総変動

数学において、全変化は、関数または測度の余域の（局所的または大域的な）構造に関連する、わずかに異なるいくつかの概念を識別します。区間[ a , b ] ⊂ R上で定義された実数値連続関数fの場合、定義区間におけるその全変化は、 x ∈ [ a , b ] に対して媒介変数方程式x ↦ f ( x )を持つ曲線の1次元弧長の測度です。全変化が有限である関数は、有界変化の関数と呼ばれます。

歴史的注記

実変数1変数関数の全変分の概念は、カミーユ・ジョルダンの論文（Jordan 1881）^[1]で初めて導入されました。彼はこの新しい概念を用いて、変分が有界である不連続周期関数のフーリエ級数の収束定理を証明しました。しかし、この概念を多変数関数に拡張することは、様々な理由から容易ではありません。

定義

1つの実変数の関数の全変化

定義1.1実数値（またはより一般的には複素数値）関数の区間上で定義される全変化は 、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}$

ここで、最大値は与えられた区間のすべての分割の集合にわたっています。つまり、 となります。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n_{P}}=b}$

関数の全変動n> 1 実変数

定義1.2. ^[2] ΩをR ⁿの開部分集合とする。L 1 ( Ω )に属する関数fが与えられたとき、Ωにおけるfの全変分は次のように定義される ^。

${\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},}$

どこ

• ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ は、に含まれるコンパクト台を持つ連続微分可能なベクトル関数の集合である。 ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$ は本質的な最高 規範であり、
• ${\displaystyle \operatorname {div} }$ は発散演算子です。

この定義では、与えられた関数の定義域が有界集合である必要はありません。 ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

測度論における全変動

古典的な全変異の定義

Saks (1937, p. 10)に従って、測定可能な空間上の符号付き測度を考えてみましょう。すると、2つの 集合関数を定義でき、それぞれ上変分と下変分と呼ばれ、次のように 表されます。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\sup \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\inf \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

明らかに

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\geq 0\geq {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\qquad \forall E\in \Sigma }$

定義1.3符号付き測度の変分（絶対変分とも呼ばれる）は集合関数である ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)+\left|{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\right|\qquad \forall E\in \Sigma }$

そしてその全変動は定義空間全体におけるこの測度の値として定義される。すなわち

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)}$

全変動ノルムの現代的な定義

サックス（1937, p. 11）は、ハーン・ジョルダン分解を証明するために上変分と下変分を用いている。彼の定理によれば、上変分と下変分はそれぞれ非負の測度と非正の 測度である。より現代的な記法を用いると、

${\displaystyle \mu ^{+}(\cdot )={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

${\displaystyle \mu ^{-}(\cdot )=-{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

と は、以下の 2つの非負測度である。${\displaystyle \mu ^{+}}$ ${\displaystyle \mu ^{-}}$

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$

${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

最後の小節は、表記法の誤用により、全変動小節と呼ばれることもあります。

複合測度の総変動ノルム

測度が複素数値、すなわち複素測度である場合、その上限と下限の変化は定義できず、ハーン・ジョルダン分解定理は実部と虚部にのみ適用できる。しかし、Rudin (1966, pp. 137–139) に従って、複素数値測度の全変化を以下のように 定義することは可能である。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

定義1.4複素数値測度の変分は集合関数である${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma }$

ここで、上限は、測定可能な集合を可算数の互いに素な測定可能な部分集合に 分割するすべての部分集合にわたって取られます。${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$

この定義は、実数値の符号付き測度の場合の 上記の定義と一致します。${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

ベクトル値測度の全変動ノルム

このように定義された変分は正の測度であり（Rudin (1966, p. 139) を参照）、 が符号付き測度であるとき、 1.3で定義された変分と一致する。その全変分は上記のように定義される。この定義は がベクトル測度である場合にも成り立つ。その場合、変分は次の式で定義される。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }\|\mu (A)\|\qquad \forall E\in \Sigma }$

