手術による閉塞

数学、特に手術理論では、手術障害によって通常の不変量からL 群への写像が定義されます。これは、まず第一に、次の特性を持つ集合論的な写像 (必ずしも準同型を意味するわけではありません) です。 ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

次数 1 の法線マップがホモトピー同値と一致するのは、 の画像が次の場合のみです。 ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle \theta (f,b)=0}$ ${\displaystyle L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

定義の概要

1 次法線マップの手術妨害の定義は比較的複雑です。

次数 1 の正規写像 を考えてみましょう。これが通常ホモトピー同値であるかどうかという問題を決める考え方は、 が高い に対して写像が-接続 (つまり、のホモトピー群)になるように体系的に改善しようとすることです。ポアンカレ双対性の帰結として、 に対してこれを実現できれば、写像はすでにホモトピー同値です。上記の「体系的に」という言葉は、の要素を削除するために に対して手術を行うという事実を指しています。実際、写像がどの程度接続されているかを観察するには、普遍被覆のホモロジーを使用する方が便利です。より正確には、 -加群と見なす手術核を扱います。これらがすべて消えれば、写像はホモトピー同値です。および上のポアンカレ双対性の帰結として、-加群のポアンカレ双対性が存在するため、その半分、つまり に対して のものだけを観察しればよいことになります。 ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle (f,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi _{*}(f)=0}$ ${\displaystyle *\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m>\lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{i}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{i}({\tilde {M}})\rightarrow H_{i}({\tilde {X}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle K^{ni}({\チルダ {M}})\cong K_{i}({\チルダ {M}})}$ ${\displaystyle i\leq \lfloor n/2\rfloor }$

任意の次数1の法線マップは、中間次元より下において「手術」と呼ばれる処理によって -連結にすることができます。これは、ここで説明する となる場合のの要素を削除する処理です。この処理が完了すると、2つのケースが考えられます。 ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle i<\lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle p+q=n}$ ${\displaystyle i=p<\lfloor n/2\rfloor }$

1.ならば、唯一の非自明なホモロジー群は核 である。および上のカップ積ペアリングは上のカップ積ペアリングを誘導することがわかる。これは、 の場合は対称双線型形式を、 の場合は歪対称双線型形式を定義する。これらの形式は、 となる -二次形式に洗練できることがわかる。これらの-二次形式は、L群 の元を定義する。 ${\displaystyle n=2k}$ ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{k}({\tilde {M}})\rightarrow H_{k}({\tilde {X}})\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle k=2l}$ ${\displaystyle k=2l+1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =(-1)^{k}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$

2.定義がより複雑な場合、幾何学からは二次形式の代わりに二次形式、つまり二次形式の自己同型性の一種が得られる。これは奇数次元L群の元を定義する。 ${\displaystyle n=2k+1}$ ${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$

L グループ内の要素がゼロの場合、ホモトピー同値に 変更する手術を行うことができます。${\displaystyle \theta (f,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

幾何学的にこれが常に可能ではない理由は、中間次元で の要素を消去する手術を行うと、のとき、または のとき、の要素が生成される可能性があるためです。つまり、これは既に達成されたものを破壊する可能性があります。しかし、がゼロの場合、手術を調整することで、このようなことが起こらないようにすることができます。 ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle K_{k-1}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle n=2k}$ ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle n=2k+1}$ ${\displaystyle \theta (f,b)}$

例

単連結の場合、次のようになります。

障害物がなければ 。${\displaystyle n=2k+1}$

その場合、手術の妨害は、M と X の署名の差として計算できます。 ${\displaystyle n=4l}$

の場合、手術障害は 上の関連するカーネル二次形式の Arf 不変量です。 ${\displaystyle n=4l+2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

参考文献

• ブラウダー、ウィリアム（1972）、単純連結多様体上の手術、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、MR  0358813
• リュック、ヴォルフガング（2002）、外科手術理論の基礎入門（PDF）、ICTP講義ノートシリーズ9、バンド1、トリエステの「高次元多様体理論」学校、2001年5月/6月、アブドゥス・サラム国際理論物理学センター、トリエステ1-224
• ラニッキ、アンドリュー（2002）、代数と幾何学の外科手術、オックスフォード数学モノグラフ、クラレンドンプレス、ISBN 978-0-19-850924-0、MR  2061749
• Wall, CTC (1999), Surgery on compact manifolds , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2nd ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6、MR  1687388