粘度溶液
偏微分方程式の解

数学において、粘性解の概念は、偏微分方程式（PDE）の「解」が何を意味するかという古典的な概念の一般化として、 1980年代初頭にピエール＝ルイ・ライオンズとマイケル・G・クランドールによって導入されました。粘性解は、例えば動的計画法（ハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式） 、微分ゲーム（ハミルトン・ヤコビ・アイザックス方程式）、あるいはフロント進化問題[1] [2]で生じる一次方程式、さらには確率的最適制御や確率的微分ゲームで生じる二次方程式など、PDEの多くの応用において自然に用いられる解の概念であることが分かっています 。

古典的な概念では、偏微分方程式は

F （ × 、 あなた 、 D あなた 、 D 2 あなた ） ＝ 0 {\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0}

領域上のu ( x ) が連続かつ微分可能で、すべての点で、、、が上記の式を満たすよう な関数が見つかる場合、領域上の u ( x ) は解を持つといえます。 × ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } × {\displaystyle x} あなた {\displaystyle u} D あなた {\displaystyle ドゥ} D 2 あなた {\displaystyle D^{2}u}

スカラー方程式が退化した楕円型（下記で定義）である場合、粘性解と呼ばれる一種の弱解を定義できます。粘性解の概念では、u はどこでも微分可能である必要はありません。または が存在しない点であっても、u が適切な一般化された意味で方程式を満たす場合があります。この定義では特定の種類の特異点のみが許容されるため、方程式の存在、一意性、および一様極限における安定性は、多くの種類の方程式において成り立ちます。 D あなた {\displaystyle ドゥ} D 2 あなた {\displaystyle D^{2}u}

意味

粘性解の定義には、いくつかの同等の表現方法があります。例えば、FlemingとSonerの著書[3]のII.4節、またはユーザーガイド[4]のセミジェットを用いた定義を参照してください。

退化した楕円
定義域内の方程式が退化した楕円型であるとは、任意の2つの対称行列 および に対して、が正定値であり、 、 、の任意の値に対して、不等式 が成り立つことを意味しています。例えば、（ここで はラプラシアン を表す）は退化した楕円型です。この場合、であり、のトレースはその固有値の和であるためです。任意の実数1階方程式は退化した楕円型です。 F （ × 、 あなた 、 D あなた 、 D 2 あなた ） ＝ 0 {\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0} Ω {\displaystyle \オメガ} X {\displaystyle X} はい {\displaystyle Y} はい − X {\displaystyle YX} × ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } あなた ∈ R {\displaystyle u\in \mathbb {R} } p ∈ R n {\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}} F （ × 、 あなた 、 p 、 X ） ≥ F （ × 、 あなた 、 p 、 はい ） {\displaystyle F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)} − Δ あなた ＝ 0 {\displaystyle -\Delta u=0} Δ {\displaystyle \Delta } F （ × 、 あなた 、 p 、 X ） ＝ − トレース （ X ） {\displaystyle F(x,u,p,X)=-{\text{trace}}(X)} X {\displaystyle X}
粘度サブソリューション
における上側半連続関数は、任意の点およびの近傍においてかつとなる任意の関数に対して が成り立つとき、粘性の観点から上記の退化した楕円方程式の部分解であると定義されます。 あなた {\displaystyle u} Ω {\displaystyle \オメガ} × 0 ∈ Ω {\displaystyle x_{0}\in \Omega } C 2 {\displaystyle C^{2}} ϕ {\displaystyle \phi } ϕ （ × 0 ） ＝ あなた （ × 0 ） {\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})} ϕ ≥ あなた {\displaystyle \phi \geq u} × 0 {\displaystyle x_{0}} F （ × 0 、 ϕ （ × 0 ） 、 D ϕ （ × 0 ） 、 D 2 ϕ （ × 0 ） ） ≤ 0 {\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leq 0}
粘性超解
における下側半連続関数は、任意の点および の近傍において かつ となる任意の関数に対して が成り立つとき、粘性の意味での上記の退化した楕円方程式の超解であると定義されます。 あなた {\displaystyle u} Ω {\displaystyle \オメガ} × 0 ∈ Ω {\displaystyle x_{0}\in \Omega } C 2 {\displaystyle C^{2}} ϕ {\displaystyle \phi } ϕ （ × 0 ） ＝ あなた （ × 0 ） {\displaystyle \phi (x_{0})=u(x_{0})} ϕ ≤ あなた {\displaystyle \phi \leq u} × 0 {\displaystyle x_{0}} F （ × 0 、 ϕ （ × 0 ） 、 D ϕ （ × 0 ） 、 D 2 ϕ （ × 0 ） ） ≥ 0 {\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geq 0}
粘度溶液
連続関数 uが偏微分方程式の粘性解であるとは、それが超解と部分解の両方であるときである。粘性に関する境界条件についてはここでは議論していないことに注意されたい。 F （ × 、 あなた 、 D あなた 、 D 2 あなた ） ＝ 0 {\displaystyle F(x,u,Du,D^{2}u)=0} Ω {\displaystyle \オメガ}