ここで、上限は上記の通りである。この定義は、空間 の有限分割のみを考慮する必要があるため、Rudin (1966, p. 138) の定義よりも若干一般化されている。これは、有限加法測度の全変分を定義するためにも使用できることを意味する。 ${\displaystyle X}$

確率測度の総変動

あらゆる確率測度の全変動はちょうど1であるため、そのような測度の性質を調べる手段としては興味深くない。しかし、μとνが確率測度である場合、確率測度の全変動距離は次のように定義できる。ここで、ノルムは符号付き測度の全変動ノルムである。 という性質を用いることで、最終的に等価な定義が得られる。 ${\displaystyle \|\mu -\nu \|}$ ${\displaystyle (\mu -\nu )(X)=0}$

${\displaystyle \|\mu -\nu \|=|\mu -\nu |(X)=2\sup \left\{\,\left|\mu (A)-\nu (A)\right|:A\in \Sigma \,\right\}}$

そして、その値は自明ではない。上記の係数は通常省略される（確率測度の全変動距離の記事における慣例による）。非公式には、これは2つの確率分布が同じ事象に割り当てることができる確率間の最大差である。カテゴリ分布の場合、全変動距離は次のように表すことができる。 ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )=\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|\;.}$

次のように、前の定義を半分にすることで、 の値に正規化することもできます。 ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|}$ ^[3]

基本的なプロパティ

微分可能関数の全変化

関数の全変化は、定義1.1と1.2の関数の上限としてではなく、与えられた関数を含む積分として表すことができます。 ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle f}$

1変数の微分可能関数の全変化の形

定理1.区間で定義された微分可能関数の全変化は、 がリーマン積分 可能であれば次の式で表される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x}$

が微分可能かつ単調であれば、上記は次のように簡略化される。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=|f(a)-f(b)|}$

任意の微分可能関数 について、定義域区間 を、が局所的に単調である部分区間( ) に分解することができます。この場合、におけるの全変化は、これらの部分区間上の局所的変化の合計として表すことができます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,a_{1}],[a_{1},a_{2}],\dots ,[a_{N},b]}$ ${\displaystyle a<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{N}<b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{a}^{b}(f)&=V_{a}^{a_{1}}(f)+V_{a_{1}}^{a_{2}}(f)+\,\cdots \,+V_{a_{N}}^{b}(f)\\[0.3em]&=|f(a)-f(a_{1})|+|f(a_{1})-f(a_{2})|+\,\cdots \,+|f(a_{N})-f(b)|\end{aligned}}}$

微分可能な多変数関数の全変化の形

定理2.有界開集合上に定義された関数が与えられ、 がクラスである場合、の全変化は次の式で表される。 ${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f,\Omega )=\int _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x}$ 。

証拠

証明の最初のステップは、まずガウス・オストログラツキーの定理から導かれる等式を証明することです。

補題

定理の条件の下では、次の等式が成り立ちます。

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi }$

補題の証明

ガウス・オストログラツキーの定理より：

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \mathbf {R} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} }$

を代入すると次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} }$

定義により の境界でゼロとなる場所は次のとおりです。${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\varphi } _{i}\right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f}$

等式の証明

定理の条件の下では、補題から次のことが分かります。

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\varphi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

最後の部分は省略できます。定義によりその本質的な上限は最大でも 1 だからです。 ${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$

一方、 と を考えます。これはにおける の、同じ積分による近似値です。は において稠密なので、これは可能です。ここで、 を補題に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle \theta _{N}:=-\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\mathbb {I} _{\{\nabla f\neq 0\}}{\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}}$ ${\displaystyle \theta _{N}^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \theta _{N}}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}}$ ${\displaystyle C_{c}^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }f\operatorname {div} \theta _{N}^{*}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\{\nabla f\neq 0\}}\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\left[-N,N\right]\cap {\{\nabla f\neq 0\}}}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|\end{aligned}}}$

これは、の収束する数列があり、であることが分かっていることを意味します。QED${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } }$ ${\textstyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$ ${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

証明から、最高値が達成されるのは

${\displaystyle \varphi \to {\frac {-\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}.}$

