手術の正確な手順

数学的 外科理論において、外科的完全列は、次元のコンパクト多様体の外科的構造集合を計算するための主要な技術的ツールである。コンパクト- 次元多様体の外科的構造集合は、 - 次元多様体を のホモトピー型に分類する尖端集合である。 ${\displaystyle >4}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

基本的な考え方は、計算するためにはシーケンス内の他の項を理解していれば十分であり、それらは通常より容易に決定できるということです。一方では、一般化されたコホモロジー群を形成する通常の不変量であり、したがって、少なくとも原理的には代数位相幾何学の標準的なツールを使用して計算できます。他方では、二次形式または二次構造を持つ連鎖複体で代数的に定義されるL 群があります。これらの群については多くのことが分かっています。シーケンスの別の部分は、通常の不変量から L 群への手術障害写像です。これらの写像には、場合によっては計算を可能にする特定の特性クラスの式があります。これら 3 つのコンポーネント、つまり通常の写像、L 群、手術障害写像の知識があれば、構造セットを決定できます (少なくとも拡張問題まで)。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$

実際には、個々のケースごとに対応する必要があります。それぞれの多様体について、手術の正確な順序を決定するのは固有の作業です。以下の例を参照してください。また、扱う多様体のカテゴリ（滑らかな多様体（DIFF）、PL多様体、位相多様体）と、ホワイトヘッド捩れを考慮するかどうか（装飾または）に応じて、手術の正確な順序のバージョンが存在することに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {}}X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$

1962年にブラウダーとノビコフが単連結ホモトピー型内の多様体の存在と一意性について行った最初の研究は、 1966年にサリバンによって手術完全列として再定式化されました。1970年にウォールは、非単連結手術理論と、任意の基本群を持つ多様体に対する手術完全列を開発しました。

意味

手術の正確な手順は次のように定義されます

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$

どこ：

要素と要素は正規不変量のアーベル群であり、 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

要素と は群環に関連付けられたL群であり、 ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$

マップと手術の障害マップは、 ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$

矢印については以下で説明します。 ${\displaystyle \partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle \eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)}$

バージョン

手術の厳密な順序には様々なバージョンがあります。微分可能（滑らか）、PL、位相的という3つの多様体のカテゴリーのいずれかで作業できます。また、装飾やを用いて作業することも可能です。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$

エントリー

正規不変量

次数1の正規写像は、次元有向閉多様体、次数1の写像（つまり ）、およびの安定接バンドルから上のあるバンドルへのバンドル写像から構成される。このような2つの写像は、それらの間に正規ボルディズム（適切なバンドルデータで覆われたソースのボルディズム）が存在する場合、同値である。次数1の正規写像の同値類は、正規不変量と呼ばれる。 ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}([M])=[X]}$ ${\displaystyle b\colon TM\oplus \varepsilon ^{k}\to \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X}$

このように定義すると、通常の不変量は単に尖点集合となり、その基点は で与えられる。しかし、ポントリャギン・トム構成はアーベル群の構造を与える。実際、非自然的な一対一関係が成り立つ。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle (id,id)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]}$

ここで は写像 のホモトピーファイバーを表し、これは無限ループ空間であるため、これに写像することで一般化コホモロジー理論が定義される。PL多様体を扱う場合は と、位相多様体を扱う場合は と、それぞれ対応する正規不変量の同一視が存在する。 ${\displaystyle G/O}$ ${\displaystyle J\colon BO\to BG}$ ${\displaystyle [X,G/PL]}$ ${\displaystyle [X,G/TOP]}$

Lグループ

-群は、二次形式、または二次構造を持つ鎖複体を用いて代数的に定義されます。詳細は本文を参照してください。ここでは、以下に説明するL群の性質のみが重要になります。 ${\displaystyle L}$

手術閉塞マップ

この写像は、まず第一に集合論的な写像（準同型とは限らない）であり、次の性質を持つ（ の場合： ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

次数 1 の正規写像がホモトピー同値と一致するのは、 の画像が次の場合のみです。 ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle \theta (f,b)=0}$ ${\displaystyle L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

通常の不変量の矢印${\displaystyle \eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)}$

