階層化された空間

位相空間の種類

数学、特に位相幾何学において、成層空間とは、成層、つまりある意味で良好な（例えば、滑らかまたは平坦^[1] ）部分空間への分解を許容または備えた位相空間である。

基本的な例としては、ホイットニー成層化を許容する滑らかな多様体の部分集合が挙げられます。しかし、トム・マザー成層化空間のような抽象的な成層空間も存在します。

層化された空間では、構成可能な層は各層で局所的に定数である層として定義できます。

いくつかの理想の中で、グロタンディークの「Esquisse d'un programme」は、彼が「 tame topology」と呼ぶ層状空間を考察（または提案）します。

マザーの意味での階層化された空間

マザーは層化空間を次のように定義しています。位相空間X上の前層化とは、 Xを部分集合 (層と呼ばれる) に分割したもので、 (a) 各層は局所的に閉じており、(b) 局所的に有限であり、(c) (境界公理) 2 つの層A、BにおいてAの閉包がBと交差する場合、BはAの閉包内にあります。X上の層化とは、 X内の点xに、次の公理を満たすXの閉部分集合のxにおける集合芽を割り当てる規則です。X内の各点xに対して、 xの近傍Uと、 U内の各yに対して、がyを含むU上の前層化の層のyにおける集合芽となるようなUの前層化が存在します。^[^要出典^] $S_{x}$ $S_{x}$

成層空間とは成層構造を備えた位相空間である。^[要出典]

擬似多様体

マクファーソンの層状擬多様体において、層とは、濾過における集合間の差X _i+i -X _iである。また、局所円錐条件も存在する。局所的には、各小開集合が2つの因子R ⁿ × c(L)の積、すなわちユークリッド因子と空間Lの位相円錐の積のように見える、ほぼ滑らかなアトラスが存在する。古典的には、ここで定義が曖昧になる。なぜなら、Lは層状擬多様体であることが求められるからである。この論理的問題は、 LとXを異なる対象とする帰納的トリックによって回避される。^[要出典]

マクファーソンの元の文脈では、チャートやコサイクルの変化には条件がない。フラウムはそれらが滑らかであることを要求するが、トム＝マザーの文脈では、それらは上記の分解を維持し、ユークリッド因子において滑らかであり、円錐半径を維持する必要がある。^[要出典]

参照

脚注

^ 平坦化成層

参考文献

R.マクファーソン著「交差ホモロジーと倒錯層」（1990年）の付録1の注釈
J. Mather、「層別とマッピング、動的システム」、1971 年 7 月 26 日～8 月 14 日にブラジルのサルバドールにあるバイーア大学で開催されたシンポジウムの議事録、1973 年、195 ～ 232 ページ。
Markus J. Pflaum、「層状空間の解析的および幾何学的研究：解析的および幾何学的側面への貢献」（数学講義ノート、1768年）、出版社、Springer。

さらに読む

https://ncatlab.org/nlab/show/stratified+space
https://mathoverflow.net/questions/258562/正しい層状空間の定義と構築可能な層状構造の参照
グレッグ・フリードマン著「特異交差ホモロジー」第2章
https://ncatlab.org/nlab/show/poset-stratified+space

[1] 平坦化成層