スタビライザーコード

量子コンピューティングおよび量子通信において、安定化符号は量子誤り訂正を行うための量子符号の一種である。トーリック符号、およびより一般的には表面符号^{[1]は、量子情報処理の実用化に非常に重要であると考えられている安定化符号の一種である。}トーリック符号や表面符号を含む多くの重要な安定化符号ファミリーは、CSS符号でもある。

概念的背景

量子エラー訂正符号は、ノイズの多い デコヒーレンス 量子状態を純粋な量子状態に戻します。 安定化量子エラー訂正符号は、保護したい量子ビットに補助量子ビットを追加します 。ユニタリ符号化回路は、グローバル状態をより大きなヒルベルト空間の部分空間に回転させます。この高度にエンタングルされた符号化状態は、局所的なノイズの多いエラーを訂正します。量子エラー訂正符号は、特定のエラーモデルに従うノイズのある量子ビットチャネルが与えられた場合に、送信側と受信側がノイズのない量子ビットチャネルをシミュレートする方法を提供することで、量子計算 と量子通信を実用化します 。最初の量子エラー訂正符号は、その動作とパフォーマンスにおいて古典的なブロック符号と非常によく似ています 。

量子誤り訂正の安定化理論は、いくつかの古典的な2値符号または4値符号を量子符号として導入することを可能にします。しかし、古典的な符号を導入する際には、双対包含制約（または自己直交性制約）を満たす必要があります。研究者たちはこの制約を満たす古典的な符号の例を数多く発見していますが、ほとんどの古典的な符号は満たしていません。それでもなお、このように古典的な符号を導入することは依然として有用です（ただし、エンタングルメント支援安定化形式論がこの困難をどのように克服するかについては、後述します）。

数学的背景

安定化形式論は、量子誤り訂正符号の定式化において パウリ群の要素を利用する。この集合は パウリ作用素から構成される。 ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi =\left\{I,X,Y,Z\right\}}$

${\displaystyle I\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ X\equiv {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\ Y\equiv {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\ Z\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

上記の演算子は、2次元 ヒルベルト空間 のベクトルで表される状態である単一量子ビットに作用します。 の演算子は固有値を持ち、可換 または反可換です。この集合は、パウリ演算子の 重テンソル積で構成されます。 ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Pi ^{n}=\left\{{\begin{array}{c}e^{i\phi }A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}:\forall j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}A_{j}\in \Pi ,\ \ \phi \in \left\{0,\pi /2,\pi ,3\pi /2\right\}\end{array}}\right\}.}$

量子ビットの量子レジスタに作用する要素。以下で はテンソル積の記号を省略することがある。${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}\equiv A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}.}$

倍パウリ群は、量子ビット上の量子安定コードの符号化回路と誤り訂正手順の両方で重要な役割を果たします。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

意味

論理量子ビットを物理量子ビットに符号化するための安定化量子誤り訂正符号を定義しよう。このような符号のレートは である。その安定化符号は -倍パウリ群の アーベル部分群である。 演算子 は含まれない。演算子の同時 -固有空間は符号空間を構成する。符号空間は次元を持つので、そこに量子ビットを符号化することができる。安定化符号は、 独立生成元 に関する最小表現を持つ。${\displaystyle \left[n,k\right]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle -I^{\otimes n}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle \left\{g_{1},\ldots ,g_{n-k}\ |\ \forall i\in \left\{1,\ldots ,n-k\right\},\ g_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}.}$

生成器は独立であり、他の生成器の積ではない（大域位相を除く）という意味で独立である。これらの演算子は、古典的な線形ブロック符号におけるパリティ検査行列と同様に機能する。 ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-k}}$

安定器の誤差補正条件

量子誤り訂正理論における基本的な概念の一つは、パウリ群に 支持された離散的な誤り集合を訂正すれば十分であるというものである。符号化された量子状態に影響を与える誤りがパウリ群の部分集合であると仮定する。 ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}.}$

とはどちらも のサブセットである ため、符号化された量子状態に影響を与えるエラーは、の特定の要素と交換または反交換されます。エラーは、の要素と交換される場合に訂正可能です。反交換エラーは、 の各要素を測定し、を識別するシンドロームを計算することによって検出できます。シンドロームは、長さ のバイナリベクトルであり、その要素は、エラーが各 と交換するか反交換するかを識別します。のすべての要素と交換するエラーは 、 にある場合にのみ訂正可能です。エラーが のすべての要素と交換するが にはない場合、符号化された状態が破損します。したがって 、スタビライザエラー訂正条件を簡潔にまとめると、スタビライザコードは、${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\notin {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)}$

