ビリアル質量

天体物理学において、ビリアル質量とは、ビリアル定理が適用されるという仮定のもと、重力で束縛された天体物理系の質量である。銀河形成と暗黒物質ハローの文脈において、ビリアル質量は、重力で束縛された系のビリアル半径内に囲まれた質量、すなわち、系がビリアル定理に従う半径内に含まれる質量として定義される。ビリアル半径は「トップハット」モデルを用いて決定される。銀河となる運命にある球状の「トップハット」密度摂動は膨張を開始するが、質量が重力によって収縮するため、膨張は停止し、球体が平衡状態に達するまで反転する。この状態はビリアル化されると言われる。この半径内では、球体は平均運動エネルギーが平均位置エネルギーのマイナス1/2倍に等しいというビリアル定理に従い、この半径がビリアル半径を定義する。 ${\displaystyle r_{\rm {vir}}}$ ${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle }$

ビリアル半径

重力で束縛された天体物理系のビリアル半径とは、ビリアル定理が適用される半径である。これは、密度が系の赤方偏移における宇宙の臨界密度に過密度定数を乗じた値に等しくなる半径として定義される。 ${\displaystyle \rho_{c}}$ ${\displaystyle \Delta _{c}}$

$${\displaystyle \rho (<r_{\rm {vir}})=\Delta _{c}\rho _{c}(t)=\Delta _{c}{\frac {3H^{2}(t)}{8\pi G}},}$$

ここで、 はその半径内のハローの平均密度、はパラメータ、は宇宙の臨界密度、はハッブルパラメータ、 はビリアル半径である。^{[1] [2]}ハッブルパラメータの時間依存性は、ハッブルパラメータが時間とともに変化するため、システムの赤方偏移が重要であることを示している。今日のハッブルパラメータはハッブル定数と呼ばれ、宇宙の歴史の初期の時点におけるハッブルパラメータと同じではない。言い換えれば、異なる赤方偏移における。過密度は、 、の 場合で近似される 。^{[3] [4]}これは物質の密度パラメータに依存するため、その値は使用する宇宙論モデルに依存する。アインシュタイン–ド・ジッターモデルでは、 に等しい。ただし、 の正確な値は宇宙論に依存するため、この定義は普遍的ではない。アインシュタイン–ド・ジッターモデルでは、密度パラメータは物質のみに起因すると仮定され、 の場合で仮定される。これを、現在受け入れられている宇宙論モデルであるΛCDMモデルと比較してみましょう。この場合、（赤方偏移がゼロのとき、赤方偏移が増加すると値はアインシュタイン・ド・ジッター値に近づき、その後、空のド・ジッター宇宙では56.65に低下します。）しかしながら、共通の定義を使用する目的で、また長周期1090 > z > 0.87に対して正しい1桁の丸めを与えるために、通常は と仮定されます。これは、ビリアル半径については 、ビリアル質量については と表記されます。この慣例を用いると、平均密度は次のように与えられます。 ${\displaystyle \rho (<r_{\rm {vir}})}$ ${\displaystyle \Delta _{c}}$ ${\displaystyle \rho _{c}(t)={\frac {3H^{2}(t)}{8\pi G}}}$ ${\displaystyle H^{2}(t)=H_{0}^{2}[\オメガ _{r}(1+z)^{4}+\オメガ _{m}(1+z)^{3}+(1-\オメガ _{tot})(1+z)^{2}+\オメガ _{\Lambda }]}$ ${\displaystyle r_{\rm {vir}}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \Delta _{c}}$ $${\displaystyle \Delta _{c}\approx 18\pi ^{2}+82x-39x^{2},}$$ ${\textstyle x=\オメガ _{m}(z)-1}$ ${\displaystyle \オメガ _{m}(z)={\frac {\オメガ _{0}(1+z)^{3}}{E(z)^{2}}},}$ ${\displaystyle \Omega_{0}=\Omega_{m}(0)={\frac{8\piG\rho_{0}}{3H_{0}^{2}}},}$ ${\displaystyle E(z)={\frac {H(z)}{H_{0}}}}$ ${\displaystyle \オメガ _{m}(z)}$ ${\displaystyle 18\pi ^{2}\approx 178}$ ${\displaystyle \Delta _{c}}$ ${\displaystyle \Omega _{m}=1}$ ${\displaystyle \オメガ _{m}=0.3}$ ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0.7}$ ${\displaystyle \Delta _{c}\approx 100}$ ${\displaystyle \Delta _{c}=200}$ ${\displaystyle r_{200}}$ ${\displaystyle M_{200}}$ $${\displaystyle \rho (<r_{200})=200\rho _{c}(t)=200{\frac {3H^{2}(t)}{8\pi G}}.}$$

密度定数の他の表記法としては、行われる解析の種類に応じて、、またはがあり、その場合、ビリアル半径とビリアル質量は関連する下付き文字で表されます。 ^[2]${\displaystyle \Delta _{c}=500}$ ${\displaystyle \Delta _{c}=1000}$