任意のホモトピー同値は、次数 1 の正規マップを定義します。 ${\displaystyle f\colon M\to X}$

手術妨害矢印${\displaystyle \partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)}$

この矢印は、単なる写像ではなく、群の集合への作用を記述するものである。この定義は、-群の元に対する実現定理に基づいており、以下のように示される。 ${\displaystyle L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle L}$

を次元多様体とし、 とする。すると、境界を持つ多様体の次数1の正規写像が存在する。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$

${\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (M\times I,M\times 0,M\times 1)}$

次のプロパティを持ちます。

1.${\displaystyle \theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$

2.は微分同相写像である ${\displaystyle F_{0}\colon M\to M\times 0}$

3.閉多様体のホモトピー同値である ${\displaystyle F_{1}\colon M'\to M\times 1}$

を の要素 とします。 をとします。すると はと定義されます。 ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \partial (f,x)}$ ${\displaystyle f\circ F_{1}\colon M'\to X}$

正確さ

手術構造集合は単なる尖端集合であり、手術閉塞写像は準同型ではない可能性があることを思い出してください。したがって、「正確な列」とはどういう意味かを説明する必要があります。つまり、手術正確な列は、以下の意味で正確な列です。 ${\displaystyle \theta }$

通常の不変量の場合、が成り立つのは、 が存在する場合かつその場合に限ります。2つの多様体構造の場合、 が成り立つのは、 が存在する場合かつその場合に限ります。元の場合、が成り立つのは、 が存在する場合かつその場合に限ります。 ${\displaystyle z\in {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle z\in \mathrm {Im} (\eta )}$ ${\displaystyle \theta (z)=0}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle \eta (x_{1})=\eta (x_{2})}$ ${\displaystyle u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \partial (u,x_{1})=x_{2}}$ ${\displaystyle u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id} }$ ${\displaystyle u\in \mathrm {Im} (\theta )}$

再訪したバージョン

位相的カテゴリにおいて、手術障害写像は準同型写像にすることができる。これは、ここで述べたように、正規不変量に代替アーベル群構造を置くことによって実現される。さらに、手術完全列は、定義によりアーベル群の完全列であるラニツキの代数的手術完全列と同一視することができる。これにより、構造集合はアーベル群の構造となる。ただし、このアーベル群構造の満足のいく幾何学的記述は、今日まで存在しないことに注意されたい。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$

多様体の分類

手術理論の体系的な問いに対する答えは、手術の正確な順序という観点から定式化することができます。どちらの場合も、答えは二段階閉塞理論の形で与えられます。

存在問題。 を有限ポアンカレ複体とする。これが多様体とホモトピー同値となるのは、以下の2つの条件が満たされる場合のみである。第一に、 はそのスピヴァック正規ファイブレーションのベクトル束縮約を持つ必要がある。この条件は、正規不変量の集合が空でないと述べることでも定式化できる。第二に、となる正規不変量が存在する必要がある。同様に、手術妨害写像は に当たる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle \theta (x)=0}$ ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\rightarrow L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle 0\in L_{n}(\pi _{1}(X))}$

一意性の問題。 とが手術構造集合の2つの要素を表すとします。これらが同じ要素を表すかどうかという問題は、以下の2段階で答えることができます。まず、とによって誘導される次数1の正規写像の間には正規コボルディズムが存在しなければなりません。これはにおいてを意味します。正規コボルディズム を と表記します。この正規コボルディズムを境界 を基準としたh-コボルディズム（またはs-コボルディズム）にするためのにおける手術の障害が で消滅する場合、 と は実際には手術構造集合の同じ要素を表します。 ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle f'\colon M'\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f'}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}\eta (f)=\eta (f')}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}\theta (F,B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f'}$

クインの手術による線維化

フランク・クインはブラウダーの指導の下で執筆した論文の中で、ファイバーシーケンスを導入し、手術長完全シーケンスがホモトピー群上の誘導シーケンスになるようにした。^[1]

例

1.ホモトピー球面

これはスムーズ カテゴリの例です。 ${\displaystyle n\geq 5}$

手術的完全列の考え方は、ホモトピー球面群に関するケルヴェアとミルナーの原著論文に既に暗黙的に存在していた。現在の用語法では、

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})=\Theta ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n})=\Omega _{n}^{alm}}$ ほぼ枠で囲まれた多様体のコボルディズム群、${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)=\Omega _{n+1}^{alm}}$

