代数構造

数学において、代数構造または代数系^{[ 1 ]}は、空でない集合A （基礎集合、キャリア集合、またはドメインと呼ばれる）、 Aに対する演算の集合（通常は加算や乗算などの2項演算）、およびこれらの演算が満たさなければならない恒等式の有限集合（公理として知られる）で構成されます

代数構造は、複数の構造を含む演算や公理を持つ他の代数構造に基づく場合があります。例えば、ベクトル空間は、体と呼ばれる第二の構造と、体の元（スカラーと呼ばれる）とベクトル空間の元（ベクトルと呼ばれる）間のスカラー乗算と呼ばれる演算を含みます。

抽象代数学は、代数構造の研究に一般的に与えられる名称です。代数構造の一般理論は、普遍代数学において形式化されています。圏論は、他の数学的構造や、同じ型の構造間の関数（準同型）を含む別の形式化です。

普遍代数学では、代数構造は代数と呼ばれます。^{[ 2 ]}この用語は曖昧である可能性があります。なぜなら、他の文脈では、代数は、体上のベクトル空間または可換環上のモジュールである代数構造だからです。

与えられた型（同じ演算と同じ法則）の構造の集合は、普遍代数学において多様体と呼ばれます。この用語は代数幾何学においても全く異なる意味で用いられ、代数多様体の略語として用いられます。圏論においては、与えられた型の構造の集合とそれらの間の準同型性は、具体的な圏を形成します。

はじめに

加算と乗算は、集合の2つの要素を組み合わせて同じ集合の3つ目の要素を生成する演算の典型的な例です。これらの演算はいくつかの代数法則に従います。例えば、 $a + (b + c) = (a + b) + c$ と $a (bc) = (ab) c$ は結合法則であり、 $a + b = b + a$ と $ab = ba$ は交換法則です。数学者が研究する多くのシステムには、通常の算術の法則の一部に従う演算がありますが、必ずしもすべてに従うわけではありません。例えば、3次元空間における物体の可能な動きは、物体を最初に動かし、次に新しい位置から2番目の動きを行うことで組み合わせることができます。正式には剛体運動と呼ばれるこのような動きは、結合法則に従いますが、交換法則を満たしません

特定の法則に従う1つ以上の演算を持つ集合は、代数構造と呼ばれます。新しい問題がそのような代数構造と同じ法則を含む場合、その構造の法則のみを用いて証明されたすべての結果を、新しい問題に直接適用することができます。

一般的に、代数構造は任意の演算の集合を含む可能性があり、これには2つ以上の要素を組み合わせる演算（多項式演算）や、引数を1つだけ取る演算（単項演算）あるいは引数を0個取る演算（零項演算）が含まれます。以下に挙げる例は決して完全なリストではありませんが、学部課程で教えられる最も一般的な構造が含まれています。

共通公理

等式公理

代数構造の公理は、しばしば恒等式、つまり等号の両辺が代数構造と変数の演算を含む式であるような方程式の形をとります。恒等式の変数を代数構造の任意の要素に置き換えても、等式は成り立ちます。以下に一般的な例をいくつか示します

交換法則: 代数構造における任意の $x$ と $y$ に対して、演算が可換であるとき $*$ $x*y=y*x$
結合性: 代数構造におけるすべての $x$ 、 $y$ 、 $z$ に対して、演算は結合的である $*$ $(x*y)*z=x*(y*z)$
左分配法則: ある演算が別の演算に関して左分配法則であるとは、代数構造における任意の $x$ 、 $y$ 、 $z$ に対してであるときを言う（多くの一般的な例では2番目の演算は加算であるため、ここでは2番目の演算をと表記する）。 $*$ $+$ $x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$ $+$
右分配法則: ある演算が別の演算に関して右分配法則を持つとは、代数構造における任意の $x$ 、 $y$ 、 $z$ に対して成り立つことを意味する $*$ $+$ $(y+z)*x=(y*x)+(z*x)$
分配法則: ある演算が別の演算に関して分配法則であるとは、それが左分配法則と右分配法則の両方を満たす場合を指します。演算が可換である場合、左分配法則と右分配法則はどちらも分配法則と等価です $*$ $+$ $*$

存在公理

一般的な公理の中には、存在節を含むものがあります。一般的に、このような節は、さらなる演算を導入し、存在節を新しい演算を含む恒等式に置き換えることで回避できます。より正確には、「すべての $X$ に対して、となる $y$ が存在する」という形の公理を考えてみましょう。ここで、 $Xは$ $k$ 組の変数です。Xの各値に対して $yの$ $特定の値を選択すると、$ $k$ 個の引数を持つ演算と見なせる関数が定義され、公理は恒等式になります $f(X,y)=g(X,y)$ $\varphi:X\mapsto y,$ $f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).$

このような補助演算の導入は公理の記述を多少複雑にするが、いくつかの利点もある。特定の代数構造が与えられた場合、存在公理が満たされることの証明は、一般的に補助関数の定義と、簡単な検証によって完結する。また、代数構造における計算では、補助演算を明示的に用いるのが一般的である。例えば、数の場合、加法逆元は単項マイナス演算によって得られる。 $x\mapsto -x.$

また、普遍代数学において、多様体とは、すべての公理が恒等式であるという条件の下で、同じ演算および公理を共有する代数構造のクラスです。前述のことから、上記の形式の存在公理は多様体の定義において受け入れられることがわかります。

