テールバリューアットリスク
Risk measure

金融数学において、テールバリューアットリスク（TVaR ）は、テール条件付き期待値（TCE）または条件付きテール期待値（CTE）とも呼ばれ、より一般的なバリューアットリスクに関連するリスク指標です。TVaRは、所定の確率水準を超える事象が発生した場合の損失の期待値を定量化します。

背景

文献には、TVaR に関して、関連しながらも微妙に異なる定式化が数多く存在します。文献でよくあるケースは、TVaR と平均リスク値を同じ尺度として定義することです。[1] いくつかの定式化では、基礎となる分布関数が で連続している場合、つまりリスク値がレベル の場合にのみ、TVaR は期待不足と等しくなります。[2]他の設定では、TVaR は特定の値を超える損失の条件付き期待値であるのに対し、期待不足はその値とその発生確率の積です。[3]前者の定義は一般に一貫したリスク尺度ではないかもしれませんが、基礎となる分布が連続している場合は一貫しています。 [4]後者の定義は一貫したリスク尺度です。[3] TVaR は、失敗の可能性だけでなく、失敗の重大性も考慮します。TVaR は、分布の裾野のみで の期待値の尺度です。 VaR α ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)} α {\displaystyle \alpha }

数学的な定義

標準的なテールバリューアットリスクは、分野によっては左テール（大きな負の値）ですが、保険数理学など他の分野では右テール（大きな正の値）です。これは通常、損失を大きな負の値として扱うか、大きな正の値として扱うかという慣習の違いによるものです。負の値の慣習を用いて、Artznerらはテールバリューアットリスクを次のように定義しています。

将来のある時点におけるポートフォリオのペイオフを表す確率変数 とパラメータが与えられた場合、リスクのあるテール値は[5] [6] [7] [8]で定義されます。 ここで、はで与えられる上限分位数です。通常、ペイオフ確率変数は、期待値の存在を保証するために、L p空間に存在します。の典型的な値は5%と1%です。 X {\displaystyle X} 0 < α < 1 {\displaystyle 0<\alpha <1} TVaR α ⁡ ( X ) = E ⁡ [ − X | X ≤ − VaR α ⁡ ( X ) ] = E ⁡ [ − X | X ≤ x α ] , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=\operatorname {E} [-X|X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]=\operatorname {E} [-X|X\leq x^{\alpha }],} x α {\displaystyle x^{\alpha }} α {\displaystyle \alpha } x α = inf { x ∈ R : Pr ( X ≤ x ) > α } {\displaystyle x^{\alpha }=\inf\{x\in \mathbb {R} :\Pr(X\leq x)>\alpha \}} X {\displaystyle X} p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} α {\displaystyle \alpha }

連続確率分布の公式

ポートフォリオのペイオフまたはそれに対応する損失が特定の連続分布に従う場合、TVaRを計算するための閉形式の公式が存在する。確率密度関数（pdf）と累積分布関数（cdf）を持つ確率分布に従う場合、左裾のTVaRは次のように表される。 X {\displaystyle X} L = − X {\displaystyle L=-X} X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} F {\displaystyle F}

TVaR α ⁡ ( X ) = E ⁡ [ − X | X ≤ − VaR α ⁡ ( X ) ] = 1 α ∫ 0 α VaR γ ⁡ ( X ) d γ = − 1 α ∫ − ∞ F − 1 ( α ) x f ( x ) d x . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=\operatorname {E} [-X|X\leq -\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)]={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }\operatorname {VaR} _{\gamma }(X)d\gamma =-{\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{F^{-1}(\alpha )}xf(x)dx.}

工学や保険数理のアプリケーションでは、損失の分布を考慮するのが一般的です。この場合は、右側のテール TVaR が考慮されます (通常は95% または 99%)。 L = − X {\displaystyle L=-X} α {\displaystyle \alpha }

TVaR α right ⁡ ( L ) = E [ L ∣ L ≥ VaR α ⁡ ( L ) ] = 1 1 − α ∫ α 1 VaR γ ⁡ ( L ) d γ = 1 1 − α ∫ F − 1 ( α ) + ∞ y f ( y ) d y . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=E[L\mid L\geq \operatorname {VaR} _{\alpha }(L)]={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}\operatorname {VaR} _{\gamma }(L)d\gamma ={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{F^{-1}(\alpha )}^{+\infty }yf(y)dy.}