例

境界条件 における境界値問題、またはを考える。このとき、関数 は粘性解となる。 | あなた ′ （ × ） | ＝ 1 {\displaystyle |u'(x)|=1} F （ あなた ′ ） ＝ | あなた ′ | − 1 ＝ 0 {\displaystyle F(u')=|u'|-1=0} （ − 1 、 1 ） {\displaystyle (-1,1)} あなた （ − 1 ） ＝ あなた （ 1 ） ＝ 0 {\displaystyle u(-1)=u(1)=0} あなた （ × ） ＝ 1 − | × | {\displaystyle u(x)=1-|x|}

実際、境界条件は古典的に満たされ、を除いて は内部で明確に定義されていることに注意してください。したがって、粘性部分解と粘性超解の条件が で成り立つことを示すことが残っています。 がおよびの近くでで微分可能な任意の関数であると仮定します。これらの仮定から、 が成り立ちます。 が正の場合、この不等式は を意味し、については を使用します。一方、 についてはが成り立ちます。 は微分可能であるため、左極限と右極限は一致して に等しくなり、よって 、すなわち と結論付けます。したがって、は粘性部分解です。さらに、 が超解であるという事実は、およびの近くで で微分可能な関数が存在しないため、空虚に成り立ちます。これはが粘性解であることを意味します。 | あなた ′ （ × ） | ＝ 1 {\displaystyle |u'(x)|=1} × ＝ 0 {\displaystyle x=0} × ＝ 0 {\displaystyle x=0} ϕ （ × ） {\displaystyle \phi (x)} × ＝ 0 {\displaystyle x=0} ϕ （ 0 ） ＝ あなた （ 0 ） ＝ 1 {\displaystyle \phi (0)=u(0)=1} ϕ （ × ） ≥ あなた （ × ） {\displaystyle \phi (x)\geq u(x)} × ＝ 0 {\displaystyle x=0} ϕ （ × ） − ϕ （ 0 ） ≥ − | × | {\displaystyle \phi (x)-\phi (0)\geq -|x|} x {\displaystyle x} lim x → 0 + ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) x ≥ − 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\geq -1} | x | / x = s g n ( x ) = 1 {\displaystyle |x|/x=sgn(x)=1} x > 0 {\displaystyle x>0} x < 0 {\displaystyle x<0} lim x → 0 − ϕ ( x ) − ϕ ( 0 ) x ≤ 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1} ϕ {\displaystyle \phi } ϕ ′ ( 0 ) {\displaystyle \phi '(0)} | ϕ ′ ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle |\phi '(0)|\leq 1} F ( ϕ ′ ( 0 ) ) ≤ 0 {\displaystyle F(\phi '(0))\leq 0} u {\displaystyle u} u {\displaystyle u} ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} x = 0 {\displaystyle x=0} ϕ ( 0 ) = u ( 0 ) = 1 {\displaystyle \phi (0)=u(0)=1} ϕ ( x ) ≤ u ( x ) {\displaystyle \phi (x)\leq u(x)} x = 0 {\displaystyle x=0} u {\displaystyle u}

実際、そのような問題に対する粘性解は唯一であると証明できる。唯一性の部分は、より洗練された議論を必要とする。 u {\displaystyle u}

議論

に向かって収束する解の族。 u ε {\displaystyle u_{\varepsilon }} u ( x ) = 1 − | x | {\displaystyle u(x)=1-|x|}

前述の境界値問題は、という単一の空間次元におけるアイコナール方程式であり、解は領域の境界までの符号付き距離関数であることがわかっています。また、前の例では、 の符号の重要性にも注意してください。特に、同じ境界条件を持つ偏微分方程式の粘性解は です。これは、 がゼロに近づくにつれて解が粘性消失問題の極限解となり、が粘性消失問題 の極限解であることを観察することで説明できます。[5]が各 に対して偏微分方程式を解くことは容易に確認できます。さらに、 が消えるにつれて解の族は解に収束します（図を参照）。 f = 1 {\displaystyle f=1} F {\displaystyle F} − F = 0 {\displaystyle -F=0} u ( x ) = | x | − 1 {\displaystyle u(x)=|x|-1} u ( x ) = 1 − | x | {\displaystyle u(x)=1-|x|} F ( u ′ ) = [ u ′ ] 2 − 1 = ε u ″ {\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\varepsilon u''} ε {\displaystyle \varepsilon } u ( x ) = | x | − 1 {\displaystyle u(x)=|x|-1} − F ( u ′ ) = 1 − [ u ′ ] 2 = ε u ″ {\displaystyle -F(u')=1-[u']^{2}=\varepsilon u''} u ε ( x ) = ε [ ln ⁡ ( cosh ⁡ ( 1 / ε ) ) − ln ⁡ ( cosh ⁡ ( x / ε ) ) ] {\displaystyle u_{\varepsilon }(x)=\varepsilon [\ln(\cosh(1/\varepsilon ))-\ln(\cosh(x/\varepsilon ))]} F ( u ′ ) = [ u ′ ] 2 − 1 = ε u ″ {\displaystyle F(u')=[u']^{2}-1=\varepsilon u''} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} u ε {\displaystyle u_{\varepsilon }} u = 1 − | x | {\displaystyle u=1-|x|} ε {\displaystyle \varepsilon }

