第三の媒体接触方法

HuHu 正規化による第 3 の媒体接触法を使用して、第 3 の媒体 (白) を介した固体 (黒) の滑り接触。

第三媒質接触 （TMC）は、接触力学において用いられる暗黙的な定式化である。接触する物体は、非常に柔軟な媒質（第三媒質）に埋め込まれており、この媒質は圧縮によって剛性が増加する。第三媒質の剛性増加により、物体間の第三媒質が圧縮された際に、接触する物体間で牽引力が伝達される。この手法自体は不正確であるが、他のほとんどの接触手法とは異なり、第三媒質アプローチは連続的かつ微分可能であるため、トポロジー最適化などの応用に適用できる。^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

歴史

TMC field timeline
2013 — – — – 2015 — – — – 2017 — – — – 2019 — – — – 2021 — – — – 2023 — – — – 2025 — –	Dormant period Reemergence	← TMC published [7] ← Fully implicit formulation [8] ← Revival of TMC through introduction of HuHu regularization and Topology optimization[1] ← Friction [3] ← Thermal contact [5] ← HuHu-LuLu [4] ← Gauss-Lobatto [9]
(year)

 この手法は、2013 年に Peter Wriggers (de)、Jörg Schröder、および Alexander Schwarzによって最初に提案され、St. Venant-Kirchhoff材料を使用して第 3 の媒体をモデル化しました。^[7]このアプローチでは、表面法線の明示的な処理が必要であり、引き続き使用されました^{[10] [11] [12]}。2017 年に Bog らは、極限圧縮下で剛性になる固有の特性を持つ Hencky 材料を適用してこの手法を簡素化しました。^[8]この特性により、表面法線の明示的な処理が不要になり、第 3 の媒体接触法は完全に暗黙的な方法に変わり、より広く使用されているMortar 法やPenalty 法とは対照的になりました。ただし、この段階では、第 3 の媒体接触法は非常に小さな滑りしか処理できず、TMC の摩擦モデルはまだ開発されていませんでした。同時期に厳密な数学的基礎と急速な開発と採用を伴って登場した Mortar 法の人気の高まりが、TMC 法に影を落としました。^{[11] [12]}その結果、TMCは初期の段階で放棄され、接触力学ではほとんど知られていないままになりました。

2021年、ゴア・ルーカス・ブルーム、オーレ・シグムンド、コンスタンティノス・ポリオスが非線形座屈問題に取り組み、高柔軟性空隙材料がトポロジー最適化設定で力を伝達できることに気づいたことで、この手法は復活しました。ブルームらは、第3の媒体を安定化するための新しい正則化を追加し、この手法が中程度の滑りを伴う問題に接触できるようにし、実用的に適用可能になりました。^{[1]この新しい正則化はHuHu正則化として知られ、}有限要素の一般的な正則化手法であり、TMC以外でも使用されています。^[13]トポロジー最適化におけるTMCの使用は、その後の研究で改良され、より複雑な問題に適用されました。^{[14] [6] [4]}

2024年、Frederiksenら^[3]は、結晶塑性理論に着想を得た摩擦を考慮した手法を提案した。これは、接触界面における高せん断応力に寄与する項を材料モデルに追加するとともに、せん断応力を解放して滑りを許容する塑性滑りスキームも含むものであった。同時期には、新たな正則化手法が提案され^{[4] [9] [15]}、この手法はDalklintら^{[5]によって熱接触に拡張され、Faltusら[9]}によって空気圧駆動に利用された。FaltusらはTMCにGauss-Lobatto積分を導入し、数値安定性を向上させた。これにより、第3の媒体の剛性値が低い安定した解が得られるようになった。