以下のいくつかの式は左尾の場合に導出され、いくつかは右尾の場合に導出されたため、次の調整が役立ちます。

TVaR α ⁡ ( X ) = − 1 α E [ X ] + 1 − α α TVaR α right ⁡ ( L ) {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-{\frac {1}{\alpha }}E[X]+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)} そして TVaR α right ⁡ ( L ) = 1 1 − α E [ L ] + α 1 − α TVaR α ⁡ ( X ) . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {1}{1-\alpha }}E[L]+{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\operatorname {TVaR} _{\alpha }(X).}

正規分布

ポートフォリオのペイオフがpdfの正規分布（ガウス分布）に従う場合、左裾のTVaRは次式に等しくなります。ここで、は標準正規pdf、は標準正規cdf、は標準正規分位数です。[9] X {\displaystyle X} f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} TVaR α ⁡ ( X ) = − μ + σ ϕ ( Φ − 1 ( α ) ) α , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }},} ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 {\textstyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{x^{2}}/{2}}} Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)} Φ − 1 ( α ) {\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}

ポートフォリオの損失が正規分布に従う場合、右裾のTVaRは[10]に等しい。 L {\displaystyle L} TVaR α right ⁡ ( L ) = μ + σ ϕ ( Φ − 1 ( α ) ) 1 − α . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\phi (\Phi ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}.}

一般化スチューデントt分布

ポートフォリオのペイオフがpdfの一般化スチューデントt分布に従う場合、TVaRの左側は、標準t分布のpdf、標準t分布のcdf、標準t分布の分位数に等しくなります。[ 9] X {\displaystyle X} f ( x ) = Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( ν 2 ) π ν σ ( 1 + 1 ν ( x − μ σ ) 2 ) − ν + 1 2 {\displaystyle f(x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}} TVaR α ⁡ ( X ) = − μ + σ ν + ( T − 1 ( α ) ) 2 ν − 1 τ ( T − 1 ( α ) ) α , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{\alpha }},} τ ( x ) = Γ ( ν + 1 2 ) Γ ( ν 2 ) π ν ( 1 + x 2 ν ) − ν + 1 2 {\displaystyle \tau (x)={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi \nu }}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}} T ( x ) {\displaystyle \mathrm {T} (x)} T − 1 ( α ) {\displaystyle \mathrm {T} ^{-1}(\alpha )}

ポートフォリオの損失が一般化スチューデントのt分布に従う場合、右裾のTVaRは[10]に等しい。 L {\displaystyle L} TVaR α right ⁡ ( L ) = μ + σ ν + ( T − 1 ( α ) ) 2 ν − 1 τ ( T − 1 ( α ) ) 1 − α . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +\sigma {\frac {\nu +(\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))^{2}}{\nu -1}}{\frac {\tau (\mathrm {T} ^{-1}(\alpha ))}{1-\alpha }}.}

ラプラス分布

ポートフォリオのペイオフがpdfとcdfでラプラス分布に従う場合、左側のTVaRは に等しくなります。[ 9] X {\displaystyle X} f ( x ) = 1 2 b e − | x − μ | b {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}}} F ( x ) = { 1 − 1 2 e − x − μ b if  x ≥ μ , 1 2 e x − μ b if  x < μ . {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x-\mu }{b}}}&{\text{if }}x\geq \mu ,\\{\frac {1}{2}}e^{\frac {x-\mu }{b}}&{\text{if }}x<\mu .\end{cases}}} TVaR α ⁡ ( X ) = − μ + b ( 1 − ln ⁡ 2 α ) {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +b(1-\ln 2\alpha )} α ≤ 0.5 {\displaystyle \alpha \leq 0.5}

ポートフォリオの損失がラプラス分布に従う場合、右裾のTVaRは[10]に等しい。 L {\displaystyle L} TVaR α right ⁡ ( L ) = { μ + b α 1 − α ( 1 − ln ⁡ 2 α ) if  α < 0.5 , μ + b [ 1 − ln ⁡ ( 2 ( 1 − α ) ) ] if  α ≥ 0.5. {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +b{\frac {\alpha }{1-\alpha }}(1-\ln 2\alpha )&{\text{if }}\alpha <0.5,\\[1ex]\mu +b[1-\ln(2(1-\alpha ))]&{\text{if }}\alpha \geq 0.5.\end{cases}}}