基本的なプロパティ

粘性解の 3 つの基本的な特性は、存在、一意性、安定性です。

  • 解の一意性は、方程式に関するいくつかの追加の構造的仮定を必要とする。しかし、これは非常に多くの種類の退化した楕円型方程式に対して証明することができる。[4]これは比較原理の直接的な帰結である。比較原理が成り立つ簡単な例をいくつか挙げる。
  1. u + H ( x , ∇ u ) = 0 {\displaystyle u+H(x,\nabla u)=0} H は両方の変数において均一に連続します。
  2. (一様楕円型の場合)となるので、任意の および に対して、すべての変数に関して、リプシッツとなります。また、ある に対しても当てはまります。 F ( D 2 u , D u , u ) = 0 {\displaystyle F(D^{2}u,Du,u)=0} F {\displaystyle F} r ≤ s {\displaystyle r\leq s} X ≥ Y {\displaystyle X\geq Y} F ( Y , p , s ) ≥ F ( X , p , r ) + λ | | X − Y | | {\displaystyle F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda ||X-Y||} λ > 0 {\displaystyle \lambda >0}
  • 解の存在は、比較原理が成り立ち、境界条件が何らかの方法で（ディリクレ境界条件の場合は障壁関数を介して）強制できるすべての場合に成立する。一次方程式の場合、粘性消失法[6] [2]を用いて、またはほとんどの方程式の場合、ペロン法[7] [8] [2]を用いて解を得ることができる。粘性の意味で、境界条件の一般化された概念が存在する。一般化された境界条件を持つ境界問題の解は、比較原理が成り立つ限り、解くことができる。[4]
  • における解の安定性は、次のように成り立つ：解（または部分解、超解）の列の局所一様極限は、解（または部分解、超解）である。より一般的には、粘性部分解および超解の概念は、半緩和極限によっても保存される。[4] L ∞ {\displaystyle L^{\infty }}

歴史

粘性解という用語が初めて登場するのは、1983年にマイケル・G・クランドールとピエール＝ルイ・ライオンズがハミルトン・ヤコビ方程式に関して行った研究である[6]。この名称は、粘性消失法によって解の存在が得られたという事実に由来する。解の定義は、実際にはローレンス・C・エバンスによって1980年に既に与えられていた[9]。その後、1984年にクランドール、エバンス、ライオンズの共同研究において、ハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解の定義と性質が洗練された[10]。

粘性解に関する研究は、数年間にわたり一次方程式に集中していた。これは、二次楕円方程式が極めて特殊な場合を除いて一意の粘性解を持つかどうかが不明であったためである。画期的な成果は、ロバート・ジェンセンが1988年に導入した手法によってもたらされた。この手法は、ほぼすべての場所で二次微分を持つ解の正規近似を用いて比較原理を証明するものであった（この証明の現代版では、sup-畳み込みとアレクサンドロフの定理によって実現されている）。[11]

その後、粘性解の概念は退化した楕円型偏微分方程式の解析においてますます広く用いられるようになった。BarlesとSouganidisは、その安定性特性に基づき、有限差分法の収束性に関する非常に単純かつ一般的な証明を得た。[12]粘性解のさらなる正則性特性は、特に一様楕円型の場合において、Luis Caffarelliの研究によって得られた。[13]粘性解は楕円型偏微分方程式の研究において中心的な概念となっている。特に、粘性解は無限大ラプラシアンの研究において不可欠である。[14]

現代的なアプローチでは、解の存在はほとんどの場合ペロン法によって得られます。[4]粘性消失法は、人工的な粘性を追加しても古典的な解の存在が保証されないため、一般に2次方程式には実用的ではありません。さらに、粘性解の定義には一般に物理的な粘性は含まれません。しかし、粘性解の理論は粘性流体とは無関係であると考えられることもありますが、非回転流体は確かにハミルトン-ヤコビ方程式で記述できます。[15]この場合、粘性は非回転の非圧縮性流体の体積粘性に対応します。提案された他の名前には、先駆者に敬意を表してクランドール-ライオンズ解、安定性特性を指す-弱解、または最も特徴的な特性を指す 比較解などがあります。 L ∞ {\displaystyle L^{\infty }}

参考文献

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  2. ^ abc Tran, Hung V. (2021).ハミルトン・ヤコビ方程式：理論と応用. プロビデンス、ロードアイランド州. ISBN 978-1-4704-6511-7. OCLC  1240263322。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  3. ^ ウェンデル・H・フレミング、H・M・ソナー（2006年）、制御されたマルコフ過程と粘性解。シュプリンガー、ISBN 978-0-387-26045-7。
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  14. ^ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (2001)「最適リプシッツ拡張と無限大ラプラシアン」変分法と偏微分方程式、13 (2): 123– 129、doi :10.1007/s005260000065、S2CID  1529607
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