超コンパクトな枢機卿

集合論において、超コンパクト基数はソロヴェイとラインハルトによって独立に導入された大規模基数の一種である。^[1] これらは様々な反射特性を示す。

正式な定義

が任意の順序数である場合、が-超コンパクトであることは、 宇宙から臨界点を持つ推移的内部モデルへの基本埋め込みが存在することを意味し、${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j(\kappa )>\lambda }$

${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M\,.}$

つまり、 はそのすべての-シーケンスを含みます。したがって、 が超コンパクトであるということは、すべての順序数 に対して -超コンパクトであることを意味します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \lambda}$

あるいは、任意の に対して、上の正規測度が次の意味で 存在するとき、無数基数は超コンパクトです。${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \vert A\vert \geq \kappa }$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$

${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ は次のように定義されます。

${\displaystyle [A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}}$ 。

上の超フィルタが 良好であるとは、任意の に対して -完全かつ であることを意味します。 上の正規測度は、となるような任意の関数が内の集合上で定数であるという追加の特性を持つ、上の良好な超フィルタです。ここで「 内の集合上で定数」とは、 となるような関数が存在することを意味します。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ ${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\to A}$ ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U}$

プロパティ

超コンパクト基数は反射特性を持つ。ある特性を持つ基数（例えば3次元巨大基数）が、限定ランクの構造によって証明され、超コンパクト基数 の上に存在する場合、同じ特性を持つ基数は の下に存在する。例えば、が超コンパクトで、一般化連続体仮説（GCH）が の下で成り立つ場合、GCHはどこでも成り立つ。なぜなら、 の冪集合と少なくとも の基数との間の一対一表現は、 における GCH の失敗の限定ランクの証明となるため、の下においても存在しなければならないからである。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu ^{++}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

超コンパクト基数の標準的な内部モデルを見つけることは、内部モデル理論の主要な問題の 1 つです。

最小超コンパクト基数は、基数がドメインであるすべての構造に対して、およびが成り立つすべての文に対して、より小さいドメイン（すなわち、）を持つサブ構造が存在し、が成り立つような最小の基数である。^[2]${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})}$ ${\displaystyle \vert M\vert \geq \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi }$ ${\displaystyle (M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)}$ ${\displaystyle \vert M'\vert <\vert M\vert }$ ${\displaystyle \phi }$

超コンパクト性は、表現不可能であるという性質に類似した組み合わせ論的特徴を持つ。 を、その基数 を持つすべての空でない部分集合の集合とする。基数が超コンパクトであるためには、任意の集合（すべての基数 と同義）および任意の関数 に対して、すべてのに対して、 が定常であるようなものが存在することが必要である（\(P_\kappa(A)\) において）。^[3]${\displaystyle P_{\kappa }(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f:P_{\kappa }(A)\to P_{\kappa }(A)}$ ${\displaystyle f(X)\subseteq X}$ ${\displaystyle X\in P_{\kappa }(A)}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \{X\mid f(X)=B\cap X\}}$

マギドールは、アクセス不可能な基数が超コンパクトである場合に限り、その基数が成立する木の性質の変種を得た。 ^[4]

参照

• 不滅性
• 強くコンパクトな基数
• 大きな基数特性のリスト

参考文献

• ドレイク, FR (1974).集合論：大きな基数への入門 (論理学と数学の基礎研究; V. 76) . エルゼビア・サイエンス社. ISBN 0-444-10535-2。
• ジェック、トーマス(2002).集合論 第三千年紀版（改訂・増補版） . シュプリンガー. ISBN 3-540-44085-2。
• 金森章弘（2003）．The Higher Infinite : 集合論における大規模基数をその始まりから(第 2 版)。スプリンガー。ISBN 3-540-00384-3。

引用

1. A. Kanamori, "Kunenと集合論", pp.2450--2451. 位相幾何学とその応用, vol. 158 (2011).
2. Magidor, M. (1971). 「論理における超コンパクト基数と拡張可能基数の役割について」.イスラエル数学ジャーナル. 10 (2): 147– 157. doi :10.1007/BF02771565.
3. M. Magidor, 超コンパクト基数の組み合わせ的特徴づけ, pp.281--282. アメリカ数学会報, 第42巻第1号, 1974年.
4. S. Hachtman, S. Sinapova, 「特異点の次数におけるスーパーツリー特性」. Israel Journal of Mathematics, vol 236, iss. 1 (2020), pp.473--500.