安定ホモトピー理論

数学において、安定ホモトピー理論は、ホモトピー理論（および代数位相幾何学）の一部であり、懸垂関数を十分多くの回数適用した後に残るすべての構造と現象を扱う。基礎的な結果はフロイデンタールの懸垂定理であり、任意の尖った空間 が与えられた場合、ホモトピー群は十分に大きいに対して安定するというものである。特に、球面のホモトピー群はに対して安定する。例えば、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$ ${\displaystyle n\geq k+2}$

${\displaystyle \langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots }$

${\displaystyle \langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{5}(S^{4})\cong \cdots }$

上記の2つの例において、ホモトピー群間の写像はすべて懸架関数の適用です。最初の例は、Hurewiczの定理の標準的な系であり、 となります。2番目の例では、ホップ写像がその懸架 に写像され、 が生成されます。 ${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Sigma \eta }$ ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$

安定ホモトピー理論における最も重要な問題の一つは、球面の安定ホモトピー群の計算である。フロイデンタールの定理によれば、安定範囲において、球面のホモトピー群は、定義域と対象における球面の特定の次元ではなく、それらの次元の差に依存する。これを念頭に置くと、k番目の安定幹は

${\displaystyle \pi _{k}^{s}:=\lim _{n}\pi _{n+k}(S^{n})}$ 。

これはすべてのkに対してアーベル群です。ジャン＝ピエール・セールの定理^[1]によれば、これらの群は に対して有限です。実際、合成により は次数付き環になります。西田五郎の定理^[2]によれば、この環の正の次数のすべての元は冪零です。したがって、唯一の素イデアルは 内の素数です。そのため、 の構造は非常に複雑です ${\displaystyle k\neq 0}$ ${\displaystyle \pi _{*}^{S}}$ ${\displaystyle \pi _{0}^{s}\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{*}^{s}}$

安定ホモトピー理論の現代的な扱いでは、空間は典型的にはスペクトルに置き換えられる。この考え方に従えば、安定ホモトピー圏全体を構成することができる。この圏は、サスペンション関数が可逆になるという事実から、空間の（不安定）ホモトピー圏には存在しない多くの優れた性質を持つ。例えば、コファイブレーション列とファイブレーション列の概念は同値である。

参照

• アダムス濾過
• アダムススペクトル列
• 彩色ホモトピー理論
• 同変安定ホモトピー理論
• べき零定理

参考文献

1. Serre, Jean-Pierre (1953). "Groupes d'homotopie et classes de groupes abelien". Annals of Mathematics . 58 (2): 258– 295. doi :10.2307/1969789. JSTOR  1969789
2. 西田五郎(1973)、「球面の安定ホモトピー群の元の冪零性」、日本数学会誌、25 (4): 707– 732、doi : 10.2969/jmsj/02540707、hdl : 2433/220059、ISSN  0025-5645、MR  0341485

• アダムズ、J.フランク（1966）『安定ホモトピー理論』改訂第2版、カリフォルニア大学バークレー校講義集、第1961巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、MR  0196742
• メイ、J.ピーター（1999）、「安定代数位相幾何学、1945-1966」（PDF）、安定代数位相幾何学、1945--1966、アムステルダム：北ホラント、pp.  665-723、CiteSeerX  10.1.1.30.6299、doi：10.1016/B978-044482375-5/50025-0、ISBN 9780444823755、MR  1721119
• レイヴネル、ダグラス・C. (1992)、「安定ホモトピー理論における冪零性と周期性」、数学研究年報、第128巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-02572-8、MR  1192553