関数の全変化が有限である場合、その関数は 有界変化であると言われます。 ${\displaystyle f}$

測定値の総変動

全変動は、有界変動の測度空間上で定義されるノルムである。集合のσ-代数上の測度空間は、このノルムに対するバナッハ空間（ca空間）である。これは、同じノルムを持つ有限加法測度（可算加法測度とは対照的に）からなる、より大きなバナッハ空間（ ba空間）に含まれる。ノルムに関連付けられた距離関数は、2つの測度μとν間の全変動距離を生じる。

R上の有限測度について、測度μの全変化と関数の全変化の関係は、上で述べたように、次のようになる。μが与えられたとき、関数を次のように 定義する。${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (t)=\mu ((-\infty ,t])~.}$

すると、符号付き測度μの全変化は、上記の意味での関数の全変化に等しい。一般に、符号付き測度の全変化は、ジョルダンの分解定理を用いて次のように 定義できる。${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \|\mu \|_{TV}=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)~,}$

可測空間上の任意の符号付き測度μに対して。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

アプリケーション

全変分は、実数値関数空間（一変数関数の場合）または積分可能関数空間（多変数関数の場合）上で定義される非負 実数値関数と見ることができます。関数として、全変分は最適制御、数値解析、変分法など、ある問題の解がその値を最小化する必要がある数学や工学の様々な分野で応用されています。例えば、全変分関数は、以下の2種類の問題でよく使用されます。

• 微分方程式の数値解析：微分方程式の近似解を求める科学です。これらの問題への全変分法の応用については、「全変分法の減少」という記事で詳しく説明されています。
• 画像ノイズ除去：^[4]画像処理において、ノイズ除去とは、データ伝送やセンシングなどの電子的手段によって得られたデータから再構成された画像のノイズを低減するために使用される一連の手法を指します。「全変動ノイズ除去」とは、全変動を画像ノイズ低減に適用することを指します。詳細は、(Rudin, Osher & Fatemi 1992)および(Caselles, Chambolle & Novaga 2007)の論文に記載されています。このモデルをカラー画像に拡張した実用的なモデルは、(Blomgren & Chan 1998)に記載されています。

参照

• 制限された変動
• p変動
• 総変動は減少している
• 総変動ノイズ除去
• 二次関数
• 確率測度の総変動距離
• コルモゴロフ・スミルノフ検定
• 異方性拡散

注記

1. Golubov & Vitushkin (2001) による。
2. アンブロジオ, ルイージ; フスコ, ニコラ; パララ, ディエゴ (2000). 有界変分関数と自由不連続問題. オックスフォード大学出版局. p. 119. doi :10.1093/oso/9780198502456.001.0001. ISBN 9780198502456。
3. ギブス、アリソン、フランシス・エドワード・スー (2002). 「確率指標の選択と境界設定について」(PDF) . p. 7. 2017年4月8日閲覧。
4. https://arxiv.org/pdf/1603.09599 2024年12月15日閲覧

歴史的参照

• アルゼラ、チェーザレ(1905 年 5 月 7 日)、「Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (有限変動の 2 つの変数の関数について)」、Rendiconto delle Sessioni della Reale Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna、Nuova s​​erie (イタリア語)、IX (4): 100–107、JFM  36.0491.02、2007 年 8 月 7 日にオリジナルからアーカイブ。
• ゴルボフ、ボリス・I. (2001) [1994]、「アルゼラ変分法」、数学百科事典、EMSプレス。
• ゴルボフ、ボリス・I. (2001) [1994]、「フレシェ変分」、数学百科事典、EMSプレス。
• ゴルボフ、ボリス・I. (2001) [1994]、「ハーディ変分」、数学百科事典、EMSプレス。
• ゴルボフ、ボリス・I. (2001) [1994]、「ピアポント変分」、数学百科事典、EMSプレス。
• ゴルボフ、ボリス・I. (2001) [1994]、「ヴィタリ変分」、数学百科事典、EMSプレス。
• ゴルボフ、ボリス・I. (2001) [1994]、「トネリ平面変化」、数学百科事典、EMSプレス。
• ゴルボフ、ボリス・I.;ヴィトゥシュキン、アナトリ・G. (2001) [1994]、「関数の変分」、数学百科事典、EMSプレス
• Jordan、Camille (1881)、「Sur la série de Fourier」、Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (フランス語)、92 : 228–230、JFM  13.0184.01（Gallicaで入手可能）。ボリス・ゴルボフによれば、これは有界変分関数に関する最初の論文である。
• ハーン、ハンス(1921)、理論理論 (ドイツ語)、ベルリン: Springer Verlag、pp. VII+600、JFM  48.0261.09。
• Vitali、Giuseppe (1908) [1907 年 12 月 17 日]、「Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (実変数の点と関数のグループについて)」、Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (イタリア語)、43 : 75–92、JFM  39.0101.05、アーカイブ済み2009-03-31 のオリジナルよりヴィタリ被覆定理の最初の証明を含む論文。

