることが要求されます 。${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle dl^{2}=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

これらの超曲面の1つ（例えば半径⁠ ⁠${\displaystyle r_{0}}$ のもの）を選択すると、この超曲面（ ⁠ ⁠ と⁠ ⁠で表す）に制限された計量成分は、およびを回転させても変化しないはずです（これも球対称性による）。この超曲面上の計量の形を比較すると、次のようになります。 ${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}\left(d\theta ^{2}+{\frac {{\tilde {g}}_{33}}{{\tilde {g}}_{22}}}\,d\phi ^{2}\right)=r_{0}^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})}$

すると、次の式が直ちに得られます。

${\displaystyle {\tilde {g}}_{22}=r_{0}^{2}}$ そして${\displaystyle {\tilde {g}}_{33}=r_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }$

しかし、これは各超曲面上で成立する必要がある。したがって、

${\displaystyle g_{22}=\,r^{2}}$ そして${\displaystyle g_{33}=\,r^{2}\sin ^{2}\theta }$

が平坦な時空の場合と同じでなければならないことを理解する別の直感的な方法は、弾性体を球対称 (放射状) に伸ばしたり圧縮したりしても、2 点間の角度距離は変わらないということです。 ${\displaystyle g_{22}}$ ${\displaystyle g_{33}}$

したがって、メトリックは次の形式になります。

${\displaystyle ds^{2}=A\left(r\right)dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+B\left(r\right)dt^{2}}$

および⁠ ⁠の未定関数。または がある点でゼロに等しい場合、その点で計量は特異になることに注意して ください。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

クリストッフェル記号の計算

上記の計量を用いて、クリストッフェル記号 を求めます。ここで、添え字は⁠ ⁠${\displaystyle (1,2,3,4)=(r,\theta ,\phi ,t)}$ です。この符号は関数の全微分を表します。 ${\displaystyle '}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{1}={\begin{bmatrix}A'/\left(2A\right)&0&0&0\\0&-r/A&0&0\\0&0&-r\sin ^{2}\theta /A&0\\0&0&0&-B'/\left(2A\right)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{2}={\begin{bmatrix}0&1/r&0&0\\1/r&0&0&0\\0&0&-\sin \theta \cos \theta &0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1/r&0\\0&0&\cot \theta &0\\1/r&\cot \theta &0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \Gamma _{ik}^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&B'/\left(2B\right)\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\B'/\left(2B\right)&0&0&0\end{bmatrix}}}$

場の方程式を使ってあ（r） そしてB（r）

およびを決定するために、真空場の方程式が使用されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }=\,0}$

したがって:

${\displaystyle {\Gamma _{\beta \alpha ,\rho }^{\rho }}-\Gamma _{\rho \alpha ,\beta }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\beta \alpha }^{\lambda }-\Gamma _{\beta \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \alpha }^{\lambda }=0\,,}$

ここで、コンマは導関数に使用されている指数を表すために使用されます。リッチ曲率は与えられた座標において対角曲率です。

${\displaystyle R_{tt}=-{\frac {1}{4}}{\frac {B'}{A}}\left({\frac {A'}{A}}-{\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{A}}\right)',}$

${\displaystyle R_{rr}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{'}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {B'}{B}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {A'}{A}}\left({\frac {B'}{B}}+{\frac {4}{r}}\right),}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=1-\left({\frac {r}{A}}\right)^{'}-{\frac {r}{2A}}\left({\frac {A'}{A}}+{\frac {B'}{B}}\right),}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=\sin ^{2}(\theta )R_{\theta \theta },}$

ここで、プライムは関数の r導関数を意味します。

場の方程式のうち 3 つだけが非自明であり (4 番目の方程式は3 番目の方程式のちょうど倍数)、簡略化するとそれぞれ次のようになります。 ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle 4A'B^{2}-2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A=0,}$

${\displaystyle -2rB''AB+rA'B'B+rB'^{2}A-4B'AB=0,}$

${\displaystyle rA'B+2A^{2}B-2AB-rB'A=0}$

最初の方程式と 2 番目の方程式を引き算すると次のようになります。

${\displaystyle A'B+AB'=0\Rightarrow A(r)B(r)=K}$

ここでは非ゼロの実定数です。3番目の式に代入して整理すると、次のようになります。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(r)B(r)=K}$

${\displaystyle rA'=A(1-A)}$

これは一般解を持つ：

${\displaystyle A(r)=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}}$

非ゼロの実定数に対してである。したがって、静的で球対称な真空解の計量は、以下の形となる。 ${\displaystyle S}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})+K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)dt^{2}}$

