生存可能性理論

生存可能性理論は、システム状態に対する制約の下での動的システムの進化を研究する数学の分野である。^[1]^{[2]これは、さまざまな自然現象や社会現象の研究で生じる問題を形式化するために開発され、}最適制御理論や集合値解析理論と密接な関係がある。

モチベーション

生物学や社会科学において生じる多くのシステム、組織、ネットワークは、決定論的な進化どころか、確率論的な進化さえもしません。むしろ、それらはダーウィン的な進化をしており、ランダムな変動によって駆動されながらも、環境によって「生存可能」であり続けるよう制約を受けています。生存可能性理論は、1976年にジャック・モノーの著書『偶然と必然^』[3]のタイトルを、偶然と必然の差異的包含という数学的な解釈に翻訳することから始まりました。微分的包含は、（任意の初期状態 x に、x から始まる進化のサブセットを関連付ける進化システムと呼ばれる）一種の「進化エンジン」です。このセットが 1 つの進化のみで構成されている場合、システムは決定論的であると言われ、そうでない場合は偶発的であると言われます。必然性とは、各瞬間に、進化が、安定性、閉じ込め、恒常性、適応などの多義的な概念を包含する単語である、環境Kで実行可能である（残っている）という要件であり、一部の変数は、決して違反できない制約（物理的、社会的、生物学的、経済的制約などを表す）に従わなければならないという考えを表しています。したがって、実行可能性理論は、進化を支配する進化システムと、そのような進化が従わなければならない実行可能性制約との対決から始まります。これらには共通の特徴があります。 $x'(t)\in F(x(t))$ $x(t)\in K$

人間の脳によって設計されたシステム、つまり、エンジニアリング（制御理論や微分ゲーム）における進化システムに基づいて、エージェント、アクター、意思決定者が行動するという意味において
人間の脳が観察するシステムは、変数を操作する主体についてコンセンサスが得られないため、理解がより困難です。少なくとも、その主体は近視眼的であったり、怠惰だが探究心があったり、保守的だが機会主義者であったりする可能性があります。これは経済学に当てはまりますが、金融ではそれほど当てはまりません。金融では、生存可能性制約は他の多くの制約の中でも希少性制約と重なります。コネクショニストネットワークや協力ゲーム、人口動態や社会動態、神経科学、そして一部の生物学の問題にも当てはまります。

生存可能性理論は、生物進化から経済学、環境科学から金融市場、制御理論やロボット工学から認知科学に至るまで、生物に関わる多くの領域に見られる不確実性下における複雑系に支配された進化の「生存可能性制約への適応」を調査するための数学的・アルゴリズム的手法を設計・開発する。そのためには、集合値写像の微分計算（集合値解析）、微分包含、そして計量空間における微分計算（突然変異解析）を構築する必要があった。

生存可能性カーネル

生存可能性理論の基本的な問題は、環境の「生存可能性カーネル」を見つけることである。これは、環境において少なくとも1つの「生存可能な」進化が存在するような初期状態のサブセットであり、各時点において進化の状態が環境内に限定されていることを意味する。次に、生存可能性カーネルから始めて、そのような生存可能な進化を選択する制御マップを提供することが課題となる。生存可能性カーネルは環境に等しい場合があり、その場合、環境は進化システムにおいて生存可能と呼ばれる。一方、空集合は、すべての進化が最終的に制約に違反するため、リペラーと呼ばれる。

生存可能性カーネルは、何らかの「意思決定者」がシステムの進化を制御または調整することを前提としています。そうでない場合、次の問題では「ティカスティック・カーネル」（ギリシャ語で偶然を意味する「tyche」に由来）または「不変性カーネル」を検討します。これは、環境におけるすべての進化が「生存可能」となるような環境の初期状態のサブセットであり、確率微分方程式に代わる方法で、不確実性に対する「保険」の概念を包含し、不確実性を評価するのではなく、不確実性を排除する方法を提供します。

参照

注記

^ ジャン＝ピエール・オーバン (1991).生存理論. Birkhauser. ISBN 0-8176-3571-8。
^ ジャン＝ピエール・オーバン、アレクサンドル・M・バイエン、パトリック・サン＝ピエール (2011)。実行可能性理論: 新しい方向性。スプリンガー。ISBN 978-3642166839。
^ ジャック・モノ（1971年）『偶然と必然』ニューヨーク：アルフレッド・A・クノップフ、ISBN 0-394-46615-2。

参考文献

オービン J.-P. (2010) La mort du devin, l'émergence du demiurge : Essai sur la contingence, la viabilité et l'inertie des systèmes, Beauchesne
Aubin J.-P. (2000) 変異と形態学的解析：形状制御と形態形成のためのツール、Birkhäuser
Aubin J.-P. (1997) 動的経済理論：実行可能性アプローチ、Springer-Verlag
Aubin J.-P. (1996) ニューラルネットワークと定性的物理学：実行可能性アプローチ、ケンブリッジ大学出版局
Aubin J.-P. & Frankowska H. (1990) 集合値解析、Birkhäuser
Aubin J.-P. & Cellina A. (1984) 微分包含. 集合値写像と生存可能性理論 Springer-Verlag
Dordan O. (1995) 定性的なマッソン分析

[1] ジャン＝ピエール・オーバン (1991).生存理論. Birkhauser. ISBN 0-8176-3571-8。

[2] ジャン＝ピエール・オーバン、アレクサンドル・M・バイエン、パトリック・サン＝ピエール (2011)。実行可能性理論: 新しい方向性。スプリンガー。ISBN 978-3642166839。

[3] ジャック・モノ（1971年）『偶然と必然』ニューヨーク：アルフレッド・A・クノップフ、ISBN 0-394-46615-2。