ビリアル質量の定義

ビリアル半径と密度超過の慣性から、ビリアル質量は次の関係式で求められる。 ${\displaystyle M_{\rm {vir}}}$

$${\displaystyle M_{\rm {vir}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {vir}}^{3}\rho (<r_{\rm {vir}})={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {vir}}^{3}\Delta _{c}\rho _{c}.}$$ という慣例を用いると、これは^[1]となり、ここでは前述のハッブルパラメータ、G は重力定数である。これは天体物理系のビリアル質量を定義する。 ${\displaystyle \Delta _{c}=200}$ $${\displaystyle M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}200\rho _{c}={\frac {100r_{200}^{3}H^{2}(t)}{G}},}$$ ${\displaystyle H(t)}$

暗黒物質ハローへの応用

および が与えられれば、円速度、密度プロファイル、全質量を含む暗黒物質ハローの特性を定義できる。および は、冷たい暗黒物質パラダイムでモデル化された暗黒物質ハローを記述する密度プロファイルであるNavarro–Frenk–White (NFW) プロファイルに直接関連している。NFW プロファイルは で与えられ、は臨界密度、過密度( と混同しないこと) およびスケール半径は各ハローに固有であり、集中パラメータは で与えられる。^[5]の代わりにがよく使用され、 は各ハローに固有のパラメータである。 を密度の体積にわたってビリアル半径 まで積分することで、暗黒物質ハローの全質量を計算できる。 ${\displaystyle M_{200}}$ ${\displaystyle r_{200}}$ ${\displaystyle M_{200}}$ ${\displaystyle r_{200}}$ $${\displaystyle \rho (r)={\frac {\delta _{c}\rho _{c}}{r/r_{s}(1+r/r_{s})^{2}}},}$$ ${\displaystyle \rho_{c}}$ ${\displaystyle \delta _{c}={\frac {200}{3}}{\frac {c_{200}^{3}}{\ln(1+c_{200})-{\frac {c_{200}}{1+c_{200}}}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{c}}$ ${\displaystyle r_{s}}$ ${\displaystyle c_{200}={\frac {r_{200}}{r_{s}}}}$ ${\displaystyle \delta _{c}\rho _{c}}$ ${\displaystyle \rho _{s}}$ ${\displaystyle \rho _{s}}$ ${\displaystyle r_{200}}$

${\displaystyle M=\int \limits _{0}^{r_{200}}4\pi r^{2}\rho (r)dr=4\pi \rho _{s}r_{s}^{3}[\ln({\frac {r_{200}+r_{s}}{r_{s}}})-{\frac {r_{200}}{r_{200}+r_{s}}}]=4\pi \rho _{s}r_{s}^{3}[\ln(1+c_{200})-{\frac {c_{200}}{1+c_{200}}}].}$

円速度の定義から、ビリアル半径における円速度を求めることができる。すると、暗黒物質ハローの円速度は次のように与えられる。ここで、 である。 ^[5]${\displaystyle V_{c}(r)={\sqrt {\frac {GM(r)}{r}}},}$ ${\displaystyle r_{200}}$ $${\displaystyle V_{200}={\sqrt {\frac {GM_{200}}{r_{200}}}}.}$$ $${\displaystyle V_{c}^{2}(r)=V_{200}^{2}{\frac {1}{x}}{\frac {\ln(1+cx)-(cx)/(1+cx)}{\ln(1+c)-c/(1+c)}},}$$ ${\displaystyle x=r/r_{200}}$

NFW プロファイルが一般的に使用されますが、エイナスト プロファイルや、バリオン含有量による暗黒物質の断熱収縮を考慮したプロファイルなどの他のプロファイルも、暗黒物質ハローの特徴付けに使用されます。

星、ガス、暗黒物質を含むシステム全体の質量を計算するには、各コンポーネントの密度プロファイルとともにJeans 方程式を使用する必要があります。

参照

• 暗黒物質ハロー
• ジーンズ方程式
• ナバロ・フレンク・ホワイトプロファイル
• ビリアル定理

参考文献

1. スパーク, リンダ・S. ; ギャラガー, ジョン・S. (2007). 『銀河と宇宙』 アメリカ合衆国: ケンブリッジ大学出版局. pp. 329, 331, 362. ISBN 978-0-521-67186-6。
2. White, M (2001年2月3日). 「ハローの質量」.天文学と天体物理学. 367 (1): 27– 32. arXiv : astro-ph/0011495 . Bibcode :2001A&A...367...27W. doi :10.1051/0004-6361:20000357. S2CID  18709176.
3. ブライアン、グレッグ L.; ノーマン、マイケル L. (1998). 「X線クラスターの統計的性質：解析的および数値的比較」.アストロフィジカルジャーナル. 495 (80): 80. arXiv : astro-ph/9710107 . Bibcode :1998ApJ...495...80B. doi :10.1086/305262. S2CID  16118077.
4. Mo, Houjun; van den Bosch, Frank; White, Simon (2011).銀河の形成と進化. アメリカ合衆国: ケンブリッジ大学出版局. pp. 236. ISBN 978-0-521-85793-2。
5. Navarro, Julio F.; Frenk, Carlos S.; White, Simon DM (1996). 「冷たい暗黒物質ハローの構造」. The Astrophysical Journal . 462 : 563–575 . arXiv : astro-ph/9508025 . Bibcode :1996ApJ...462..563N. doi :10.1086/177173. S2CID  119007675.