数学において、アレクサンダーの定理は、あらゆる結び目や繋がりは閉じた 組紐、つまり紐の両端が対になって繋がった組紐として表せるというものです。この定理は、1923年に証明を発表したジェームズ・ワデル・アレクサンダー2世にちなんで名付けられました。[ 1 ]
組紐は、アレクサンダーによって結び目理論のツールとして初めて考えられました。彼の定理は、「与えられた結び目を閉じた組紐に変換することは常に可能か？」という問いに肯定的な答えを与えます。良い構築例は、コリン・アダムスの著書にあります。[2]
しかし、結び目と組紐の対応は明らかに一対一ではありません。結び目は複数の組紐表現を持つ可能性があります。例えば、共役組紐は同値な結び目を生み出します。これは、2つ目の根本的な疑問につながります。どの閉じた組紐が同じ種類の結び目を表すのでしょうか？ この問題はマルコフの定理で扱われており、これは同じ結び目を表す任意の2つの閉じた組紐を関連付ける「動き」を与えます。
参考文献
- ^ アレクサンダー、ジェームズ(1923). 「結び目曲線系に関する補題」.米国科学アカデミー紀要. 9 (3): 93– 95. Bibcode :1923PNAS....9...93A. doi : 10.1073 /pnas.9.3.93 . PMC 1085274. PMID 16576674.
- ^ アダムス、コリン・C. (2004). 『The Knot Book』. 1994年初版の改訂復刻版. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. p. 130. ISBN 0-8218-3678-1. MR 2079925。
- ソシンスキー、アレクセイ・B. (2002). 結び目：ひねりの効いた数学. ケンブリッジ、マサチューセッツ州:ハーバード大学出版局. p. 17. ISBN 9780674009448. MR 1941191。