原則

表記規則

${\displaystyle {\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {b}}=a_{i}b_{i}}$	内積
${\displaystyle {\mathbf {a}}\otimes {\mathbf {b}}=a_{i}b_{j}}$	外積
${\displaystyle {\mathbf {A}}:{\mathbf {B}}=A_{ij}B_{ij}}$	二重収縮
${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {A}}}\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,{\boldsymbol {\mathcal {B}}}={\mathcal {A}}_{ijk}{\mathcal {B}}_{ijk}}$	三重収縮
${\displaystyle ||{\mathbf {A}}||={\sqrt {{\mathbf {A}}:{\mathbf {A}}}}}$	フロベニウスノルム
${\displaystyle \mathbb {H} {\mathbf {a}}={\dfrac {\partial ^{2}a_{i}}{\partial X_{j}\partial X_{k}}}}$	ベクトル場のヘッセ行列${\displaystyle {\mathbf {a}}}$
${\displaystyle \mathbb {L} {\mathbf {a}}={\dfrac {\partial ^{2}a_{i}}{\partial X_{j}\partial X_{j}}}}$	ベクトル場のラプラシアン${\displaystyle {\mathbf {a}}}$

材料モデル

一軸圧縮下でのネオフック固体のひずみエネルギー密度の増加。

TMCは、圧縮によって硬くなる第3の媒質の材料モデルに依存しています。最も一般的に適用される材料モデルは、ひずみエネルギー密度関数を特徴とする 新フック型です。

${\displaystyle W({\mathbf {u}})={\frac {K}{2}}({\text{ln}}|{\mathbf {F}}|)^{2}+{\frac {G}{2}}\left(|{\mathbf {F}}|^{-2/3}||{\mathbf {F}}||^{2}-3\right)}$ 、

ここで、 は体積弾性率、はせん断弾性率、 は変位場の変形勾配テンソルです。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathbf {F}}=\nabla {\mathbf {u}}+{\mathbf {I}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {u}}}$

この材料モデルは、現在の材料体積がゼロに近づくにつれて、無限に剛性が高くなるという特性を示します。その結果、第3の媒体が圧縮されても、その体積は正で有限のままです。これにより、2つの固体が、体積弾性率とせん断弾性率が大幅に低い第3の媒体に埋め込まれた場合でも、第3の媒体の剛性が埋め込まれた固体の剛性と同程度になるため、十分に圧縮された状態では、固体を変形させるのに十分な力を第3の媒体が伝達できます。 ${\displaystyle |{\mathbf {F}}|}$

正規化

HuHu と LuLu が対象とする変形と、これらの変形が見つかる選択された要素タイプ。

ネオフック材料モデルは、滑りのない接触に対しては安定であるものの、滑りはしばしば不安定性をもたらす。この問題に対処するため、ひずみエネルギー密度関数に正則化手法を適用する。

正則化は通常、材料モデルのひずみエネルギー密度関数に正則化項を追加することで実現されます。一般的なアプローチはHuHu正則化であり、^[1]は以下のように表されます。

${\displaystyle \Psi ({\mathbf {u}})=W({\mathbf {u}})+\mathbb {H} {\mathbf {u}}\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,\mathbb {H} {\mathbf {u}}}$ 、

ここで、 は第3の媒体の拡張された歪みエネルギー密度を表し、はの空間ヘッセ行列の内積を表す正規化項であり、 は第3の媒体（例えば、新フック固体または他の超弾性材料）の基礎となる歪みエネルギー密度です。 ${\textstyle \Psi ({\mathbf {u}})}$ ${\textstyle \mathbb {H} {\mathbf {u}}\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,\mathbb {H} {\mathbf {u}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {u}}}$ ${\textstyle W({\mathbf {u}})}$

HuHu正則化は、TMC専用に開発された最初の正則化手法である。その後改良されたHuHu-LuLu正則化^[4]は、以下のように表される。

${\displaystyle \Psi ({\mathbf {u}})=W({\mathbf {u}})+\mathbb {H} {\mathbf {u}}\,{\boldsymbol {\scriptstyle {\vdots }}}\,\mathbb {H} {\mathbf {u}}-{\dfrac {1}{\mathrm {Tr} ({\mathbf {I}})}}\mathbb {L} {\mathbf {u}}\cdot \mathbb {L} {\mathbf {u}}}$ 、

