確率分布
実験において特定の結果が発生する確率を表す数学関数

確率論と統計学において、確率分布とは、実験における起こり得る事象の発生確率を与える関数です。[1] [2]これは、標本空間と事象の確率（標本空間の部分集合）の観点から、ランダムな現象を数学的に記述したものです。 [3]

それぞれの確率変数には確率分布があります。[4]例えば、Xをコイントスの結果（「実験」）を表すために用いる場合、Xの確率分布は、 X = 表の場合は0.5（2分の1、つまり1/2）となり、X = 裏の場合は0.5となります（コインに表裏がないと仮定）。より一般的には、確率分布は、多くの異なるランダム値の相対的な発生頻度を比較するために使用されます。

実際には、確率分布は累積分布関数、確率質量関数、または確率密度関数を用いて記述されることが多い。[5]確率論では、確率分布は確率測度 によって表され、確率分布という用語は、ランダム変数に関連付けられた確率測度を指すためにしばしば用いられる。 特に重要な確率分布には、特定の名称が与えられる。

はじめに

確率分布は、事象の確率、つまり標本空間の部分集合の数学的記述です。標本空間は、しばしば と表記され、観測されるランダム現象のすべての可能な結果の集合です。標本空間は、実数の集合、記述ラベルの集合、ベクトルの集合、任意の非数値の集合など、任意の集合です。例えば、コイン投げの標本空間はΩ = { "表", "裏" }となります   Ω   , {\displaystyle \ \Omega \ ,}

特定のケースのランダム変数について確率分布を定義するには(サンプル空間を数値の集合と見なせる場合)、離散ランダム変数と連続 ランダム変数を区別するのが一般的です。離散ケースでは、起こり得る各結果に確率を割り当てる確率質量関数を指定すれば十分です (例: 公平な サイコロを振るとき、サイコロの目の数に対応する6 つの数字「1」から「6」のそれぞれには確率があります)。イベントの確率は、イベントを満たすすべての結果の確率の合計として定義されます。たとえば、「サイコロが偶数を出す」というイベントの確率は です。 対照的に、ランダム変数が連続体から値を取る場合、慣例により、個々の結果には確率 0 が割り当てられます。このような連続ランダム変数の場合、間隔などの無限の数の結果を含むイベントのみが 0 より大きい確率を持ちます。 p {\displaystyle p} 1 6 ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}).} p ( “ 2 ” ) + p ( “ 4 ” ) + p ( “ 6 ” ) = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2 . {\displaystyle p({\text{“}}2{\text{”}})+p({\text{“}}4{\text{”}})+p({\text{“}}6{\text{”}})={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}.}

例えば、スーパーマーケットでハムの重さを測る場合を考えてみましょう。はかりが任意の桁数の精度を提供できると仮定します。すると、ハムの重さがちょうど500g である確率はゼロになります。なぜなら、どれだけ高い精度レベルを選んだとしても、その精度レベルによって無視される残りの桁にゼロ以外の小数点以下の桁が存在しないとは仮定できないからです。

しかし、同じユースケースにおいて、「500g」のハムのパッケージの重量が490gから510gの範囲にあることが98%以上の確率でなければならないといった品質管理要件を満たすことは可能です。これは、この測定では基盤となる機器にそれほど高い精度が要求されないためです。

図1：左のグラフは確率密度関数を示しています。右のグラフは累積分布関数を示しています。累積分布における点aの値は、点aまでの確率密度曲線の下の面積に等しくなります。

連続確率分布は累積分布関数によって記述することができ、これはランダム変数が与えられた値（つまり、あるxに対してP ( X≤x )）以下となる確率を記述する。累積分布関数は、図1に示すように、-∞からxまでの確率密度関数の下の領域である。 [6]

実際に遭遇する連続確率分布のほとんどは、連続的であるだけでなく、絶対連続でもあります。このような分布は、確率密度関数によって記述できます。非公式には、確率変数の確率密度は、任意の値、つまりが任意に小さくなる無限小の確率を表します。与えられた区間に含まれる確率は、確率密度関数をその区間にわたって積分することで厳密に計算できます。 [7] f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} x {\displaystyle x} P ( x ≤ X < x + Δ x ) ≈ f ( x ) Δ x {\displaystyle P(x\leq X<x+\Delta x)\approx f(x)\,\Delta x} Δ x > 0 {\displaystyle \Delta x>0} X {\displaystyle X}