ロジスティック分布

ポートフォリオのペイオフがロジスティック分布に従う場合、PDFとCDFの左側のTVaRは[9]に等しい。 X {\displaystyle X} f ( x ) = 1 s e − x − μ s ( 1 + e − x − μ s ) − 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2}} F ( x ) = ( 1 + e − x − μ s ) − 1 {\displaystyle F(x)=\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-1}} TVaR α ⁡ ( X ) = − μ + s ln ⁡ ( 1 − α ) 1 − 1 α α . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu +s\ln {\frac {(1-\alpha )^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}{\alpha }}.}

ポートフォリオの損失がロジスティック分布に従う場合、右裾のTVaRは[10]に等しい。 L {\displaystyle L} TVaR α right ⁡ ( L ) = μ + s − α ln ⁡ α − ( 1 − α ) ln ⁡ ( 1 − α ) 1 − α . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)=\mu +s{\frac {-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha )}{1-\alpha }}.}

指数分布

ポートフォリオの損失がpdfとcdfで指数分布に従う場合、右裾のTVaRは[10]に等しい。 L {\displaystyle L} f ( x ) = { λ e − λ x if  x ≥ 0 , 0 if  x < 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}} F ( x ) = { 1 − e − λ x if  x ≥ 0 , 0 if  x < 0. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}} TVaR α right ⁡ ( L ) = − ln ⁡ ( 1 − α ) + 1 λ . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}.}

パレート分布

ポートフォリオの損失がPDFとCDFでパレート分布に従う場合、右裾のTVaRは[10]に等しい。 L {\displaystyle L} f ( x ) = { a x m a x a + 1 if  x ≥ x m , 0 if  x < x m . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {ax_{m}^{a}}{x^{a+1}}}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}} F ( x ) = { 1 − ( x m / x ) a if  x ≥ x m , 0 if  x < x m . {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-(x_{m}/x)^{a}&{\text{if }}x\geq x_{m},\\0&{\text{if }}x<x_{m}.\end{cases}}} TVaR α right ⁡ ( L ) = x m a ( 1 − α ) 1 / a ( a − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {x_{m}a}{(1-\alpha )^{1/a}(a-1)}}.}

一般化パレート分布（GPD）

ポートフォリオの損失がGPD、PDF 、CDFに従う場合、右裾のTVaRは等しく、VaRは[10]に等しい。 L {\displaystyle L} f ( x ) = 1 s ( 1 + ξ ( x − μ ) s ) ( − 1 ξ − 1 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}} F ( x ) = { 1 − ( 1 + ξ ( x − μ ) s ) − 1 ξ if  ξ ≠ 0 , 1 − exp ⁡ ( − x − μ s ) if  ξ = 0. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{s}}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{s}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}} TVaR α right ⁡ ( L ) = { μ + s [ ( 1 − α ) − ξ 1 − ξ + ( 1 − α ) − ξ − 1 ξ ] if  ξ ≠ 0 , μ + s [ 1 − ln ⁡ ( 1 − α ) ] if  ξ = 0. {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\begin{cases}\mu +s\left[{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }}{1-\xi }}+{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +s[1-\ln(1-\alpha )]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}} V a R α ( L ) = { μ + s ( 1 − α ) − ξ − 1 ξ if  ξ ≠ 0 , μ − s ln ⁡ ( 1 − α ) if  ξ = 0. {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(L)={\begin{cases}\mu +s{\frac {(1-\alpha )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu -s\ln(1-\alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}}

ワイブル分布

ポートフォリオの損失がpdfとcdfでワイブル分布に従う場合、右裾TVaRは上側不完全ガンマ関数に等しくなります。 [ 10 ] L {\displaystyle L} f ( x ) = { k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k if  x ≥ 0 , 0 if  x < 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}} F ( x ) = { 1 − e − ( x / λ ) k if  x ≥ 0 , 0 if  x < 0. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&{\text{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}} TVaR α right ⁡ ( L ) = λ 1 − α Γ ( 1 + 1 k , − ln ⁡ ( 1 − α ) ) , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {\lambda }{1-\alpha }}\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}},-\ln(1-\alpha )\right),} Γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma (s,x)}