ここで、 は変位場のラプラシアンであり、は問題の次元（2D または 3D）に対応する単位行列のトレースです。 ^[4] LuLu 項は、過度のスキュー変形のペナルティを維持しながら、曲げ変形と二次圧縮変形のペナルティを軽減するように設計されており、これにより HuHu 正則化の安定化特性が保たれます。曲げ変形のペナルティが軽減されると、曲がった接触のモデリングの精度が向上し、特に粗い有限要素メッシュを使用する場合に効果的です。同様に、二次圧縮のペナルティが軽減されると、材料密度が変化する有限要素が不均一な圧縮を受けるトポロジー最適化アプリケーションでも有利になります。 ${\displaystyle \mathbb {L} {\mathbf {u}}}$ ${\displaystyle {\mathbf {u}}}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}({\mathbf {I}})}$

代替的でより複雑な正則化アプローチとして、体積変化と回転にペナルティを課すアプローチがあり、これはFaltusら^[9]によって最初に提案された。このアプローチは3Dアプリケーションへのさらなる拡張を必要とする。Wriggersら^{[15]によるその後の改良では、 [9]} で使用された近似値の代わりに回転テンソルを 直接利用する。${\displaystyle {\mathbf {R}}}$

摩擦

バルジと固体ベッドの間の隙間は、第三の媒質（）で満たされる。接触面の法線方向と平行方向は、固体ベッドの表面に基づいて定義される。左右の境界は周期的であり、 に変位が与えられる。${\displaystyle \Omega _{v}}$ ${\displaystyle {\mathbf {n}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathbf {s}}_{0}}$ ${\displaystyle \Gamma _{D}}$

摩擦係数 0.3 に対して、TMC 摩擦 (青) とラグランジュ乗数アプローチ (黒) を使用して解決されたスライディング バルジ問題。

TMC法への摩擦の統合は、現実的な接触条件のシミュレーションにおける大きな進歩であり、現実世界のシナリオを再現する際の従来の限界を克服します。現在、摩擦を付加する方法は1つしかありません。この方法は、接触部にせん断応力を導入し、接触が滑りの場合に塑性滑りによって応力を解放します。

ネオフック材料モデルを用いて第三媒質を表現すると、接触時のせん断剛性に比べて圧縮剛性がはるかに高くなります。この問題に対処し、せん断抵抗を与えるために、ネオフック材料モデルに異方性項が組み込まれています。この修正により、第三媒質の圧縮領域におけるせん断応力が急速に増加し、摩擦接触を正確にモデル化するために不可欠です。

この定式化では、せん断項が追加された拡張ひずみエネルギー密度の式は次のようになります。

${\displaystyle W_{ext}({\mathbf {u}})=W({\mathbf {u}})+{\dfrac {\beta }{2}}\left({\mathbf {C}}_{e}:({\mathbf {s}}_{0}\otimes {\mathbf {n}}_{0})\right)^{2}}$ 、

どこ：

• ${\displaystyle \beta }$ はスケーリングパラメータであり、
• ${\displaystyle {\mathbf {s}}_{0}}$ 滑り方向に平行な単位ベクトルである。
• ${\displaystyle {\mathbf {n}}_{0}}$ は接触面に対して垂直な単位ベクトルであり、
• ${\displaystyle {\mathbf {C}}_{e}={\mathbf {F}}_{e}^{T}\cdot {\mathbf {F}}_{e}}$ 弾性変形の右コーシー・グリーンテンソルです。

せん断伸張は、すべり方向のせん断に関連する寄与をペナルティすることによって機能します。 ${\displaystyle {\mathbf {C}}_{e}}$ ${\displaystyle {\mathbf {s}}_{0}}$