一般的な確率の定義

を確率空間、を測定空間、を- 値確率変数とします。すると、 の確率分布は、によって誘導される確率測度のへの押し出し測度です。明示的には、 へのこの押し出し測度は、に対してで与えられます ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} X : Ω → E {\displaystyle X:\Omega \to E} ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} X {\displaystyle X} P {\displaystyle P} ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} X {\displaystyle X} ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} X ∗ ( P ) ( B ) = P ( X − 1 ( B ) ) {\displaystyle X_{*}(P)(B)=P\left(X^{-1}(B)\right)} B ∈ E . {\displaystyle B\in {\mathcal {E}}.}

任意の確率分布は上の確率測度である（が恒等写像でない限り、一般に とは異なる）。 [要出典] ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} P {\displaystyle P} X {\displaystyle X}

確率分布は、確率質量関数や累積分布関数など、様々な形で記述できます。絶対連続変数と離散変数の両方に適用される最も一般的な記述法の一つは、σ-代数を入力空間 とし、出力として実数確率（特に の範囲にある数）を与える確率関数です。 P : A → R {\displaystyle P\colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} } A {\displaystyle {\mathcal {A}}} [ 0 , 1 ] ⊆ R {\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }

確率関数は、コイントスの例ではP (表) = 0.5、P (裏) = 0.5となるように定義されているように、標本空間自体の部分集合を引数としてとることができます。しかし、標本空間を数値の集合 (例: 、 ) に変換するランダム変数が広く使用されているため、引数がこれらの特定の種類の集合 (数値集合) の部分集合である確率分布を研究する方が一般的です。[8]また、この記事で説明する確率分布はすべてこのタイプです。変数の特定の値が特定のイベント に属する確率を と表記することが一般的です。[5] [9] P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} R {\displaystyle \mathbb {R} } N {\displaystyle \mathbb {N} } P ( X ∈ E ) {\displaystyle P(X\in E)} X {\displaystyle X} E {\displaystyle E}

上記の確率関数は、すべてのコルモゴロフ公理を満たす場合にのみ確率分布を特徴付けます。つまり、

  1. P ( X ∈ E ) ≥ 0 ∀ E ∈ A {\displaystyle P(X\in E)\geq 0\;\forall E\in {\mathcal {A}}} なので、確率は非負である
  2. P ( X ∈ E ) ≤ 1 ∀ E ∈ A {\displaystyle P(X\in E)\leq 1\;\forall E\in {\mathcal {A}}} なので、確率は 1 {\displaystyle 1}
  3. P ( X ∈ ⋃ i E i ) = ∑ i P ( X ∈ E i ) {\displaystyle P(X\in \bigcup _{i}E_{i})=\sum _{i}P(X\in E_{i})} 任意の可算な互いに素な集合族に対して { E i } {\displaystyle \{E_{i}\}}

確率関数の概念は、確率空間 の要素として定義することでより厳密になります。ここで、は可能な結果の集合、は確率を測定できるすべての部分集合の集合、はこれらの測定可能な部分集合のそれぞれに確率を割り当てる確率関数または確率測度です。[10] ( X , A , P ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)} X {\displaystyle X} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} E ⊂ X {\displaystyle E\subset X} P {\displaystyle P} E ∈ A {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}

確率分布は通常、2 つのクラスのいずれかに属します。

離散確率分布は、一連の可能な結果が離散的であり（例：コイン投げ、サイコロを振る）、確率が結果の確率の離散リストによってエンコードされるシナリオに適用できます。この場合、確率は確率質量関数によって記述され、確率分布は確率質量関数の合計によって与えられます。

絶対連続確率分布は、ある日の気温のように、起こり得る結果の集合が連続した範囲（例えば実数）の値を取るシナリオに適用できます。絶対連続の場合、確率は確率密度関数で記述され、確率分布は定義上、確率密度関数の積分となります。[5] [7] [9]正規分布は、一般的に見られる絶対連続確率分布です。連続時間で定義される確率過程を含むような、より複雑な実験では、より一般的な確率尺度の使用が必要になる場合があります。

