スパン（カテゴリー理論）

圏論において、スパン、ルーフ、あるいは対応とは、ある圏の2つの対象間の関係 の概念の一般化である。圏がすべてのプルバックを持ち（そして他のいくつかの条件を満たす）、スパンは分数の圏における射とみなすことができる。

スパンのコンセプトは、米田信夫 (1954) とJean Bénabou (1967) によるものです。

正式な定義

スパンは、タイプの図、つまり、 形式の図です。 ${\displaystyle \Lambda =(-1\leftarrow 0\rightarrow +1),}$ ${\displaystyle Y\leftarrow X\rightarrow Z}$

つまり、Λ を圏 (-1 ← 0 → +1) とします。すると、圏Cの範囲は関手 S  : Λ →  Cとなります。これは、範囲がCの3つの対象X、Y、Zと、射f  :  X  →  Yおよびg  :  X  →  Zから構成されることを意味します。つまり、これは共通の定義域を持つ2つの写像です。

スパンの余極限はプッシュアウトです。

例

• Rが集合 XとYの関係（つまり、X × Yのサブセット）である場合、X ← R → Yはスパンであり、マップは射影マップとです。${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{X}}{\to }}X}$ ${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y}$
• 任意のオブジェクトは、自明なスパンA ← A → Aを生成します。ここで、マップは恒等です。
• より一般に、何らかの圏における射とする。自明な範囲A ← A → Bが存在し、左写像はA 上の恒等写像、右写像は与えられた写像φである。${\displaystyle \phi \colon A\to B}$
• Mがモデル圏で、W が弱同値集合 である場合、左射がWに含まれる形式の成す範囲は、一般化射（すなわち、「弱同値性を反転する」）とみなすことができます。これは、モデル圏を扱う際に通常用いられる視点ではないことに注意してください。${\displaystyle X\leftarrow Y\rightarrow Z,}$

コスパン

圏CのコスパンKは関手 K : Λ ^op  →  Cである。これは同値であり、Λ からCへの反変関手である。つまり、 型の図式、すなわち の形の図式である。 ${\displaystyle \Lambda^{\text{op}}=(-1\rightarrow 0\leftarrow +1),}$ ${\displaystyle Y\rightarrow X\leftarrow Z}$

したがって、これはCの3 つのオブジェクトX、Y 、 Zと、射f  :  Y  →  Xおよびg  :  Z  →  Xで構成されます。これは、共通の共域を持つ 2 つのマップです。

コスパンの限界は引き戻しです。

共線区間の一例としては、 2つの多様体MとN間の共線区間 Wが挙げられます。ここで、2つの写像はWへの包含関係にあります。共線区間は共線区間ですが、共線区間の圏は「共線区間圏」ではないことに注意してください。これは、「境界上に包含関係を持つ多様体の圏」におけるすべての共線区間の圏ではなく、むしろそのサブ圏です。これは、MとN がWの境界の分割を形成するという要件がグローバル制約であるためです。

有限次元コボルディズムの圏nCobはダガーコンパクト圏である。より一般に、有限極限を持つ 任意の圏C上のスパンの圏Span ( C ) もダガーコンパクトである。

参照

• 二項関係
• プルバック（カテゴリー理論）
• プッシュアウト（カテゴリー理論）
• コボルディズム

参考文献

• nラボのスパン
• 米田信夫 (1954). 「加群のホモロジー論について」.東京大学理学部誌 I . 7 : 193–227 .
• ベナブー、ジャン (1967). 「二圏論入門」.ミッドウェスト圏セミナー報告. 数学講義ノート. 第47巻. シュプリンガー. pp.  1– 77. doi :10.1007/BFb0074299. ISBN 978-3-540-35545-8。