文字列トポロジー

弦位相幾何学は数学の一分野であり、自由ループ空間のホモロジー上の代数構造を研究する分野です。この分野は、モイラ・チャスとデニス・サリバン（1999年）によって開拓されました 。

モチベーション

空間の特異コホモロジーは常に積構造を持つが、これは空間の特異ホモロジーには当てはまらない。しかしながら、次元の有向多様体 に対してはそのような構造を構築することが可能である。これはいわゆる交差積である。直感的には、次のように記述できる。類 と が与えられたとき、それらの積をとり、それを対角線 に対して横断的にする。すると、交差は の類となり、と の交差積となる。この構築を厳密にする一つの方法は、層状体を用いることである。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x\in H_{p}(M)}$ ${\displaystyle y\in H_{q}(M)}$ ${\displaystyle x\times y\in H_{p+q}(M\times M)}$ ${\displaystyle M\hookrightarrow M\times M}$ ${\displaystyle H_{p+q-d}(M)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

空間のホモロジーが積を持つもう一つの例は、空間の（基底付き）ループ空間 である。ここでは、空間自体が積を持つ。 ${\displaystyle \Omega X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle m\colon \Omega X\times \Omega X\to \Omega X}$

最初に最初のループを通過し、次に2番目のループを通過することによって得られる。2つのループは共通点を持つ必要がないため、からへのすべての写像の自由ループ空間には類似の積構造は存在しない。写像の代わりとなるのは、写像である。 ${\displaystyle LX}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \gamma \colon {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\to LM}$

ここでは の部分空間であり、2 つのループの値は 0 で一致し、ループを合成することで再び定義されます。 ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$ ${\displaystyle LM\times LM}$ ${\displaystyle \gamma }$

チャス・サリバン積

Chas-Sullivan積の考え方は、上記の積構造を組み合わせることです。2つのクラスとを考えます。それらの積はにあります。写像が必要です。 ${\displaystyle x\in H_{p}(LM)}$ ${\displaystyle y\in H_{q}(LM)}$ ${\displaystyle x\times y}$ ${\displaystyle H_{p+q}(LM\times LM)}$

${\displaystyle i^{!}\colon H_{p+q}(LM\times LM)\to H_{p+q-d}({\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)).}$

これを構築する一つの方法は、層状体（あるいはホモロジーの別の幾何学的定義）を用いて横断交差を行うことである（ をヒルベルト多様体の包含として解釈した後）。もう一つのアプローチは、 からの法線束のトム空間への崩壊写像から始める。ホモロジーにおける誘導写像をトム同型と合成することで、目的の写像が得られる。 ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)\subset LM\times LM}$ ${\displaystyle LM\times LM}$ ${\displaystyle {\rm {Map}}(S^{1}\lor S^{1},M)}$

ここで、の誘導写像と を合成して のクラス、 の Chas–Sullivan 積、および を得ることができます(Cohen & Jones (2002) を参照)。 ${\displaystyle i^{!}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H_{p+q-d}(LM)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

備考

• 交差積の場合と同様に、Chas–Sullivan 積に関しても様々な符号規約があり、ある規約では次数可換とみなされますが、別の規約ではそうではありません。
• が に関して向いている場合、別の乗法ホモロジー理論に置き換えても同じ構成が機能します。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h}$
• さらに、を で置き換えることができます。上記の構成を簡単に変形すると、 が次元の多様体である場合にが上の加群となることがわかります。${\displaystyle LM}$ ${\displaystyle L^{n}M={\rm {Map}}(S^{n},M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}({\rm {Map}}(N,M))}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}h_{*}L^{n}M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$
• セールスペクトル列は、ファイバーを含むファイバー束 とファイバー束のファイバー束の両方の上記の代数構造と互換性があり、これは計算にとって重要です（Cohen、Jones、Yan（2004）およびMeier（2010）を参照）。${\displaystyle {\rm {ev}}\colon LM\to M}$ ${\displaystyle \Omega M}$ ${\displaystyle LE\to LB}$ ${\displaystyle E\to B}$ harvtxt error: no target: CITEREFMeier2010 (help)