サンプル空間が 1 次元 (たとえば、実数、ラベルのリスト、順序付きラベル、または 2 値) である確率分布は単変量と呼ばれ、サンプル空間が2 次元以上のベクトル空間である分布は多変量と呼ばれます。単変量分布は、単一のランダム変数がさまざまな異なる値を取る確率を与えます。多変量分布 (結合確率分布) は、ランダムベクトル(2 つ以上のランダム変数のリスト) がさまざまな値の組み合わせを取る確率を与えます。重要でよく使用される単変量確率分布には、二項分布、超幾何分布、および正規分布があります。よく使用される多変量分布は、多変量正規分布です。

確率関数、累積分布関数、確率質量関数、確率密度関数に加えて、モーメント生成関数と特性関数も、基礎となる累積分布関数を一意に決定するため、確率分布を識別するのに役立ちます。[11]

図2：正規分布（ガウス分布または「ベル曲線」とも呼ばれる）の確率密度関数（pdf）は、絶対的に連続したランダム分布の中で最も重要な分布です。図に示されているように、値の区間の確率は曲線の下の面積に対応します。

用語

確率分布に関する文献で広く使用されているいくつかの重要な概念と用語を以下に示します。[1]

基本用語

  • 確率変数：標本空間から値を取ります。確率は、どの値と値の集合がより可能性が高いかを表します
  • イベント: 一定の確率で発生するランダム変数の可能な値 (結果) のセット。
  • 確率関数または確率測度：事象確率を表します。 [12] P ( X ∈ E ) {\displaystyle P(X\in E)} E , {\displaystyle E,}
  • 累積分布関数:が以下の値を取る確率を評価する関数(実数値ランダム変数のみ)。 X {\displaystyle X} x {\displaystyle x}
  • 分位関数：累積分布関数の逆関数。を超えないような値。 x {\displaystyle x} q {\displaystyle q} X {\displaystyle X} x {\displaystyle x}

離散確率分布

絶対連続確率分布

  • 絶対連続確率分布: 数え切れないほど多くの値を持つ多くのランダム変数の場合。
  • 確率密度関数( pdf ) または確率密度:サンプル空間(ランダム変数が取る可能性のある値の集合) 内の任意のサンプル (またはポイント) における値が、ランダム変数の値がそのサンプルと等しくなる相対的な可能性を提供するものとして解釈できる関数。
  • サポート：確率変数が非ゼロ確率（連続分布の場合は確率密度）でとることができる値の集合。確率変数の場合、 と表記されることもあります X {\displaystyle X} R X {\displaystyle R_{X}}
  • 裾野：[13]確率変数の境界に近い領域で、その領域における確率場関数（PMF）または確率密度関数（PDF）が比較的低い場合。通常は、またはその和集合の形をとる。 X > a {\displaystyle X>a} X < b {\displaystyle X<b}
  • 頭部：[13] PMFまたはPDFが比較的高い領域。通常は の形をとる。 a < X < b {\displaystyle a<X<b}
  • 期待値または平均:可能性のある値の確率を重みとして使用して、可能性のある値の加重平均、またはその連続的な類似物。
  • 中央値: 中央値より小さい値のセットと中央値より大きい値のセットのそれぞれの確率が半分以下になるような値。
  • モード: 離散ランダム変数の場合は、最も高い確率を持つ値。絶対連続ランダム変数の場合は、確率密度関数がローカルピークを持つ場所。
  • 分位点: q 分位点は、 となる値です。 x {\displaystyle x} P ( X < x ) = q {\displaystyle P(X<x)=q}
  • 分散: 平均に関する pmf または pdf の 2 番目のモーメント。分布の分散の重要な尺度です。
  • 標準偏差: 分散の平方根であり、分散度の別の尺度です。
  • 対称性: 特定の値 (通常は中央値) の左側の分布の部分が右側の部分の鏡像になるという、一部の分布の特性。
  • 歪度：PMFまたはPDFが平均値から片側に「傾いている」程度を示す指標。分布の3次標準化モーメント。
  • 尖度：PMFまたはPDFの裾の「太さ」を表す指標。分布の4次標準化モーメント。

