アフィン変換

アフィン自己相似性を示すシダのようなフラクタル（バーンズリーのシダ）の画像。シダの葉はそれぞれ、他の葉とアフィン変換によって結びついています。例えば、赤い葉は、反射、回転、拡大縮小、平行移動を組み合わせることで、濃い青の葉にも、薄い青の葉にも変換できます。

ユークリッド幾何学において、アフィン変換またはアフィニティ（ラテン語のaffinis（接続された）に由来）は、直線と平行性は保持しますが、ユークリッド距離と角度は必ずしも保持しない幾何学的変換です。

より一般的には、アフィン変換はアフィン空間（ユークリッド空間は特定のアフィン空間である）の自己同型であり、すなわち、アフィン空間を自身に写像する関数であり、その際にアフィン部分空間の次元（つまり、点を点に、直線を直線に、平面を平面に、といった具合に写像する）と平行線分の長さの比の両方を維持する。したがって、平行なアフィン部分空間の集合は、アフィン変換後も平行のままである。アフィン変換は、直線間の角度や点間の距離を必ずしも維持するわけではないが、直線上にある点間の距離の比は維持する。

X がアフィン空間の点集合であるとき、 X上のすべてのアフィン変換は、 X上の線型変換とXの平行移動との合成として表すことができます。純粋な線型変換とは異なり、アフィン変換はアフィン空間の原点を保存する必要はありません。したがって、すべての線型変換はアフィン変換ですが、すべてのアフィン変換が線型であるとは限らないのです。

アフィン変換の例には、平行移動、スケーリング、相似、相似、反射、回転、双曲回転、シアーマッピング、およびこれらの任意の組み合わせと順序による合成が含まれます。

アフィン空間を射影空間の無限遠超平面の補として見ると、アフィン変換は、その射影空間の射影変換であり、無限遠超平面を不変に保ち、その超平面の補空間に制限されます。

アフィン変換の一般化は、同じ体 k 上の 2 つの（潜在的に異なる）アフィン空間間のアフィン写像 [1] （またはアフィン準同型写像、アフィン写像）である。( X , V , ^k )と( Z , W , k )を2つのアフィン空間とし、XとZを点集合、VとW をそれぞれ体k上の関連するベクトル空間とする。写像f  : X → Zがアフィン写像であるとは、X内のすべてのx, yに対してm _f ( x − y ) = f ( x ) − f ( y )となるような線型写像m _f  : V → Wが存在することを意味する。^[2]

意味

X を体 k上のアフィン空間とし、V をその付随ベクトル空間とする。アフィン変換とは、Xからそれ自身への単射 fであり、これはアフィン写像である。これは、VからVへの線型写像g が次式によって適切に定義されていることを意味する。ここで、通常通り、2点の減算は2点目から1点目への自由ベクトルを表し、「適切に定義されている」とは、次を意味することを意味する。 ${\displaystyle g(y-x)=f(y)-f(x);}$ ${\displaystyle y-x=y'-x'}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)=f(y')-f(x').}$

Xの次元が少なくとも2であれば、 Xの半アフィン変換 fはXからそれ自身への単射であり、次を満たす: ^[3]

1. Xのすべてのd次元アフィン部分空間 Sに対して、f ( S )もXのd次元アフィン部分空間です。
2. SとTがXの平行アフィン部分空間である場合、f ( S )と f ( T )は平行です。

これら 2 つの条件はアフィン変換によって満たされ、「 f は平行性を維持する」という表現が正確に意味するところを表現します。

これらの条件は独立ではなく、2番目の条件は1番目の条件から従う。^[4]さらに、体kが少なくとも3つの要素を持つ場合、最初の条件は次のように簡略化される。fは共線写像であり、つまり直線を直線に写像する。^[5]