${\displaystyle L_{n}(1)=\mathbb {Z} ,0,\mathbb {Z} _{2},0}$ ここでmod （L群の -周期性を思い出してください） ${\displaystyle n\equiv 0,1,2,3}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4}$

この場合の手術完全列はアーベル群の完全列である。上記の同一視に加えて、

${\displaystyle bP^{n+1}=\mathrm {ker} (\eta \colon {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})\to {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n}))=\mathrm {coker} (\theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)\to L_{n+1}(1))}$

奇数次元の L 群は自明なので、次のような正確なシーケンスが得られます。

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i}\to \Omega _{4i}^{alm}\to \mathbb {Z} \to bP^{4i}\to 0}$

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i-2}\to \Omega _{4i-2}^{alm}\to \mathbb {Z} /2\to bP^{4i-2}\to 0}$

${\displaystyle 0\to bP^{2j}\to \Theta ^{2j-1}\to \Omega _{2j-1}^{alm}\to 0}$

Kervaire と Milnor の結果は、最初の 2 つのシーケンスの中間のマップを研究し、グループを安定ホモトピー理論に関連付けることによって得られます。 ${\displaystyle \Omega _{i}^{alm}}$

2. 位相球面

一般化されたポアンカレ予想は次元と表現できる。これはスメール、フリードマン、ペレルマンの研究によって任意の に対して証明されている。位相圏における に対する の手術完全列から、次のことがわかる 。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}^{TOP}(S^{n})\to L_{n}(1)}$

は同型である。（実際、これはいくつかのアドホックな方法で拡張できる。） ${\displaystyle n\geq 1}$

3. 複雑射影空間位相的カテゴリーにおいて

複素射影空間は次元位相多様体であり、 となる。さらに、位相圏の場合、手術障害写像は常に射影的であることが知られている。したがって、 ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ ${\displaystyle (2n)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} P^{n})=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)=1}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {S}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to {\mathcal {N}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to L_{2n}(1)\to 0}$

サリバンの研究から計算できる

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor (n+1)/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$ そしてそれゆえ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$

4.非球面位相的カテゴリーにおける多様体

非球面次元多様体とは、に対してとなるような -多様体である。したがって、唯一の非自明なホモトピー群は${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

ボレル予想を述べる一つの方法は、ホワイトヘッド群が自明で あり、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Wh(\pi _{1}(X))}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)=0}$

この予想は、多くの特殊なケース、例えば のとき、それが負に曲がった多様体の基本群であるとき、それが語双曲群または CAT(0) 群であるときなど、で証明されました。 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

この命題は、手術構造集合の右側の手術障害写像が単射であり、手術構造集合の左側の手術障害写像が射影であることを示すことと同値です。上記の結果の証明のほとんどは、これらの写像、またはそれらと同一視できるアセンブリ写像を研究することによって行われます。詳細は、ボレル予想、ファレル＝ジョーンズ予想を参照してください。

参考文献

1. クイン、フランク (1971)、「手術の幾何学的定式化」(PDF)、多様体の位相学、ジョージア大学紀要 1969、500-511 (1971)

• ブラウダー、ウィリアム（1972）、単純連結多様体上の手術、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、MR  0358813
• リュック、ヴォルフガング（2002）、外科手術理論の基礎入門（PDF）、ICTP講義ノートシリーズ9、バンド1、トリエステの「高次元多様体理論」学校、2001年5月/6月、アブドゥス・サラム国際理論物理学センター、トリエステ1-224
• ラニッキ、アンドリュー（1992）「代数的L理論と位相多様体」（PDF）、ケンブリッジ数学論集、第102巻、ケンブリッジ大学出版局
• ラニッキ、アンドリュー（2002）、代数および幾何学手術（PDF）、オックスフォード数学モノグラフ、クラレンドンプレス、ISBN 978-0-19-850924-0、MR  2061749
• Wall, CTC (1999), Surgery on compact manifolds , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6、MR  1687388