累積分布関数

実数値確率変数の特殊なケースでは、確率分布は確率測度の代わりに累積分布関数で等価的に表すことができます。確率分布に関する確率変数の累積分布関数は次のように定義されます X {\displaystyle X} p {\displaystyle p} F ( x ) = P ( X ≤ x ) . {\displaystyle F(x)=P(X\leq x).}

任意の実数値ランダム変数の累積分布関数には次の特性があります。

  • F ( x ) {\displaystyle F(x)} 非減少です。
  • F ( x ) {\displaystyle F(x)} 右連続です。
  • 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1} ;
  • lim x → − ∞ F ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0} そして;そして lim x → ∞ F ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}
  • Pr ( a < X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=F(b)-F(a)} 。

逆に、上記の性質の最初の4つを満たす関数は、実数上の確率分布の累積分布関数です。[14] F : R → R {\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

任意の確率分布は、離散分布、絶対連続分布、特異連続分布の混合として分解することができ、[15]したがって、任意の累積分布関数は、対応する3つの累積分布関数の凸和として分解することができます。

離散確率分布

図3：確率質量関数（pmf）は、2つのサイコロの出目の合計の確率分布を指定します。例えば、図は を示しています。pmfを使用すると、 などの事象の確率や、分布内の他のすべての確率を計算できます p ( S ) {\displaystyle p(S)} S {\displaystyle S} p ( 11 ) = 2 / 36 = 1 / 18 {\displaystyle p(11)=2/36=1/18} P ( X > 9 ) = 1 / 12 + 1 / 18 + 1 / 36 = 1 / 6 {\displaystyle P(X>9)=1/12+1/18+1/36=1/6}
図4: 離散確率分布の確率質量関数。{1}、​​{3}、{7}の単独点の確率はそれぞれ0.2、0.5、0.3です。これらの点を含まない集合の確率は0です。
図 5:離散確率分布のcdf 、...
図 6: 連続確率分布の...
図7: 連続部分と離散部分の両方を持つ分布の

離散確率分布は、可算個数の値のみをとることができるランダム変数の確率分布です[16]（ほぼ確実に）[17]。つまり、あらゆる事象の確率は（有限または可算無限の）和 として表現できます。 ここで、 は を持つ可算集合です。したがって、離散ランダム変数（つまり、確率分布が離散的であるランダム変数）は、確率質量関数を持つものとまったく同じです。値の範囲が可算無限である場合、これらの値は、確率が合計で 1 になるのに十分な速さで 0 に減少する必要があります。たとえば、について の場合、確率の合計は になります。 E {\displaystyle E} P ( X ∈ E ) = ∑ ω ∈ A ∩ E P ( X = ω ) , {\displaystyle P(X\in E)=\sum _{\omega \in A\cap E}P(X=\omega ),} A {\displaystyle A} P ( X ∈ A ) = 1 {\displaystyle P(X\in A)=1} p ( x ) = P ( X = x ) {\displaystyle p(x)=P(X=x)} p ( n ) = 1 2 n {\displaystyle p(n)={\tfrac {1}{2^{n}}}} n = 1 , 2 , . . . {\displaystyle n=1,2,...} 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ⋯ = 1 {\displaystyle 1/2+1/4+1/8+\dots =1}

統計モデリングにおいてよく用いられる離散確率分布としては、ポアソン分布、ベルヌーイ分布、二項分布、幾何分布、負の二項分布、カテゴリ分布などが知られている。[3]より大きな母集団から標本（観測値の集合）を抽出した場合、標本点は離散的な経験分布を持ち、母集団分布に関する情報を提供する。さらに、離散一様分布は、複数の選択肢から等確率でランダムに選択を行うコンピュータプログラムでよく用いられる。

累積分布関数

実数値離散確率変数は、累積分布関数がジャンプ不連続によってのみ増加する確率変数として定義できます。つまり、その累積分布関数は、より高い値に「ジャンプ」する部分でのみ増加し、ジャンプのない区間では一定です。ジャンプが発生する点は、まさに確率変数が取り得る値です。したがって、累積分布関数は次のようになります。累積分布関数が ジャンプする点は常に可算集合を形成します。これは任意の可算集合である可能性があり、したがって実数で稠密である可能性もあります F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ ω ≤ x p ( ω ) . {\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{\omega \leq x}p(\omega ).}