一般化極値分布（GEV）

ポートフォリオのペイオフがPDFとCDFでGEVに従う場合、左側のTVaRは に等しく、VaRは に等しくなります。ここでは上側不完全ガンマ関数、は対数積分関数です。[11] X {\displaystyle X} f ( x ) = { 1 σ ( 1 + ξ x − μ σ ) − 1 ξ − 1 exp ⁡ [ − ( 1 + ξ x − μ σ ) − 1 ξ ] if  ξ ≠ 0 , 1 σ e − x − μ σ e − e − x − μ σ if  ξ = 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\sigma }}\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}\exp \left[-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}e^{-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}}&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}} F ( x ) = { exp ⁡ ( − ( 1 + ξ x − μ σ ) − 1 ξ ) if  ξ ≠ 0 , exp ⁡ ( − e − x − μ σ ) if  ξ = 0. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}\exp \left(-\left(1+\xi {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}}\right)&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\exp \left(-e^{-{\frac {x-\mu }{\sigma }}}\right)&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}} TVaR α ⁡ ( X ) = { − μ − σ α ξ [ Γ ( 1 − ξ , − ln ⁡ α ) − α ] if  ξ ≠ 0 , − μ − σ α [ li ( α ) − α ln ⁡ ( − ln ⁡ α ) ] if  ξ = 0. {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha \xi }}\left[\Gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-\alpha \right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu -{\frac {\sigma }{\alpha }}\left[{\text{li}}(\alpha )-\alpha \ln(-\ln \alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}} V a R α ( X ) = { − μ − σ ξ [ ( − ln ⁡ α ) − ξ − 1 ] if  ξ ≠ 0 , − μ + σ ln ⁡ ( − ln ⁡ α ) if  ξ = 0. {\displaystyle \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}-\mu -{\frac {\sigma }{\xi }}\left[(-\ln \alpha )^{-\xi }-1\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\-\mu +\sigma \ln(-\ln \alpha )&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}} Γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma (s,x)} li ( x ) = ∫ d x ln ⁡ x {\displaystyle {\text{li}}(x)=\int {\frac {dx}{\ln x}}}

ポートフォリオの損失がGEVに従う場合、右裾のTVaRは、下側不完全ガンマ関数、オイラー・マスケローニ定数に等しくなります。[10] L {\displaystyle L} TVaR α ⁡ ( X ) = { μ + σ ( 1 − α ) ξ [ γ ( 1 − ξ , − ln ⁡ α ) − ( 1 − α ) ] if  ξ ≠ 0 , μ + σ 1 − α [ y − li ( α ) + α ln ⁡ ( − ln ⁡ α ) ] if  ξ = 0. {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{(1-\alpha )\xi }}\left[\gamma (1-\xi ,-\ln \alpha )-(1-\alpha )\right]&{\text{if }}\xi \neq 0,\\\mu +{\frac {\sigma }{1-\alpha }}\left[y-{\text{li}}(\alpha )+\alpha \ln(-\ln \alpha )\right]&{\text{if }}\xi =0.\end{cases}}} γ ( s , x ) {\displaystyle \gamma (s,x)} y {\displaystyle y}

一般化双曲正割（GHS）分布

ポートフォリオのペイオフがPDFとCDFでGHS分布に従う場合、左裾のTVaRは次の式に等しくなります。ここで、は二重対数、は虚数単位です。[11] X {\displaystyle X} f ( x ) = 1 2 σ sech ⁡ ( π 2 x − μ σ ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)} F ( x ) = 2 π arctan ⁡ [ exp ⁡ ( π 2 x − μ σ ) ] {\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arctan \left[\exp \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]} TVaR α ⁡ ( X ) = − μ − 2 σ π ln ⁡ ( tan ⁡ π α 2 ) − 2 σ π 2 α i [ Li 2 ( − i tan ⁡ π α 2 ) − Li 2 ( i tan ⁡ π α 2 ) ] , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\mu -{\frac {2\sigma }{\pi }}\ln \left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\frac {2\sigma }{\pi ^{2}\alpha }}i\left[{\text{Li}}_{2}\left(-i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)-{\text{Li}}_{2}\left(i\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\right],} Li 2 {\displaystyle {\text{Li}}_{2}} i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}

ジョンソンのSU分布

ポートフォリオのペイオフがCDF付きのジョンソンSU分布に従う場合、左裾のTVaRは標準正規分布のCDFと等しくなります。[ 12] X {\displaystyle X} F ( x ) = Φ [ γ + δ sinh − 1 ⁡ ( x − ξ λ ) ] {\displaystyle F(x)=\Phi \left[\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right]} TVaR α ⁡ ( X ) = − ξ − λ 2 α [ exp ⁡ ( 1 − 2 γ δ 2 δ 2 ) Φ ( Φ − 1 ( α ) − 1 δ ) − exp ⁡ ( 1 + 2 γ δ 2 δ 2 ) Φ ( Φ − 1 ( α ) + 1 δ ) ] , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\xi -{\frac {\lambda }{2\alpha }}\left[\exp \left({\frac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )-{\frac {1}{\delta }}\right)-\exp \left({\frac {1+2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)\Phi \left(\Phi ^{-1}(\alpha )+{\frac {1}{\delta }}\right)\right],} Φ {\displaystyle \Phi }