構造

アフィン空間の定義により、V はXに作用するので、X × Vのすべてのペアに対して、 Xの点yが関連付けられます。この作用を で表すことができます 。ここでは、 Vの元を表す2つの互換性のある表記法であるという規則を使用します 。 Xの点cを固定すると、関数m _c  : X → V をm _c ( x ) = cx →で定義できます。任意のcに対して、この関数は1対1であるため、 の逆関数m _c ⁻¹  : V → Xはで与えられます。これらの関数を使用して、次を定義することで、 X を（点cに関して）ベクトル空間に変換できます。^[6]${\displaystyle (x,\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\vec {v}}(x)=y}$ ${\displaystyle {\vec {v}}={\textbf {v}}}$ ${\displaystyle m_{c}^{-1}({\textbf {v}})={\vec {v}}(c)}$

• ${\displaystyle x+y=m_{c}^{-1}\left(m_{c}(x)+m_{c}(y)\right),{\text{ for all }}x,y{\text{ in }}X,}$ そして
• ${\displaystyle rx=m_{c}^{-1}\left(rm_{c}(x)\right),{\text{ for all }}r{\text{ in }}k{\text{ and }}x{\text{ in }}X.}$

このベクトル空間は原点cを持ち、形式的にはアフィン空間Xと区別する必要があるが、慣例的には原点を指定した後に同じ記号で表記し、ベクトル空間であることを明示する。この同一視により、点をベクトルと見なし、ベクトルを点と見なすことが可能となる。

Vの任意の線形変換 λに対して、関数L ( c , λ ): X → Xを次のように 定義できる。$${\displaystyle L(c,\lambda )(x)=m_{c}^{-1}\left(\lambda (m_{c}(x))\right)=c+\lambda ({\vec {cx}}).}$$

このとき、L ( c , λ )は点cを固定したXのアフィン変換となる。^{[7]これは原点}cを持つベクトル空間として見たXの線型変換である。

σ をXの任意のアフィン変換とする。X内の点cを選び、ベクトルT _wによるXの平行移動を考える。平行移動はアフィン変換であり、アフィン変換の合成はアフィン変換である。このcの選択に対して、 Vの唯一の線形変換λが存在し、^[8]となる。つまり、 X の任意のアフィン変換は、（ベクトル空間として見た）Xの線形変換とXの平行移動の合成である。 ${\displaystyle {\mathbf {w}}={\overrightarrow {c\sigma (c)}}}$ $${\displaystyle \sigma (x)=T_{\mathbf {w}}\left(L(c,\lambda )(x)\right).}$$

このアフィン変換の表現は、しばしばアフィン変換の定義として扱われる（原点の選択は暗黙的である）。^{[9] [10] [11]}

表現

上に示したように、アフィン写像は2つの関数、すなわち並進写像と線型写像の合成である。通常のベクトル代数では、線型写像を表すために行列の乗算を用い、並進写像を表すためにベクトルの加算を用いる。形式的には、有限次元の場合、線型写像を可逆行列の乗算、並進写像をベクトルの加算として表すと、ベクトルに作用するアフィン写像は次のように表すことができる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$$

拡張マトリックス

2次元平面上のアフィン変換は、3次元における線形変換によって実行できます。平行移動はZ軸に沿ったせん断によって行われ、回転はZ軸を中心に行われます。

拡張行列と拡張ベクトルを用いることで、単一の行列乗算で平行移動と線形写像の両方を表現することが可能です。この手法では、全てのベクトルの末尾に「1」を追加し、全ての行列の下部にゼロの行を追加し、右側に平行移動ベクトルとなる列を追加し、右下隅に「1」を追加する必要があります。が行列である場合、 ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} \\1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&A&&\mathbf {b} \\0&\cdots &0&1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\1\end{bmatrix}}}$$

は次のものと同等である

$${\displaystyle \mathbf {y} =A\mathbf {x} +\mathbf {b} .}$$

上記の拡張行列はアフィン変換行列と呼ばれます。一般的な場合、最後の行ベクトルが に制限されない場合、行列は射影変換行列になります（射影変換 を実行するためにも使用できるため）。 ${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}0&\cdots &0&1\end{array}}\right]}$

この表現は、すべての可逆アフィン変換の集合をとの半直積として表す。これは関数の合成の作用下にある群であり、アフィン群と呼ばれる。 ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,K)}$