ディラックのデルタ表現

離散確率分布は、しばしばディラック測度（1点分布とも呼ばれます（下記参照）、決定論的確率変数の確率分布）で表されます。任意の結果 に対して、に集中するディラック測度とします。離散確率分布が与えられた場合、と確率質量関数を含む可算集合 が存在します。が任意の事象である場合、 または簡単に言えば、 ω {\displaystyle \omega } δ ω {\displaystyle \delta _{\omega }} ω {\displaystyle \omega } A {\displaystyle A} P ( X ∈ A ) = 1 {\displaystyle P(X\in A)=1} p {\displaystyle p} E {\displaystyle E} P ( X ∈ E ) = ∑ ω ∈ A p ( ω ) δ ω ( E ) , {\displaystyle P(X\in E)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\delta _{\omega }(E),} P X = ∑ ω ∈ A p ( ω ) δ ω . {\displaystyle P_{X}=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\delta _{\omega }.}

同様に、離散分布は、一般化確率密度関数としてディラックのデルタ関数で表すことができ、 これは 任意の事象に対して[18] f {\displaystyle f} f ( x ) = ∑ ω ∈ A p ( ω ) δ ( x − ω ) , {\displaystyle f(x)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\delta (x-\omega ),} P ( X ∈ E ) = ∫ E f ( x ) d x = ∑ ω ∈ A p ( ω ) ∫ E δ ( x − ω ) = ∑ ω ∈ A ∩ E p ( ω ) {\displaystyle P(X\in E)=\int _{E}f(x)\,dx=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\int _{E}\delta (x-\omega )=\sum _{\omega \in A\cap E}p(\omega )} E . {\displaystyle E.}

指示関数表現

離散確率変数 について、が非ゼロの確率で取り得る値とします。 これらは互いに素な集合であり、そのような集合 に対して が を除く任意の値を取る 確率はゼロとなるため、 確率ゼロの集合 を除いてと 書くことができます。ただしは の指示関数です。これは離散確率変数の別の定義として役立つ場合があります X {\displaystyle X} u 0 , u 1 , … {\displaystyle u_{0},u_{1},\dots } Ω i = X − 1 ( u i ) = { ω : X ( ω ) = u i } , i = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \Omega _{i}=X^{-1}(u_{i})=\{\omega :X(\omega )=u_{i}\},\,i=0,1,2,\dots } P ( ⋃ i Ω i ) = ∑ i P ( Ω i ) = ∑ i P ( X = u i ) = 1. {\displaystyle P\left(\bigcup _{i}\Omega _{i}\right)=\sum _{i}P(\Omega _{i})=\sum _{i}P(X=u_{i})=1.} X {\displaystyle X} u 0 , u 1 , … {\displaystyle u_{0},u_{1},\dots } X {\displaystyle X} X ( ω ) = ∑ i u i 1 Ω i ( ω ) {\displaystyle X(\omega )=\sum _{i}u_{i}1_{\Omega _{i}}(\omega )} 1 A {\displaystyle 1_{A}} A {\displaystyle A}

1点分布

特殊なケースとして、1つの固定値、つまりディラック測度のみをとることができる確率変数の離散分布があります。正式に表現すると、確率変数が1点分布を持つとは、ある結果が[19]となる場合です。他のすべての可能性のある結果の確率は0です。その累積分布関数は、以前は0でしたが、 で1に急激に変化します。これは、他の値をとることができず、他の値をとれない決定論的分布と密接に関連しています。一方、1点分布は他の値をとることがありますが、その確率は0のみです。ほとんどの実用的用途において、これら2つの概念は同等です。 X {\displaystyle X} x {\displaystyle x} P ( X = x ) = 1. {\displaystyle P(X{=}x)=1.} x {\displaystyle x} x {\displaystyle x}