参考文献

• アダムズ、C. レイモンド; クラークソン、ジェームズ A. (1933)、「二変数関数の有界変分の定義について」アメリカ数学会誌、35 (4): 824– 854、doi : 10.1090/S0002-9947-1933-1501718-2、JFM  59.0285.01、MR  1501718、Zbl  0008.00602。
• Cesari、Lamberto (1936)、「Sulle funzioni a variazione limitata (限界変動の関数について)」、Annali della Scuola Normale Superiore、II (イタリア語)、5 ( 3–4 ): 299–313、JFM  62.0247.03、MR  1556778、Zbl  0014.29605. Numdamで入手可能。

• レオニ、ジョヴァンニ（2017）『ソボレフ空間入門：第2版』、アメリカ数学会大学院数学研究科、pp. xxii+734、ISBN 978-1-4704-2921-8。
• サックス、スタニスワフ(1937)。インテグラルの理論。モノグラフィー・マテマティチュネ。 Vol. 7（第2版）。ワルシャワ – ルヴフ: GE Stechert & Co. VI+347 ページ。JFM  63.0183.05。Zbl  0017.30004。（ポーランドの仮想科学図書館で入手可能）。ローレンス・チザム・ヤングによるフランス語原文からの英訳。ステファン・バナッハによる2つの補足注釈付き。
• ルディン、ウォルター（1966年）『実解析と複素解析』、マグロウヒル高等数学シリーズ（第1版）、ニューヨーク：マグロウヒル、pp. xi+412、MR  0210528、Zbl  0142.01701。

外部リンク

1つの変数

• 「 PlanetMathでの総変動。

1つ以上の変数

• 数学百科事典における有界変分関数

測度論

• ローランド、トッド. 「全変動」. MathWorld .。
• PlanetMathでの Jordan 分解。
• 数学百科事典におけるジョルダン分解

アプリケーション

• Caselles, Vicent; Chambolle, Antonin; Novaga, Matteo (2007), The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, SIAM , Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, archived from the original on 2011-09-27（画像処理のノイズ除去問題における全変動適用を扱った作品）。

• Rudin, Leonid I.; Osher, Stanley; Fatemi, Emad (1992)、「非線形全変動に基づくノイズ除去アルゴリズム」、Physica D: Nonlinear Phenomena、60 ( 1– 4)、Physica D: Nonlinear Phenomena 60.1: 259-268: 259– 268、Bibcode :1992PhyD...60..259R、doi :10.1016/0167-2789(92)90242-F。

• Blomgren, Peter; Chan, Tony F. (1998)、「カラーテレビ：ベクトル値画像の復元のための全変動法」、IEEE Transactions on Image Processing、7 (3)、画像処理、IEEE Transactions on、vol. 7、no. 3: 304-309: 304– 309、Bibcode :1998ITIP....7..304B、doi :10.1109/83.661180、PMID  18276250。

• Tony F. ChanとJackie (Jianhong) Shen (2005)、「画像処理と解析 - 変分法、PDE、ウェーブレット、および確率的手法」、SIAM、ISBN 0-89871-589-X(Rudin、Osher、Fatemi によって始められた現代の画像処理における Total Variations の詳細な解説と幅広い応用が含まれています)。