または

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\in {\mathcal {S}}}$

ここで、は の中心化子（つまり、 のすべての要素と可換な要素の部分群、可換元とも呼ばれる） です。${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

例

古典的な繰り返しコード

安定化コードの簡単な例として、3量子ビットの 安定化コードが挙げられます。このコードは、論理量子ビットを物理量子ビットにエンコードし、セット 内の単一ビット反転エラーから保護します。ただし、セット.or内の位相反転エラーなどの他のパウリエラーからは保護されません。このコードのコード距離は です。この安定化コードは、パウリ演算子 で構成されています。${\displaystyle \left[[3,1,3\right]]}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \left\{X_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{i}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Z_{i}\right\}}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle n-k=2}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}g_{1}&=&Z&Z&I\\g_{2}&=&I&Z&Z\\\end{array}}}$

ビット反転エラーがない場合、演算子と 演算子は両方とも交換可能であり、シンドロームは +1、+1 となり、エラーは検出されません。 ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$

最初のエンコードされた量子ビットにビット反転エラーが発生した場合、演算子は逆交換および 交換を行い、シンドロームは-1,+1となり、エラーが検出されます。2番目のエンコードされた量子ビットにビット反転エラーが発生した場合、演算子は逆交換および 交換を行い、シンドロームは-1,-1となり、エラーが検出されます。3番目のエンコードされた量子ビットにビット反転エラーが発生した場合、演算子は交換および交換を 行い 、シンドロームは+1,-1となり、エラーが検出されます。${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$

5量子ビットコード

安定化符号の一例として、5量子ビット 安定化符号が挙げられます。これは論理量子ビットを物理量子ビットに符号化し、任意の単一量子ビットエラーから保護します。この符号距離は です。その安定化符号はパウリ演算子 で構成されています。${\displaystyle \left[[5,1,3\right]]}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle n=5}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle n-k=4}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}g_{1}&=&X&Z&Z&X&I\\g_{2}&=&I&X&Z&Z&X\\g_{3}&=&X&I&X&Z&Z\\g_{4}&=&Z&X&I&X&Z\end{array}}}$

上記の演算子は可換である。したがって、コード空間は上記の演算子の同時+1固有空間である。符号化された量子レジスタで単一量子ビットエラーが発生したと仮定する。単一量子ビットエラーは、 が量子ビット 上のパウリエラーを表す集合に含まれる。任意の単一量子ビットエラーが一意のシンドロームを持つことは容易に検証できる。受信機は、パリティ測定によってシンドロームを特定し、修正演算を適用すること で、任意の単一量子ビットエラーを修正する。${\displaystyle \left\{X_{i},Y_{i},Z_{i}\right\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$

パウリ群と2進ベクトルの関係

の元と二進 ベクトル空間の間には、単純だが有用な写像が存在する。この写像は量子誤り訂正理論を簡略化する。量子符号を、パウリ演算子と 行列演算ではなく、二進ベクトルと二進演算で表す。 ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$

まず、1量子ビットの場合の写像を示します。同じ位相を持つ演算子の同値類 の集合を とします。 ${\displaystyle \left[A\right]}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left[A\right]=\left\{\beta A\ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}$

を位相自由パウリ作用素の集合とし、 写像を次のように 定義する。${\displaystyle \left[\Pi \right]}$ ${\displaystyle \left[\Pi \right]=\left\{\left[A\right]\ |\ A\in \Pi \right\}}$ ${\displaystyle N:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \Pi }$

${\displaystyle 00\to I,\,\,01\to X,\,\,11\to Y,\,\,10\to Z}$

と仮定する。とという省略形を用いる。ただし、、、とする。例えば、 と仮定する。すると となる。写像は同型写像を誘導する。なぜなら、 におけるベクトルの加算は、パウリ演算子の乗算と、大域位相まで等しいからである。 ${\displaystyle u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$ ${\displaystyle u=\left(z|x\right)}$ ${\displaystyle v=\left(z^{\prime }|x^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle u=\left(0|1\right)}$ ${\displaystyle N\left(u\right)=X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left[N\right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \left[\Pi \right]}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left[N\left(u+v\right)\right]=\left[N\left(u\right)\right]\left[N\left(v\right)\right].}$

2つの要素間のシンプレクティック積をとします。 ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle u\odot v\equiv zx^{\prime }-xz^{\prime }.}$

シンプレクティック積はの元の 交換関係を与える: ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle N\left(u\right)N\left(v\right)=\left(-1\right)^{\left(u\odot v\right)}N\left(v\right)N\left(u\right).}$

