スイング方程式

電力システムは、あらゆる動作条件下で同期して動作する多数の同期機で構成されています。通常の動作状態では、回転子軸とその結果生じる磁界軸の相対位置は固定されています。この2つの間の角度は、電力角、 トルク角、または回転子角と呼ばれます。外乱が発生すると、回転子は同期して回転する空隙の起磁力に対して減速または加速し、相対運動が生じます。この相対運動を記述する方程式はスイング方程式と呼ばれ、同期機の回転子のスイングを記述する非線形2階微分方程式です。回転子のスイング（加速と減速）によって機械回転子と電力網の間で交換される電力は、慣性応答と呼ばれます。

導出

同期発電機は原動機によって駆動されます。回転子の運動を支配する方程式は次式で与えられます：^[1] ここで： $${\displaystyle J{\frac {d^{2}{\theta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}},}$$

• ${\displaystyle J}$ ローター質量の総慣性モーメント（kg-m ^2）
• ${\displaystyle \theta _{\text{m}}}$ 固定軸に対するローターの角度位置（ラジアン（rad ））
• ${\displaystyle t}$ 時間は秒単位です
• ${\displaystyle T_{a}}$ は正味加速トルク（N -m）である。
• ${\displaystyle T_{\text{m}}}$ 原動機によって供給される機械的トルク（N -m）
• ${\displaystyle T_{\text{e}}}$ オルタネーターの電気トルク出力（N -m）

損失を無視すると、機械的トルクと電気的トルクの差が正味の加速トルクとなる。定常状態では、電気的トルクは機械的トルクと等しく、したがって加速電力はゼロである。この間、ローターはrad/s単位の同期速度で回転する。電気的トルクは機械の正味空隙電力に対応し、発電機の全出力と電機子巻線の損失を合わせた値となる。^[2]${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle \omega _{s}}$ ${\displaystyle T_{\text{e}}}$ ${\displaystyle |I|^{2}R}$

角度位置は静止した基準フレームを用いて測定されます。同期回転フレームを基準として表すと、次の式が得られます。 ここで、機械力角は同期回転フレームを基準とした角度位置です。上記の式の時間微分は次のようになります。 上記の式は、がゼロの場合にのみ、ローター角速度が同期速度と等しくなることを示しています。したがって、項はローター速度の同期からの偏差（rad/s単位）を表します。 ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \theta _{\text{m}}=\omega _{\text{sm}}t+\delta _{\text{m}},}$$ ${\displaystyle \delta _{m}}$ $${\displaystyle {\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}=\omega _{\text{sm}}+{\frac {d\delta _{\text{m}}}{dt}}.}$$ ${\displaystyle d\delta _{m}/dt}$ ${\displaystyle d\delta _{m}/dt}$

上式の2階微分をとると、次の式が得られます。 上式を回転子の運動方程式に代入すると、次の式が得られます。 両辺に回転子の 角速度（回転子の角速度）を乗じると、 次の式 が得られます。 ここで、、はそれぞれ加速電力、機械電力、電気（有効電力）で、単位はワット（W）です。直感的には、回転エネルギーの時間微分をとることでもこの式を導くことができます。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta _{\text{m}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\delta _{\text{m}}}{dt^{2}}}.}$$ $${\displaystyle J{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}.}$$ $${\displaystyle \omega _{\text{m}}={\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}},}$$ $${\displaystyle J\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{a}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}},}$$ ${\displaystyle P_{a}}$ ${\displaystyle P_{\text{m}}}$ ${\displaystyle P_{\text{e}}}$