通常の行列ベクトルの乗算では、常に原点が原点に写像されるため、原点が必然的に他の点に写像されるような並進を表すことはできません。すべてのベクトルに追加の座標「1」を付与することで、写像する空間を、次元を追加した空間のサブセットとして本質的に考えることができます。その空間では、元の空間は、追加座標が1であるサブセットを占めます。したがって、元の空間の原点は にあります。すると、高次元空間の線形変換（具体的には、せん断変換）によって、元の空間内で並進が可能になります。高次元空間の座標は、同次座標の例です。元の空間がユークリッド である場合、高次元空間は実射影空間です。 ${\displaystyle (0,0,\dotsc ,0,1)}$

同次座標系を使用する利点は、任意の数のアフィン変換を、それぞれの行列を乗算することで1つにまとめることができることです。この特性は、コンピュータグラフィックス、コンピュータビジョン、ロボット工学において広く利用されています。

拡張行列の例

平面上で非退化三角形を定義する3点、または3次元空間上で非退化四面体を定義する4点、あるいは一般にn次元空間上で非退化単体を定義するn + 1点x ₁ , ..., x _{n +1}があるとする。対応する移動先点y ₁ , ..., y _{n +1}があるとする。これらの新しい点は任意の次元数の空間に存在する可能性がある。（さらに、新しい点は非退化単体を形成する必要はなく、互いに異なる必要もない。）すべてのi に対してアフィン変換を実現する 唯一の拡張行列Mは、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{i}\\1\end{bmatrix}}=M{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{i}\\1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}\mathbf {y} _{1}&\cdots &\mathbf {y} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}&\cdots &\mathbf {x} _{n+1}\\1&\cdots &1\end{bmatrix}}^{-1}.}$$

プロパティ

スクイーズ マッピングの1つのパラメータのグループは、ここでは双曲セクターで示されている領域を保存します。

保存されるプロパティ

アフィン変換では次のものが保存されます。

1. 点間の共線性: 同じ直線上にある 3 つ以上の点 (共線点と呼ばれる) は、変換後も共線性を維持します。
2. 平行性: 2 つ以上の平行な線は、変換後も平行のままです。
3. 集合の凸性：凸集合は変換後も凸であり続ける。さらに、元の集合の端点は変換後の集合の端点に写像される。^[12]
4. 平行線分の長さの比: 点および、およびで定義される別個の平行線分について、との比はおよびの比と同じです。${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{3}}$ ${\displaystyle p_{4}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{3}p_{4}}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{1})f(p_{2})}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f(p_{3})f(p_{4})}}}$
5. 重み付けされた点の集合の重心。

グループ

アフィン変換は逆変換なので、その行列表現に現れる正方行列も 逆変換である。したがって、逆変換の行列表現は ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}&A^{-1}&&-A^{-1}{\vec {b}}\ \\0&\ldots &0&1\end{array}}\right].}$$

可逆なアフィン変換（アフィン空間からそれ自身への変換）はアフィン群を形成します。アフィン群は次数の一般線型群を部分群として持ち、それ自体は次数の一般線型群の部分群です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$

相似変換は、スカラー と直交行列 の積である部分群 を形成します。例えば、アフィン変換が平面 に作用し、の行列式が1 または −1 である場合、この変換は等面積写像となります。このような変換は、等アフィン群と呼ばれる部分群を形成します。^[13]等アフィンかつ相似である変換は、ユークリッド距離でとられた平面 の等長写像です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

これらの群はそれぞれ、向きを保存する、あるいは正のアフィン変換のサブグループを持ちます。つまり、 の行列式が正であるような変換です。後者の場合、3次元では、これは剛体変換（真回転と純粋な並進） のグループです。${\displaystyle A}$

固定点がある場合、それを原点とすれば、アフィン変換は線形変換に帰着します。これにより、変換の分類と理解が容易になります。例えば、変換を特定の軸に対する特定の角度の回転として記述する方が、変換の全体的な動作をより明確に理解できる場合があります。ただし、これは応用分野や文脈によって異なります。

