輪郭セット

数学において、輪郭集合は 日常的な概念を 一般化し、形式化する。

• 何かよりも優れているものすべて
• 何かより優れている、または同等のもの
• 何かより劣るものすべて
• 何かより劣っている、または同等であるものすべて。

正式な定義

集合の要素のペアの関係が与えられた場合 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}}$

そして、${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle x\in X}$

の上部輪郭集合は、 に関連するすべての集合です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

の下等高線集合は、それらと関連する すべての集合です。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}}$

の厳密な上側輪郭集合は、いずれとも このように関連せずに、と関連しているすべての の集合です。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}}$

の厳密な下輪郭集合は、 が と関連しているが、いずれも とこのように関連していないようなすべての の集合です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}}$

最後の2つの形式表現は、次のように定義すれば簡略化できる。

${\displaystyle \succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~\backepsilon ~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}}$

はと関連しているが とは関連していないので、この場合 の厳密な上側等高線集合は ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}}$

そして厳密な下等高線集合は ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}}$

関数の等高線集合

関係の観点から関数 を考察する場合、関数の輪郭集合への参照は暗黙的に暗黙の関係の輪郭集合への参照となる。 ${\displaystyle f()}$ ${\displaystyle \triangleright }$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]}$

例

算術

実数 と関係式を考える。すると、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \geq }$

• の上等高線集合は以上の数の集合となる。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• の厳密な上限の等高線集合は、より大きい数の集合となる。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• の下等高線集合はより小さいか等しい数の集合であり、${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• の厳密な下側輪郭集合は、より小さい数値の集合になります。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

より一般的には、

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

それから

• の上等高線集合は、となるすべての集合となる。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(y)\geq f(x)}$
• の厳密な上側輪郭集合は、となるすべての集合である。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(y)>f(x)}$
• の下等高線集合は、となるすべての集合であり、${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$
• の厳密な下側輪郭集合は、となるすべての の集合になります。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)>f(y)}$

等高線集合を次の関係で定義することは 技術的には可能である。

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]}$

ただし、このような定義は、すぐに理解できないものになる傾向があります。

実数値関数（引数自体が実数である場合とそうでない場合がある）の場合、関数の輪郭集合への参照は暗黙的に関係の輪郭集合への参照となる。 ${\displaystyle f()}$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

の引数はベクトルである可能性があり、代わりに次のような表記法が使用される可能性がある ことに注意してください。${\displaystyle f()}$

${\displaystyle [(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]}$

経済

経済学では、集合は財とサービス、あるいは起こり得る結果の集合として解釈され、関係は厳密な選好、関係は弱い選好として解釈される。そして、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \succcurlyeq }$

• の上限等高線集合、またはより良い集合、^{[1]は、 と}少なくとも同程度に望まれるすべての商品、サービス、または結果の集合となる。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• の厳密な上限の等高線集合は、よりも望まれるすべての商品、サービス、または結果の集合となる。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• のより低い等高線集合、またはより悪い集合^[1]は、よりも望まれていないすべての商品、サービス、または結果の集合であり、${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• の厳密な下側輪郭集合は、よりも望ましくないすべての商品、サービス、または結果の集合になります。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

このような好みは効用関数によって捉えられる可能性があり、その場合 ${\displaystyle u()}$

• の上等高線集合は、となるすべての集合となる。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)\geq u(x)}$
• の厳密な上側輪郭集合は、となるすべての集合である。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)>u(x)}$
• の下等高線集合は、となるすべての集合であり、${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$
• の厳密な下側輪郭集合は、となるすべての の集合になります。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(x)>u(y)}$

相補性

が の全順序付けであると仮定すると、上輪郭集合の 補集合は厳密な下輪郭集合になります。${\displaystyle \succcurlyeq }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

厳密な上部輪郭集合の補集合は下部輪郭集合です。

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}}$

参照

• 碑文
• ヒポグラフ

参考文献

1. Robert P. Gilles (1996). 『経済交換と社会組織：一般均衡理論のエッジワース的基礎』Springer. p. 35. ISBN 9780792342007。

参考文献

• Andreu Mas-Colell、Michael D. Winston、Jerry R. Green、ミクロ経済理論( LCC  HB172.M6247 1995)、p43。ISBN 0-19-507340-1（布製）ISBN 0-19-510268-1（紙）