絶対連続確率分布

絶対連続確率分布は、実数直線上の区間全体など、無数に取り得る値を持つ実数上の確率分布であり、あらゆる事象の確率を積分で表すことができます。[20]より正確には、各区間について に属する確率が の積分で与えられるような関数がある場合、実数ランダム変数は絶対連続確率分布を持ちます。[21] [22]これは確率密度関数 の定義であるため、絶対連続確率分布は確率密度関数を持つものとまったく同じです。特に、 が任意の単一の値（つまり、 ）を取る確率は0 です。これは、上限と下限が一致する積分は常に 0 に等しいためです。区間 を任意の測定可能なセット に置き換えた場合でも、対応する等式が成り立ちます。 X {\displaystyle X} f : R → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]} I = [ a , b ] ⊂ R {\displaystyle I=[a,b]\subset \mathbb {R} } X {\displaystyle X} I {\displaystyle I} f {\displaystyle f} I {\displaystyle I} P ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle P\left(a\leq X\leq b\right)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.} X {\displaystyle X} a {\displaystyle a} a ≤ X ≤ a {\displaystyle a\leq X\leq a} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} A {\displaystyle A} P ( X ∈ A ) = ∫ A f ( x ) d x . {\displaystyle P(X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx.}

絶対連続ランダム変数は、確率分布が絶対連続であるランダム変数です。

絶対連続確率分布の例としては、正規分布、一様分布、カイ二乗分布などが挙げられます。

累積分布関数

上記で定義された絶対連続確率分布とは、まさに絶対連続累積分布関数を持つ分布です。この場合、累積分布関数はの形を持ちます 。 ここで、は分布に関する確率変数の密度です F {\displaystyle F} F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt} f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} P {\displaystyle P}

用語に関する注記：絶対連続分布は、連続累積分布関数を持つ連続分布とは区別されるべきである。すべての絶対連続分布は連続分布であるが、その逆は成り立たない。特異分布が存在する。特異分布は絶対連続でも離散的でもなく、それらの混合でもなく、密度を持たない。例としてカントール分布が挙げられる。しかしながら、一部の著者は累積分布関数が絶対連続であるすべての分布を指すために「連続分布」という用語を使用している。つまり、絶対連続分布を連続分布と呼ぶ。[5]

密度関数のより一般的な定義とそれと同等の絶対連続測度については、絶対連続測度を参照してください。

コルモゴロフ定義

確率論の測度論的形式化において、確率変数は確率空間から測定可能空間への測定可能な関数として定義されます。形の事象の確率がコルモゴロフの確率公理を満たすとすれば、の確率分布はの像測度であり、これはを満たす上の確率測度です。[23] [24] [25] X {\displaystyle X} ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} { ω ∈ Ω ∣ X ( ω ) ∈ A } {\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in A\}} X {\displaystyle X} X ∗ P {\displaystyle X_{*}\mathbb {P} } X {\displaystyle X} ( X , A ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})} X ∗ P = P X − 1 {\displaystyle X_{*}\mathbb {P} =\mathbb {P} X^{-1}}

その他の種類の分布

図8:ラビノビッチ・ファブリカント方程式の一つの解。サポートの特定の場所（つまり赤い部分集合）で状態が観測される確率はどれくらいでしょうか？

またはに支えられた絶対連続分布および離散分布は、無数の現象をモデル化するのに非常に有用である。[5] [6]なぜなら、実用的な分布のほとんどは、超立方体や球体などの比較的単純な部分集合に支えられているからである。しかし、これは常に当てはまるとは限らず、ある空間内の複雑な曲線などに支えられた現象も存在する。このような場合、確率分布はそのような曲線の像に支えられ、閉じた式を見つけるのではなく、経験的に決定される可能性が高い。[26] R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} N k {\displaystyle \mathbb {N} ^{k}} γ : [ a , b ] → R n {\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

右図はその一例であり、プラズマ中のラングミュア波の挙動をモデル化するために用いられる微分方程式系（一般にラビノビッチ・ファブリカント方程式として知られる）の発展を示している。[27]この現象を研究する場合、観測される状態は赤で示されている。したがって、赤い部分集合の特定の位置にある状態を観測する確率はどれくらいか、という問いが成り立つ。そのような確率が存在する場合、それは系の確率測度と呼ばれる。[28] [26]