滑り開始時にせん断応力を解放するために、結晶塑性に着想を得たフレームワークが採用されています。このフレームワークには、クーロン摩擦の影響を再現するために特別に設計された降伏条件が含まれています。このフレームワークにより、モデルは、追加された異方性項によって提供されるせん断応力が特定の閾値を超えたときに滑り開始をシミュレートすることができ、現実世界の摩擦挙動を効果的に模倣できます。クーロン摩擦モデルに基づくこの降伏条件は、せん断応力が臨界値を超えた時点で滑りが開始されるタイミングを決定します。

例

C字型接触問題は，空隙領域（ ）と固体領域（ ）を含む第三媒質接触のベンチマーク問題である．厚さは，領域（）の幅は である．${\displaystyle \Omega _{v}}$ ${\displaystyle \Omega _{s}}$ ${\displaystyle t=0.1L}$ ${\displaystyle \Gamma _{D}}$ ${\displaystyle 0.5t}$

^{[1] [2 ] [3 ] [4] [9] [15]}で用いられたC字型接触問題は、第三媒質接触モデルのベンチマーク問題として確立されている。この問題では、上端と下端がそれぞれ固定された2本の固体梁が用いられる。梁間の領域は「空隙」とみなされ、梁間の接触を可能にするために第三媒質としてモデル化される。

C字型形状の右上端の小さな領域に、垂直方向の変位または荷重が加えられます。垂直方向の変位は、C字型形状の上部梁が下部梁に接触するように規定されています。接触が確立されると、上部梁の角が下部梁に沿って滑り、第3の媒質内に大きなせん断が発生します。さらに、第3の媒質の右境界の自由端は境界で囲まれていないため、第3の媒質に大きな歪みが生じます。これは、第3の媒質の材料モデルと適用された正則化によって処理されます。

C字型問題も摩擦TMCモデルを用いて解決されている。^[3]

Q9 要素 (左)、Q4 要素の TMC (中央)、および LST 要素の TMC (右) を使用した従来のラグランジュ乗数アプローチを使用した C 字型問題の解決。

アプリケーション

第三媒質との接触を考慮した3Dトポロジー最適化の例。固体（黄色）は第三媒質に埋め込まれています。

TMCは、微分可能かつ完全に暗黙的な方法で接触力学をモデル化できるため、計算力学やトポロジー最適化において広く利用されています。TMCの主な利点の一つは、表面や接触ペアを明示的に定義する必要がないため、モデリングプロセスが簡素化されることです。

トポロジー最適化において、TMCは感度が適切に処理されることを保証し、勾配ベースの最適化手法が効果的に収束し、内部接触を持つ設計を生成することを可能にします。このアプローチによって実現された注目すべき設計には、フック、曲げ機構、自己接触バネなどのコンプライアント機構が含まれます。^{[1] [2] [4] [14]}メタマテリアルの設計はトポロジー最適化の一般的な応用分野であり、TMCは設計可能な範囲を拡大しました。^[6]さらに、ソフトロボットの設計に有用なソフトスプリングや空気圧駆動システムもTMCを用いてモデル化されています。^{[14] [9]}

TMCは摩擦接触や熱機械結合を含むアプリケーションにも拡張されています。^{[3] [5]}これらの進歩により、現実世界の機械的インターフェースをモデル化する上でのこの手法の有用性が向上しています。

参照

• 接触力学
• 超弾性材料
• トポロジー最適化

参考文献

1. Bluhm, Gore Lukas; Sigmund, Ole; Poulios, Konstantinos (2021-03-04). 「有限ひずみトポロジー最適化のための内部接触モデリング」.計算力学. 67 (4): 1099– 1114. arXiv : 2010.14277 . Bibcode :2021CompM..67.1099B. doi :10.1007/s00466-021-01974-x. ISSN  0178-7675. S2CID  225076340.
2. Frederiksen, Andreas Henrik; Sigmund, Ole; Poulios, Konstantinos (2023-10-07). 「自己接触構造のトポロジー最適化」.計算力学. 73 (4): 967– 981. arXiv : 2305.06750 . Bibcode :2023CompM..73..967F. doi : 10.1007/s00466-023-02396-7 . ISSN  1432-0924.
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