アフィン写像

2つのアフィン空間間のアフィン写像は、点上の写像であり、ベクトル（つまり、空間上の点間のベクトル）に線型的に作用する。記号的に、任意の点のペアに対して、以下の線型変換が成立する。 ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle P,Q\in {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle {\overrightarrow {f(P)~f(Q)}}=\varphi ({\overrightarrow {PQ}})}$$ または $${\displaystyle f(Q)-f(P)=\varphi (Q-P).}$$

この定義は、次のように他のいくつかの方法で解釈できます。

原点が選択され、その像 が表される場合、任意のベクトル に対して次のようになります。 ${\displaystyle O\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(O)\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

$${\displaystyle f\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (B+\varphi ({\vec {x}})).}$$

原点も選択されると、これはを送るアフィン変換として分解することができ、すなわち ${\displaystyle O'\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle O\mapsto O'}$

$${\displaystyle g\colon (O+{\vec {x}})\mapsto (O'+\varphi ({\vec {x}})),}$$ 続いてベクトルによる変換が行われます。 ${\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {O'B}}}$

結論は、直感的には、変換と線形マップから構成されるということです。 ${\displaystyle f}$

代替定義

同じ体上の2つのアフィン空間 とが与えられたとき、関数がアフィン写像となるのは、任意の重み付き点の族に対して次が 成り立つ場合かつその場合 のみである。 ^[14] 言い換えれば、は重心を保存する。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{(P_{i},\lambda _{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}\lambda _{i}=1,}$$ $${\displaystyle f\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}P_{i}\right)=\sum _{i\in I}\lambda _{i}f(P_{i}).}$$ ${\displaystyle f}$

例

を三次元ユークリッド空間、を平面とし、両者に直交座標系が備わっているとする。が平行射影、あるいはより一般的には軸測射影によって生成される場合、 はアフィンかつ射影的である。したがって、これは階数2の行列と列ベクトルを 用いて で表すことができる。 この点については、 「軸測射影における座標計算」のセクションでより詳細に扱う。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f\colon \,{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\longmapsto {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+\,b}$$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{2\times 3}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle b=(0,0)^{\mathsf {T}},}$

歴史

数学用語としての「アフィン」という言葉は、1748年のオイラーの著書『無限解析入門』の中で、曲線の接線との関連で定義されている。^[15] フェリックス・クラインは「アフィン変換」という用語をメビウスとガウスに帰している。^[10]

画像変換

デジタル画像処理への応用において、アフィン変換はゴムシートに印刷し、その端を平面に平行に伸ばすのに似ています。この変換では、移動したピクセルの値を近似するために強度補間を必要とするピクセルを再配置します。画像処理アプリケーションにおける画像変換の標準は双三次補間です。アフィン変換は、以下の例に示すように、画像の拡大縮小、回転、平行移動、鏡像化、およびせん断を行います。^[16]

アフィン変換は、2枚以上の画像を位置合わせ（レジストレーション）するレジストレーション処理に適用できます。画像レジストレーションの一例として、複数の画像をつなぎ合わせてパノラマ画像を生成することが挙げられます。

アフィンワーピング

アフィン変換は平行線を維持します。ただし、伸縮変換とせん断変換は、次の例に示すように、形状を歪ませます。

これは画像の歪みの一例です。ただし、アフィン変換では曲面への投影や放射状の歪みは実現できません。

飛行機の中で

相似性。三角形 A ₁ B ₁ Z、B ₁ C ₁ Z、A ₁ C _{1 Z は、それぞれ A 2} B ₂ Z、B ₂ C ₂ Z、A ₂ C ₂ Zにマッピングされます。

ユークリッド平面におけるすべてのアフィン変換は、平行移動と点を固定するアフィン変換の組み合わせである。後者は

• 相同性、
• 固定点の周りの回転、
• 2方向（必ずしも垂直ではない）のスケーリング（負のスケーリング係数を持つ場合もある）。これには反射が含まれる。
• せん断マッピング
• スクイーズマッピング。

ユークリッド平面上の2つの非退化三角形 ABCとA′B′C′に対して、 AをA′に、BをB′に、CをC′に写す唯一のアフィン変換T が存在する。ABCとA′B′C′はそれぞれ、アフィン座標系と重心座標系を定義する。点Pが与えられたとき、点T (P) は、第2の座標系における P の座標が、第1の座標系におけるPの座標と同じである点である。