上記の計量によって表される時空は漸近的に平坦であることに注意する。つまり、⁠ ⁠${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ のとき、計量はミンコフスキー計量のそれに近づき、時空多様体はミンコフスキー空間のそれに類似する。^[1]

弱場近似を用いてKそしてS

この図は、弱場近似を用いてシュワルツシルト解を求める方法を示しています。2行目の等式は、運動がブラックホールから遠く離れた場所（rが正の無限大に近づく）で起こった場合、所望の解がミンコフスキー計量に退化すると仮定すると、g 44 ₌ − c ² + 2 GM / rとなります。

計量の測地線（が極限値となる場合）は、ある極限（例えば、光速が無限大となる場合）において、ニュートン運動の解（例えば、ラグランジュ方程式によって得られる解）と一致する必要がある。（また、計量は、それが表す質量がゼロとなる場合、 ミンコフスキー空間に極限する必要がある。）${\displaystyle ds}$

${\displaystyle 0=\delta \int {\frac {ds}{dt}}dt=\delta \int (KE+PE_{g})dt}$

（ここでは運動エネルギー、は重力による位置エネルギー）定数とはこのアプローチのいくつかの変形によって完全に決定されます。弱場近似から次の結果が得られます。 ${\displaystyle KE}$ ${\displaystyle PE_{g}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle g_{44}=K\left(1+{\frac {1}{Sr}}\right)\approx -c^{2}+{\frac {2Gm}{r}}=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

ここで、 は重力定数、は重力源の質量、は光速です。次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle K=\,-c^{2}}$ そして${\displaystyle {\frac {1}{S}}=-{\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

したがって:

${\displaystyle A(r)=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}}$ そして${\displaystyle B(r)=-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)}$

したがって、シュワルツシルト計量は最終的に次の形式で記述できます。

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)dt^{2}}$

ご了承ください：

${\displaystyle {\frac {2Gm}{c^{2}}}=r_{\text{s}}}$

は質量 の物体のシュワルツシルト半径の定義なので、シュワルツシルト計量は次の別の形式で書き直すことができます。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})-c^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)dt^{2}}$

これは、計量​​が事象の地平線（つまり、⁠ ⁠${\displaystyle r\rightarrow r_{\text{s}}}$ ）に近づくにつれて特異になることを示しています。計量の特異点は物理的な特異点ではありません（ には実際の物理的な特異点がありますが）。これは、適切な座標変換（例えば、クラスカル・シェケレス座標系）を用いることで示せます。 ${\displaystyle r=0}$

特殊なケースにおける既知の物理学を用いた代替導出

[この導出はケプラーの第三法則を仮定しているため欠陥があります。この法則には相対論的な補正があるため、これは根拠がありません。例えば、「r」の意味は古典法則では物理的な距離ですが、一般相対性理論では単なる座標です。] シュワルツシルト計量は、円軌道と一時的に静止した質点に関する既知の物理学を用いて導出することもできます。^[2] ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ の係数が未知の計量から始めましょう。

${\displaystyle -c^{2}=\left({ds \over d\tau }\right)^{2}=A(r)\left({dr \over d\tau }\right)^{2}+r^{2}\left({d\phi \over d\tau }\right)^{2}+B(r)\left({dt \over d\tau }\right)^{2}.}$

ここで、オイラー・ラグランジュ方程式を弧長積分⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {J=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\sqrt {-\left({\text{d}}s/{\text{d}}\tau \right)^{2}}}\,{\text{d}}\tau }}$ に適用します。は定数なので、被積分関数は に置き換えることができます。これは、E-L方程式は被積分関数に任意の定数を掛けても全く同じであるためです。修正された被積分関数にE-L方程式を適用すると、以下の式が得られます。 ${\displaystyle ds/d\tau }$ ${\displaystyle ({\text{d}}s/{\text{d}}\tau )^{2},}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}A'(r){\dot {r}}^{2}+2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}&=&2A'(r){\dot {r}}^{2}+2A(r){\ddot {r}}\\0&=&2r{\dot {r}}{\dot {\phi }}+r^{2}{\ddot {\phi }}\\0&=&B'(r){\dot {r}}{\dot {t}}+B(r){\ddot {t}}\end{array}}}$

ここでドットは⁠ ⁠${\displaystyle \tau }$ に関する微分を表します。

円軌道では、${\displaystyle {\dot {r}}={\ddot {r}}=0}$ 上記の最初のE-L方程式は次の式と等しくなります 。

${\displaystyle 2r{\dot {\phi }}^{2}+B'(r){\dot {t}}^{2}=0\Leftrightarrow B'(r)=-2r{\dot {\phi }}^{2}/{\dot {t}}^{2}=-2r(d\phi /dt)^{2}.}$