バタリン・ビルコヴィスキー構造

回転による作用があり、それが地図を誘導する ${\displaystyle S^{1}\times LM\to LM}$

${\displaystyle H_{*}(S^{1})\otimes H_{*}(LM)\to H_{*}(LM)}$ 。

基本クラスを代入すると、演算子が得られる。 ${\displaystyle [S^{1}]\in H_{1}(S^{1})}$

${\displaystyle \Delta \colon H_{*}(LM)\to H_{*+1}(LM)}$

1次である。この演算子は、Chas-Sullivan積とうまく相互作用し、両者が上のBatalin-Vilkovisky 代数の構造を形成することを示すことができる。この演算子は一般に計算が難しい傾向がある。Batalin-Vilkovisky 代数の定義恒等式は、原著論文で「図によって」確認されている。より直接的ではないが、おそらくより概念的な方法は、自由ループ空間 へのカクタスオペラドの作用を用いることである。^{[1]カクタスオペラドは、フレーム付き}小円盤オペラドと弱同値であり^[2]、位相空間へのその作用は、ホモロジー上の Batalin-Vilkovisky 構造を意味する。^[3]${\displaystyle {\mathcal {}}H_{*}(LM)}$ ${\displaystyle LM}$

場の理論

ズボン

弦の位相幾何学を用いて（位相的）場の理論を構築する試みはいくつかある。基本的な考え方は、向き付けられた多様体を固定し、すべての面に対して、入射境界成分と出射境界成分（）を作用素として 関連付けることである。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{*}(LM)^{\otimes p}\to H_{*}(LM)^{\otimes q}}$

これは位相場理論の通常の公理を満たす。Chas-Sullivan積はズボンのペアに関連付けられている。これらの演算は、曲面の種数が0より大きい場合、0であることが示される（Tamanoi (2010)）。

参考文献

1. ヴォロノフ、アレクサンダー (2005). 「普遍代数に関するノート」.数学と理論物理学におけるグラフとパターン (M. リュビッチとL. タクタジャン編) . プロビデンス、ロードアイランド: アメリカ数学協会 pp.  81– 103.
2. コーエン, ラルフ・L.; ヘス, キャサリン; ヴォロノフ, アレクサンダー・A. (2006). 「サボテンオペラド」. 弦トポロジーと巡回ホモロジー. バーゼル: ビルクハウザー. ISBN 978-3-7643-7388-7。
3. Getzler, Ezra (1994). 「Batalin-Vilkovisky代数と2次元位相場理論」. Comm. Math. Phys . 159 (2): 265– 285. arXiv : hep-th/9212043 . Bibcode :1994CMaPh.159..265G. doi :10.1007/BF02102639. S2CID  14823949.

出典

• Chas, Moira; Sullivan, Dennis (1999). 「ストリングトポロジー」. arXiv : math/9911159v1 .
• コーエン, ラルフ L. ; ジョーンズ, ジョン DS (2002). 「弦トポロジーのホモトピー理論的実現」. Mathematische Annalen . 324 (4): 773– 798. arXiv : math/0107187 . doi :10.1007/s00208-002-0362-0. MR  1942249. S2CID  16916132.
• コーエン, ラルフ・ルイス; ジョーンズ, ジョン・DS; ヤン, ジュン (2004). 「球面と射影空間のループホモロジー代数」. アローネ, グレゴリー; ハバック, ジョン; リーヴィ, ラン;ワイス, マイケル(編).代数的位相幾何学における圏論的分解技法: 代数的位相幾何学国際会議, スコットランド, スカイ島, 2001年6月.ビルクハウザー. pp.  77– 92.
• マイヤー、レナート (2011). 「弦トポロジーにおけるスペクトル列」.代数的・幾何学的トポロジー. 11 (5): 2829– 2860. arXiv : 1001.4906 . doi :10.2140/agt.2011.11.2829. MR  2846913. S2CID  58893087.
• 玉野井 宏隆 (2010). 「弦トポロジーにおけるループ余積と高種数TQFT演算の自明性」. Journal of Pure and Applied Algebra . 214 (5): 605– 615. arXiv : 0706.1276 . doi :10.1016/j.jpaa.2009.07.011. MR  2577666. S2CID  2147096.