この種の複雑なサポートは、力学系でかなり頻繁に出現する。システムが確率測度を持つことを証明するのは簡単ではなく、主な問題は以下のとおりである。 を時間の瞬間とサポートのサブセットとすると、システムの確率測度が存在する場合、セット内の観測状態の頻度は間隔が等しく、 になると予想されるが、これは起こらない可能性がある。たとえば、が収束しないときの極限である正弦波 に似た振動が起こり得る。正式には、システムが無限未来にわたって観測されたときに相対頻度の極限が収束する場合にのみ、測度は存在する。[29]確率測度の存在を研究する力学系の分野はエルゴード理論である。 t 1 ≪ t 2 ≪ t 3 {\displaystyle t_{1}\ll t_{2}\ll t_{3}} O {\displaystyle O} O {\displaystyle O} [ t 1 , t 2 ] {\displaystyle [t_{1},t_{2}]} [ t 2 , t 3 ] {\displaystyle [t_{2},t_{3}]} sin ⁡ ( t ) {\displaystyle \sin(t)} t → ∞ {\displaystyle t\rightarrow \infty }

これらの場合でも、確率分布が存在する場合、サポートが非可算か可算かに応じて、それぞれ「絶対連続」または「離散」と呼ばれる可能性があることに注意してください。

乱数生成

ほとんどのアルゴリズムは、半開区間[0, 1)に均一に分布する数値を生成する疑似乱数生成器に基づいています。これらの乱数は、何らかのアルゴリズムによって変換され、必要な確率分布を持つ新しい乱数が生成されます。この均一な疑似乱数源を用いることで、あらゆる乱数変数の実現を生成できます。[30] X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}

例えば、Uが0と1の間の均一分布に従うと仮定する。0 < p < 1のランダムベルヌーイ変数を構築するには、 次のように 定義する 。したがって、ランダム変数Xはパラメータpを持つベルヌーイ分布に従う。[30] X = { 1 if  U < p 0 if  U ≥ p . {\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{if }}U<p\\0&{\text{if }}U\geq p.\end{cases}}} P ( X = 1 ) = P ( U < p ) = p , P ( X = 0 ) = P ( U ≥ p ) = 1 − p . {\displaystyle P(X=1)=P(U<p)=p,\quad P(X=0)=P(U\geq p)=1-p.}

この手法は、任意の分布に従う実数値確率変数を生成するために適用できます。 を任意の累積分布関数Fとし、F inv をの一般化左逆関数（この文脈では分位関数または逆分布関数とも呼ばれます）とします。 すると、p ≤ F ( x )の場合に限り、 F inv ( p ) ≤ x が成立します。結果として、U が[0, 1]に一様分布する場合、 X = F inv ( U )の累積分布関数はFとなります。 F , {\displaystyle F,} F i n v ( p ) = inf { x ∈ R : p ≤ F ( x ) } . {\displaystyle F^{\mathrm {inv} }(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.}

例えば、指数分布に従う確率変数を生成したいとします。つまり、累積分布関数が で 、Uが[0, 1)で一様分布に従う場合、指数分布はパラメータ[30]に従います。 λ {\displaystyle \lambda } F : x ↦ 1 − e − λ x . {\displaystyle F:x\mapsto 1-e^{-\lambda x}.} F ( x ) = u ⇔ 1 − e − λ x = u ⇔ e − λ x = 1 − u ⇔ − λ x = ln ⁡ ( 1 − u ) ⇔ x = − 1 λ ln ⁡ ( 1 − u ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=u&\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda x}=u\\[2pt]&\Leftrightarrow e^{-\lambda x}=1-u\\[2pt]&\Leftrightarrow -\lambda x=\ln(1-u)\\[2pt]&\Leftrightarrow x={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-u)\end{aligned}}} F i n v ( u ) = − 1 λ ln ⁡ ( 1 − u ) {\displaystyle F^{\mathrm {inv} }(u)=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-u)} X = − 1 λ ln ⁡ ( 1 − U ) {\displaystyle X=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-U)} λ . {\displaystyle \lambda .}