バール型XII分布

ポートフォリオのペイオフが、pdfとcdfを持つBurr型XII分布に従う場合、左裾TVaRは、超幾何関数である。あるいは、[11] X {\displaystyle X} f ( x ) = c k β ( x − γ β ) c − 1 [ 1 + ( x − γ β ) c ] − k − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}} F ( x ) = 1 − [ 1 + ( x − γ β ) c ] − k , {\displaystyle F(x)=1-\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k},} TVaR α ⁡ ( X ) = − γ − β α ( ( 1 − α ) − 1 / k − 1 ) 1 / c [ α − 1 + 2 F 1 ( 1 c , k ; 1 + 1 c ; 1 − ( 1 − α ) − 1 / k ) ] , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1/c}\left[\alpha -1+{_{2}F_{1}}\left({\frac {1}{c}},k;1+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right)\right],} 2 F 1 {\displaystyle _{2}F_{1}} TVaR α ⁡ ( X ) = − γ − β α c k c + 1 ( ( 1 − α ) − 1 / k − 1 ) 1 + 1 c 2 F 1 ( 1 + 1 c , k + 1 ; 2 + 1 c ; 1 − ( 1 − α ) − 1 / k ) . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{c+1}}\left((1-\alpha )^{-1/k}-1\right)^{1+{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(1+{\frac {1}{c}},k+1;2+{\frac {1}{c}};1-(1-\alpha )^{-1/k}\right).}

ダグム分布

ポートフォリオのペイオフがpdfとcdfを持つダガム分布に従う場合、左側のTVaRは、超幾何関数である。[11] X {\displaystyle X} f ( x ) = c k β ( x − γ β ) c k − 1 [ 1 + ( x − γ β ) c ] − k − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {ck}{\beta }}\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{ck-1}\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{c}\right]^{-k-1}} F ( x ) = [ 1 + ( x − γ β ) − c ] − k , {\displaystyle F(x)=\left[1+\left({\frac {x-\gamma }{\beta }}\right)^{-c}\right]^{-k},} TVaR α ⁡ ( X ) = − γ − β α c k c k + 1 ( α − 1 / k − 1 ) − k − 1 c 2 F 1 ( k + 1 , k + 1 c ; k + 1 + 1 c ; − 1 α − 1 / k − 1 ) , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=-\gamma -{\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {ck}{ck+1}}\left(\alpha ^{-1/k}-1\right)^{-k-{\frac {1}{c}}}{_{2}F_{1}}\left(k+1,k+{\frac {1}{c}};k+1+{\frac {1}{c}};-{\frac {1}{\alpha ^{-1/k}-1}}\right),} 2 F 1 {\displaystyle _{2}F_{1}}

対数正規分布

ポートフォリオのペイオフが対数正規分布に従う場合、つまりランダム変数がpdfを持つ正規分布に従う場合、左側のTVaRは標準正規CDFと等しくなり、標準正規分位数も等しくなります。[13] X {\displaystyle X} ln ⁡ ( 1 + X ) {\displaystyle \ln(1+X)} f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , {\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},} TVaR α ⁡ ( X ) = 1 − exp ⁡ ( μ + σ 2 2 ) Φ ( Φ − 1 ( α ) − σ ) α , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-\exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\frac {\Phi (\Phi ^{-1}(\alpha )-\sigma )}{\alpha }},} Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)} Φ − 1 ( α ) {\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}

対数ロジスティック分布

ポートフォリオのペイオフが対数ロジスティック分布に従う場合、つまりランダム変数がpdf を持つロジスティック分布に従う場合、左側の TVaR は に等しくなります。ここでは正規化された不完全ベータ関数、です。 X {\displaystyle X} ln ⁡ ( 1 + X ) {\displaystyle \ln(1+X)} f ( x ) = 1 s e − x − μ s ( 1 + e − x − μ s ) − 2 , {\displaystyle f(x)={\frac {1}{s}}e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\left(1+e^{-{\frac {x-\mu }{s}}}\right)^{-2},} TVaR α ⁡ ( X ) = 1 − e μ α I α ( 1 + s , 1 − s ) π s sin ⁡ π s , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }}{\alpha }}I_{\alpha }(1+s,1-s){\frac {\pi s}{\sin \pi s}},} I α {\displaystyle I_{\alpha }} I α ( a , b ) = B α ( a , b ) B ( a , b ) {\displaystyle I_{\alpha }(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{\alpha }(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}}