係数は 同期速度 における回転子の角運動量である。安定性研究に提供される機械データでは、この係数はしばしば で表され、機械の慣性定数と呼ばれる。実際には、機械が定常状態にある場合、 は同期速度 とそれほど変わらない。別の慣性定数を考慮すると：^[3] ここでは機械の三相定格（MVA 単位）である。上記の式に を代入する と、機械データの 、 、 はMW 単位で与えられている ため、これらを発電機の MVA 定格で割ると、単位あたりの となる 。上記の式の両辺を で割ると、${\displaystyle J\omega _{\text{m}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{sm}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega _{\text{m}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{sm}}}$ $${\displaystyle H={\frac {{\frac {1}{2}}J\omega _{\text{sm}}^{2}}{S_{\text{rated}}}}={\frac {{\frac {1}{2}}M\omega _{\text{sm}}}{S_{\text{rated}}}}={\frac {\text{stored kinetic energy in mega joules at synchronous speed}}{\text{machine rating in MVA}}},}$$ ${\displaystyle S_{\text{rated}}}$ $${\displaystyle 2H{\frac {S_{\text{rated}}}{\omega _{\text{sm}}^{2}}}\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}=P_{a}.}$$ ${\displaystyle P_{\text{m}}}$ ${\displaystyle P_{\text{e}}}$ ${\displaystyle P_{a}}$ ${\displaystyle S_{\text{rated}}}$

${\displaystyle {\frac {2H}{\omega _{\text{s}}}}{\frac {d^{2}{\delta }}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{e}=P_{a}}$ 単位あたり

電力角と電気角速度は次のように与えられます。 ここで、は同期機の極数です。 $${\displaystyle \delta ={\frac {p}{2}}\delta _{m},\qquad \omega ={\frac {p}{2}}\omega _{m},\qquad \omega _{s}={\frac {p}{2}}\omega _{sm},}$$ ${\displaystyle p}$

上記の式はローターダイナミクスの挙動を記述するため、スイング方程式として知られています。角度 は同期発電機の内部EMFの角度であり、転送できる電力量を決定します。したがって、この角度は電力角と呼ばれます。機械の抵抗損失を無視すると、対応する電力角方程式は次のようになります。^[4] ここで、 は機械のリアクタンス、システム (つまりグリッド) 電圧です。^[5]角度はトルク角とも呼ばれ、この式から電気トルクを次のように導出できます。^[6] したがって、同期機の場合、スイング方程式は の非線形関数であり、たとえば4 次ルンゲ・クッタ アルゴリズムを使用して数値的に解くことができます。が小さい場合、方程式は のように線形化できます。^[7]${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (E)}$ $${\displaystyle P_{e}=P_{max}\sin(\delta )=3{\frac {|V||E|}{X}}\sin(\delta ),}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle T_{e}}$ $${\displaystyle T_{e}={\frac {P_{e}}{\omega _{m}}}=3{\frac {|V||E|}{\omega _{m}X}}\sin(\delta ).}$$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle P_{e}\approx P_{max}\delta }$

参照

• 電動モーター § 動作原理
• 同期インバータ

注記

1. グレインジャー＆スティーブンソン 1994年、698-702頁。
2. ウマンス 2013、263–264頁。
3. サアダット 1999、462–463頁。
4. グレインジャー＆スティーブンソン 1994年、709-712ページ。
5. Schavemaker & van der Sluis 2008、71–74 ページ。
6. Chapman 2011、第4.6章「同期発電機の電力とトルク」。
7. Guru & Hiziroçlu 2001、648–651 ページ。

参考文献

• チャップマン、スティーブン・J.（2011年）『電気機械の基礎』マグロウヒル・エデュケーション、ISBN 978-0-07-352954-7。
• グレインジャー、ジョン・J.; スティーブンソン、ウィリアム・D. (1994). 電力系統解析. マグロウヒル. ISBN 978-0-07-061293-8。
• Guru, Bhag S.; Hiziroǧlu, Hüseyin R. (2001). 『電気機械と変圧器』 ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-513890-0. OCLC  43286555.
• サアダット、ハディ（1999年）『電力システム分析』ボストン：マグロウヒル社、ISBN 0-07-012235-0。
• シェーブメーカー、P.ファン デル スルイス、L. (2008)。電力システムの必需品。チチェスター, イングランド ;ニュージャージー州ホーボーケン: ワイリー。ISBN 978-0-470-51027-8. OCLC  193911699.
• ウマンズ、スティーブン・D. (2013). 『フィッツジェラルド＆キングスリーの電気機械』 ニューヨーク：マグロウヒル・エデュケーション. ISBN 978-0-07-338046-9。