理論的にはこの方法は常に有効ですが、実際には逆分布関数が未知であったり、効率的に計算できなかったりする場合があります。このような場合には、モンテカルロ法などの他の手法が使用されます。

一般的な確率分布とその応用

確率分布の概念と、それが記述する確率変数は、数学的分野である確率論と統計学の基盤となっています。母集団において測定可能なほぼあらゆる値（例えば、人の身長、金属の耐久性、売上高の伸び、交通量など）には、ばらつきや変動が存在します。ほぼすべての測定は、何らかの固有の誤差を伴って行われます。物理学では、気体の運動特性から基本粒子の量子力学的記述に至るまで、多くのプロセスが確率的に記述されます。これらの理由やその他の多くの理由から、単純な数値は量を記述するのに不十分な場合が多く、確率分布の方がより適切な場合が多いのです。

以下は、最も一般的な確率分布のいくつかを、関連するプロセスの種類ごとにまとめたリストです。より詳細なリストについては、検討対象となる結果の性質（離散、絶対連続、多変量など）ごとにまとめた 確率分布のリストをご覧ください。

以下の単変量分布はすべて単峰性分布です。つまり、値は単一の点に集まると仮定されます。実際には、観測される量は複数の値に集まる場合があります。このような量は混合分布を用いてモデル化できます。

線形成長（例：エラー、オフセット）

  • 正規分布（ガウス分布）は、単一の量に対して最も一般的に使用される絶対連続分布である。

指数関数的成長（例：価格、所得、人口）

一様分布する量

ベルヌーイ試行（与えられた確率でのはい/いいえイベント）

カテゴリカルアウトカム（K（可能な結果）

ポアソン過程（与えられた速度で独立して発生するイベント）

  • ポアソン分布、与えられた期間におけるポアソン型イベントの発生回数
  • 次のポアソン型イベントが発生するまでの時間に対する指数分布
  • ガンマ分布、次のk個のポアソン型イベントが発生するまでの時間

正規分布する成分を持つベクトルの絶対値

  • レイリー分布は、ガウス分布の直交成分を持つベクトル振幅の分布です。レイリー分布は、ガウスの実数成分と虚数成分を持つRF信号に見られます。
  • ライス分布は、定常的な背景信号成分が存在する場合のレイリー分布の一般化です。マルチパス伝播による無線信号のライスフェージングや、非ゼロNMR信号にノイズが混入したMR画像に見られます。

正規分布の量を平方和で演算する

ベイズ推論における共役事前分布として

確率分布のいくつかの特殊な応用

  • 自然言語処理で特定の単語や単語シーケンスの出現確率を割り当てるために使用されるキャッシュ言語モデルやその他の統計言語モデルは、確率分布を使用してこれを行います。
  • 量子力学において、粒子が特定の点に存在する確率密度は、その点における粒子の波動関数の大きさの2乗に比例する（ボルン則参照）。したがって、粒子の位置の確率分布関数は、1次元において粒子の位置xが区間a ≤ x ≤ b内にある確率、そして3次元において同様の三重積分で記述される。これは量子力学の重要な原理である。[32] P a ≤ x ≤ b ( t ) = ∫ a b d x | Ψ ( x , t ) | 2 {\textstyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}dx\,|\Psi (x,t)|^{2}}
  • 電力潮流研究における確率的負荷潮流は、入力変数の不確実性を確率分布として説明し、確率分布の観点から電力潮流計算も提供する。[33]
  • 熱帯低気圧、雹、事象間の時間などの過去の頻度分布に基づいた自然現象の発生予測。[34]

フィッティング

確率分布フィッティング、または単に分布フィッティングとは、変動する現象の繰り返し測定に関する一連のデータに確率分布を当てはめることです。分布フィッティングの目的は、ある間隔における現象の規模の発生 確率、または発生頻度を予測することです

確率分布には多くの種類があり（確率分布一覧を参照）、現象や分布の特性に応じて、観測されたデータの頻度に他の分布よりもよく適合するものとそうでないものに分類されます。適合度の高い分布は、良好な予測につながると考えられています。したがって、分布の適合においては、データに適した分布を選択する必要があります。

参照

リスト

参考文献

引用

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出典

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  • 確率測度、関数、分布の区別、Math Stack Exchange
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