ケプラーの運動の第三法則は

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}.}$

円軌道では周期は⁠ ⁠に等しく、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2\pi /(d\phi /dt)}$

${\displaystyle \left({d\phi \over dt}\right)^{2}=GM/r^{3}}$

点質点は中心物体の質量に比べて無視できるほど小さいため、 ⁠ ⁠となる。したがって、これを積分すると⁠ ⁠となる。ここで⁠ ⁠は未知の積分定数である。 ⁠ ⁠と設定することで決定することができ、その場合、時空は平坦で⁠ ⁠となる。したがって、 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B'(r)=-2GM/r^{2}}$ ${\displaystyle B(r)=2GM/r+C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M=0}$ ${\displaystyle B(r)=-c^{2}}$ ${\displaystyle C=-c^{2}}$

${\displaystyle B(r)=2GM/r-c^{2}=c^{2}(2GM/c^{2}r-1)=c^{2}(r_{\text{s}}/r-1).}$

質点が一時的に静止しているとき、そして⁠ ⁠。元の計量方程式は ⁠ ⁠ となり、上記の最初の E-L 方程式は⁠ ⁠となる。質点が一時的に静止しているとき、は重力加速度⁠ ⁠となる。したがって ${\displaystyle {\dot {r}}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$ ${\displaystyle {\dot {t}}^{2}=-c^{2}/B(r)}$ ${\displaystyle A(r)=B'(r){\dot {t}}^{2}/(2{\ddot {r}})}$ ${\displaystyle {\ddot {r}}}$ ${\displaystyle -MG/r^{2}}$

${\displaystyle A(r)=\left({\frac {-2MG}{r^{2}}}\right)\left({\frac {-c^{2}}{2MG/r-c^{2}}}\right)\left(-{\frac {r^{2}}{2MG}}\right)={\frac {1}{1-2MG/(rc^{2})}}={\frac {1}{1-r_{\text{s}}/r}}.}$

等方座標における代替形式

計量の元々の定式化では、光速度が半径方向と横方向で異なる異方性座標が用いられていた。 アーサー・エディントンは等方性座標において代替形式を提示した。^[3] 等方性球面座標では、⁠ ⁠、⁠ ⁠、座標とは変化せず、（ ⁠ ⁠を条件として）^[4]${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r\geq {2Gm}/{c^{2}}}$

${\displaystyle r=r_{1}\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$ 、   ${\displaystyle dr=dr_{1}\left(1-{\frac {(Gm)^{2}}{4c^{4}r_{1}^{2}}}\right)}$

そして

${\displaystyle \left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}}\right)=\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

そして等方直交座標で は、、、${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x=r_{1}\,\sin(\theta )\,\cos(\phi ),}$   ${\displaystyle y=r_{1}\,\sin(\theta )\,\sin(\phi ),}$   ${\displaystyle z=r_{1}\,\cos(\theta )}$

等方性直交座標では、このメトリックは次のようになります。

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})-c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}/\left(1+{\frac {Gm}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{2}}$

静的仮定の放棄 – バーコフの定理

シュワルツシルト計量を導出する際には、計量が真空、球対称、静的であると仮定された。静的仮定は不要である。バーコフの定理によれば、アインシュタインの場の方程式の球対称真空解はどれも定常であり、シュワルツシルト解も従うからである。バーコフの定理によれば、球対称性を保つ脈動星は重力波を発生しない。なぜなら、星の外側の領域は静的であるからである。

参照

• カール・シュヴァルツシルト
• カーメトリック
• ライスナー・ノルドストローム計量

参考文献

1. ワインバーグ、スティーブン（1976年）『重力と宇宙論：一般相対性理論の原理と応用』ニューヨーク：ワイリー、pp.  175– 179. ISBN 978-0-471-92567-5。
2. ブラウン、ケビン。「相対性理論についての考察」
3. AS Eddington、「数学的相対性理論」、Cambridge UP 1922（第2版1924、再版1960）、85ページと93ページ。Eddingtonの情報源における間隔sと時間的座標tの記号の使用法は、上記の導出での使用法との互換性のために変換されています。
4. Buchdahl, HA (1985). 「等方座標とシュワルツシルト計量」.国際理論物理学ジャーナル. 24 (7): 731– 739. Bibcode :1985IJTP...24..731B. doi :10.1007/BF00670880. S2CID  121246377.