不完全ベータ関数は正の引数に対してのみ定義されるので、より一般的なケースでは、左裾TVaRは超幾何関数で表すことができる：[13] TVaR α ⁡ ( X ) = 1 − e μ α s s + 1 2 F 1 ( s , s + 1 ; s + 2 ; α ) . {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {e^{\mu }\alpha ^{s}}{s+1}}{_{2}F_{1}}(s,s+1;s+2;\alpha ).}

ポートフォリオの損失がpdfとcdfを持つ対数ロジスティック分布に従う場合、右裾のTVaRは不完全ベータ関数に等しい。 [ 10 ] L {\displaystyle L} f ( x ) = b a ( x / a ) b − 1 ( 1 + ( x / a ) b ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {b}{a}}(x/a)^{b-1}}{(1+(x/a)^{b})^{2}}}} F ( x ) = 1 1 + ( x / a ) − b , {\displaystyle F(x)={\frac {1}{1+(x/a)^{-b}}},} TVaR α right ⁡ ( L ) = a 1 − α [ π b csc ⁡ ( π b ) − B α ( 1 b + 1 , 1 − 1 b ) ] , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }^{\text{right}}(L)={\frac {a}{1-\alpha }}\left[{\frac {\pi }{b}}\csc \left({\frac {\pi }{b}}\right)-\mathrm {B} _{\alpha }\left({\frac {1}{b}}+1,1-{\frac {1}{b}}\right)\right],} B α {\displaystyle B_{\alpha }}

対数ラプラス分布

ポートフォリオのペイオフが対数ラプラス分布に従う場合、つまり確率変数がラプラス分布に従う場合、pdfの左側のTVaRは[13]に等しい。 X {\displaystyle X} ln ⁡ ( 1 + X ) {\displaystyle \ln(1+X)} f ( x ) = 1 2 b e − | x − μ | b , {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2b}}e^{-{\frac {|x-\mu |}{b}}},} TVaR α ⁡ ( X ) = { 1 − e μ ( 2 α ) b b + 1 if  α ≤ 0.5 , 1 − e μ 2 − b α ( b − 1 ) [ ( 1 − α ) ( 1 − b ) − 1 ] if  α > 0.5. {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)={\begin{cases}1-{\frac {e^{\mu }(2\alpha )^{b}}{b+1}}&{\text{if }}\alpha \leq 0.5,\\1-{\frac {e^{\mu }2^{-b}}{\alpha (b-1)}}\left[(1-\alpha )^{(1-b)}-1\right]&{\text{if }}\alpha >0.5.\end{cases}}}

対数一般化双曲正割分布（log-GHS）

ポートフォリオのペイオフがlog-GHS分布に従う場合、つまりランダム変数がpdfを持つGHS分布に従う場合、左側のTVaRは次のように表される。ここで、は超幾何関数である。[13] X {\displaystyle X} ln ⁡ ( 1 + X ) {\displaystyle \ln(1+X)} f ( x ) = 1 2 σ sech ⁡ ( π 2 x − μ σ ) , {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\sigma }}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),} TVaR α ⁡ ( X ) = 1 − 1 α ( σ + π / 2 ) ( tan ⁡ π α 2 exp ⁡ π μ 2 σ ) 2 σ / π tan ⁡ π α 2 2 F 1 ( 1 , 1 2 + σ π ; 3 2 + σ π ; − tan ⁡ ( π α 2 ) 2 ) , {\displaystyle \operatorname {TVaR} _{\alpha }(X)=1-{\frac {1}{\alpha (\sigma +{\pi /2})}}\left(\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}\exp {\frac {\pi \mu }{2\sigma }}\right)^{2\sigma /\pi }\tan {\frac {\pi \alpha }{2}}{_{2}F_{1}}\left(1,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};{\frac {3}{2}}+{\frac {\sigma }{\pi }};-\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{2}\right),} 2 F 1 {\displaystyle _{2}F_{1}}

参考文献

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