シンプレクティック積と写像は、パウリ関係式を二元代数で表現する便利な方法を与える。上記の定義と写像を複数の量子ビットに拡張することは容易である。を の任意の元とする。同様に、位相自由 - 量子ビットパウリ群を定義することができる。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}}$ ${\displaystyle \Pi ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]=\left\{\left[\mathbf {A} \right]\ |\ \mathbf {A} \in \Pi ^{n}\right\}}$

${\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]=\left\{\beta \mathbf {A} \ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}$

上記の同値クラスのグループ演算は次のとおり です。 ${\displaystyle \ast }$

${\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]\ast \left[\mathbf {B} \right]\equiv \left[A_{1}\right]\ast \left[B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}\right]\ast \left[B_{n}\right]=\left[A_{1}B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}B_{n}\right]=\left[\mathbf {AB} \right].}$

同値類は 演算 の下で可換群を形成する。次元ベクトル空間を考える。${\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}=\left\{\left(\mathbf {z,x} \right):\mathbf {z} ,\mathbf {x} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{n}\right\}.}$

これは、演算が2値ベクトルの加算として定義される可換群を形成します。任意のベクトルをそれぞれ表記するために を使用します 。各ベクトルと は、それぞれと に対して同様の表現を持つ要素を持ちます。とのシンプレクティック積は ${\displaystyle (\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n},+)}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(\mathbf {z} |\mathbf {x} \right),\mathbf {v} =\left(\mathbf {z} ^{\prime }|\mathbf {x} ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{\prime }-x_{i}z_{i}^{\prime },}$

または

${\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}u_{i}\odot v_{i},}$

ここで、 と です。次のようにマップを定義します。 ${\displaystyle u_{i}=\left(z_{i}|x_{i}\right)}$ ${\displaystyle v_{i}=\left(z_{i}^{\prime }|x_{i}^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {N} :\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \Pi ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\equiv N\left(u_{1}\right)\otimes \cdots \otimes N\left(u_{n}\right).}$

させて

${\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\equiv X^{x_{1}}\otimes \cdots \otimes X^{x_{n}},\,\,\,\,\,\,\,\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\equiv Z^{z_{1}}\otimes \cdots \otimes Z^{z_{n}},}$

したがって、と は同じ 同値類に属します。 ${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)}$

${\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]=\left[\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\right].}$

この写像は、前の場合と同じ理由で 同型である。${\displaystyle \left[\mathbf {N} \right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \left[\Pi ^{n}\right]}$

${\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u+v} \right)\right]=\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\right],}$

ここで、シンプレクティック積は、任意の演算子および の交換関係を捉えます。 ${\displaystyle \mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)}$ ${\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)}$

${\displaystyle \mathbf {N\left(\mathbf {u} \right)N} \left(\mathbf {v} \right)=\left(-1\right)^{\left(\mathbf {u} \odot \mathbf {v} \right)}\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right).}$

上記のバイナリ表現とシンプレクティック代数は、古典的な線形誤り訂正と量子誤り訂正 の関係をより明確にするのに役立ちます。

この言語における量子誤り訂正符号をシンプレクティックベクトル空間と比較すると、次のことがわかります。シンプレクティック部分空間はパウリ代数（つまり、符号化された量子ビット）の直和に対応し、等方性部分空間は安定化集合に対応します。

参考文献

1. 「量子誤り訂正における『表面コード』とは何か？」Quantum Computing Stack Exchange . 2024年1月12日閲覧。

• D. Gottesman、「安定化コードと量子誤り訂正」、quant-ph/9705052、Caltech博士論文。https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
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• Calderbank, AR; Shor, Peter W. (1996-08-01). 「優れた量子誤り訂正符号が存在する」. Physical Review A. 54 ( 2). American Physical Society (APS): 1098–1105 . arXiv : quant-ph/9512032 . Bibcode :1996PhRvA..54.1098C. doi :10.1103/physreva.54.1098. ISSN  1050-2947. PMID  9913578. S2CID  11524969.
• Steane, AM (1996-07-29). 「量子理論における誤り訂正符号」. Physical Review Letters . 77 (5). アメリカ物理学会 (APS): 793– 797. Bibcode :1996PhRvL..77..793S. doi :10.1103/physrevlett.77.793. ISSN  0031-9007. PMID  10062908.
• A. Calderbank, E. Rains, P. Shor, N. Sloane, “Quantum error correction via codes over GF(4),” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 44, pp. 1369–1387, 1998. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006 で入手可能