アフィン変換は長さや角度を考慮せず、面積に定数倍する。

A′B′C′の面積/ ABCの面積。

与えられたTは直接的(方向を尊重) または間接的(方向を逆にする)のいずれかであり、これは三角形の方向を比較することによって決定できます。

例

実数を超える

およびにおけるおよびの関数は、まさに実数直線のアフィン変換です。 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=mx+c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\neq 0}$

平面幾何学

実平面上の単純なアフィン変換

単位正方形に様々な2次元アフィン変換行列を適用した場合の効果。反射行列はスケーリング行列の特殊なケースであることに注意してください。

では、左に示した変換は次に示すマップを使用して実行されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-100\\-100\end{bmatrix}}}$$

元の三角形（赤色）の3つの頂点を変換すると、3つの新しい点が生成され、新しい三角形（青色）を形成します。この変換により、元の三角形は歪んで平行移動します。

実際、すべての三角形はアフィン変換によって互いに関連しています。これはすべての平行四辺形にも当てはまりますが、すべての四角形には当てはまりません。

参照

• アナモルフォーシス– アフィン変換の芸術的応用
• アフィン幾何学
• 3D投影
• ホモグラフィ
• 平面（幾何学）
• ベント関数
• 多重線形多項式

注記

1. バーガー 1987、38ページ。
2. サミュエル 1988、11ページ。
3. スナッパー＆トロイヤー 1989年、65ページ。
4. スナッパー＆トロイヤー 1989年、66ページ。
5. スナッパー＆トロイヤー 1989年、69ページ。
6. スナッパー＆トロイヤー 1989年、59ページ。
7. スナッパー＆トロイヤー 1989、76、87ページ。
8. スナッパー＆トロイヤー 1989年、86ページ。
9. ワン 1993、19～20頁。
10. クライン 1948、70ページ。
11. ブラナン、エスプレン&グレイ、1999年、p. 53.
12. ラインハルト・シュルツ. 「アフィン変換と凸性」(PDF) . 2017年2月27日閲覧。
13. オズワルド・ヴェブレン（1918）射影幾何学、第2巻、pp.105-7。
14. シュナイダー、フィリップ・K.、エバリー、デイビッド・H. (2003). コンピュータグラフィックスのための幾何学的ツール. モーガン・カウフマン. p. 98. ISBN  978-1-55860-594-7。
15. オイラー、レオンハルト (1748)。 『analysin infinitorum』の紹介（ラテン語）。 Vol. II.第 II 巻、宗派。 XVIII、芸術。 442
16. ゴンザレス、ラファエル（2008年）。「デジタル画像処理 第3回」ピアソンホール。ISBN 9780131687288。

参考文献

• ベルガー、マルセル（1987）、幾何学I、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 3-540-11658-3
• ブランナン、デイビッド・A.; エスプラン、マシュー・F.; グレイ、ジェレミー・J. (1999) 『幾何学』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-59787-6
• 野水 勝美;佐々木晋 (1994)、アフィン微分幾何学(新版)、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-44177-3
• クライン、フェリックス（1948）[1939]、「高度な視点からの初等数学：幾何学」、ドーバー
• サミュエル、ピエール（1988）、射影幾何学、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-96752-4
• シャープ, RW (1997).微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン計画の一般化. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-94732-9。
• スナッパー、エルンスト; トロイヤー、ロバート J. (1989) [1971],計量アフィン幾何学, ドーバー, ISBN 978-0-486-66108-7
• 万哲賢（1993）『有限体上の古典群の幾何学』チャートウェル・ブラット、ISBN 0-86238-326-9

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおけるアフィン変換に関連するメディア
• 「アフィン変換」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 幾何学的演算: アフィン変換、R. Fisher、S. Perkins、A. Walker、E. Wolfart。
• ワイスタイン、エリック W.「アフィン変換」。マスワールド。
• アフィン変換(Bernard Vuilleumier 著、 Wolfram デモンストレーション プロジェクト)。
• MATLABによるアフィン変換