最も一般的な存在公理のいくつかを以下に示します。

単位元: 二項演算が単位元を持つとは、構造内のすべての $x$ に対して、となる元 $e$ が存在する場合です。ここで、補助演算とは、結果として $e$ を得る、アリティが0の演算です $*$ $x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x$
逆元: $単位元e$ を持つ二項演算が与えられたとき、元 $x は$ 逆元を持つ場合、つまり、次のような元が存在する場合、逆元であると定義されます。例えば、群とは、結合的で、単位元を持ち、すべての元が逆元である二項演算を持つ代数構造です $*$ $\operatorname {inv} (x)$ $\operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.$

非等式公理

代数構造の公理は、任意の一階述語式、つまり論理接続詞（ 「and」、「or」、「not」など）と、構造の要素（部分集合ではない）に適用される論理量指定子（）を含む式です $\forall,\exists$

そのような典型的な公理は、体における逆元である。この公理は、先行する型の公理に還元することはできない。（したがって、体は普遍代数の意味で多様体を形成しない。） 「体のすべての非零元は逆元である」と述べることもできる。あるいは、同値として、この構造は単項演算 $invを$ 持ち、

\forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.

演算 $inv は、$ $x$ $= 0$ に対して定義されていない部分演算として見ることも、 0 での値が任意であり使用してはならない通常の関数として見ることもできます。

一般的な代数構造

操作を含む1セット

シンプルな構造：二項演算なし：

集合: 演算を持たない退化した代数構造S。

群のような構造：1つの二項演算。二項演算は任意の記号で表すことも、実数の通常の乗算と同様に記号を使わずに（並置して）表すこともできます。

グループ:単項演算 (逆) を持つモノイドで、逆元を生成します。
アーベル群: 二項演算が可換な群。

リング状構造またはリングイド:加算と乗算と呼ばれる2 つのバイナリ演算で、乗算が加算に分配されます。

環: 加法モノイドがアーベル群である半環。
除算環:非ゼロ元による除算が定義されている非自明な環。
可換環: 乗算演算が可換である環。
体: 可換除算環 (つまり、すべての非ゼロ要素の逆元を含む可換環)。

格子構造：meetやjoinと呼ばれる演算を含む2つ以上の二項演算が吸収則によって結合されたもの。^[³^]

完全格子: 任意の接合部が存在する格子。
有界格子:最大要素と最小要素を持つ格子。
分配格子：meetとjoinのそれぞれが他方に分配される格子。和集合と積集合の冪集合は分配格子を形成する。
ブール代数：相補的分配格子。meet と join はどちらも、他方と相補性によって定義できる。

操作を含む2つのセット

加群: アーベル群Mと環RはM上の作用素として作用する。 Rの元はスカラーと呼ばれることもあり、スカラー乗算の二項演算は関数R × M → Mであり、これはいくつかの公理を満たす。環演算を数えると、これらの系は少なくとも3つの演算を持つ。
ベクトル空間: 環Rが体、または状況によっては分割環であるモジュール。

体上の代数：体上の加群であり、加群の構造と互換性のある乗算演算も持つ。これには、加法に対する分配法性と乗法に対する線型性が含まれる。
内積空間:体Fとベクトル空間V 、定まった双線型形式V × V → Fを持つ。

ハイブリッド構造

代数構造は、半順序や位相といった非代数的な性質を持つ付加構造と共存することもできます。付加構造は、ある意味で代数構造と互換性がなければなりません

位相群: グループ演算と互換性のあるトポロジを持つグループ。
リー群: 互換性のある滑らかな多様体構造を持つ位相群。
順序付きグループ、順序付きリング、順序付きフィールド: それぞれ互換性のある半順序を持つ構造のタイプ。
アルキメデス群:アルキメデスの性質が成り立つ線形順序付けされた群。
位相ベクトル空間: Mが互換性のある位相を持つベクトル空間。
ノルムベクトル空間：両立するノルムを持つベクトル空間。そのような空間が（距離空間として）完備である場合、それはバナッハ空間と呼ばれる。
ヒルベルト空間: 実数または複素数上の内積空間であり、その内積はバナッハ空間構造を生じます。
頂点作用素代数
フォン・ノイマン代数：弱作用素位相を備えたヒルベルト空間上の作用素の*-代数

普遍代数

代数構造は、公理の異なる構成を通して定義されます。普遍代数は、そのような対象を抽象的に研究します。大きな二分法の一つは、恒等式によって完全に公理化される構造と、そうでない構造です。代数のクラスを定義するすべての公理が恒等式である場合、このクラスは多様体です（代数幾何学の代数多様体と混同しないでください）。

恒等式は、構造が許す演算と、関連する宇宙にわたって暗黙的に普遍量化された変数のみを使用して定式化された方程式です。恒等式には、許可された演算以外の接続詞、存在量化された変数、またはあらゆる種類の関係は含まれません。多様体の研究は普遍代数の重要な部分です。多様体内の代数構造は、項代数（「絶対自由代数」とも呼ばれる）を一連の恒等式によって生成された同値関係で割った商代数として理解できます。したがって、指定されたシグネチャを持つ関数のコレクションは、自由代数、項代数Tを生成します。一連の等式恒等式（公理）が与えられた場合、それらの対称な推移的閉包Eを検討できます。商代数T / Eは、代数構造または代数多様体です。したがって、たとえば、グループは、2 つの引数を取る乗算演算子mと、1 つの引数を取る逆演算子i、および引数を取らない演算子と見なすことができる定数である単位元eという 2 つの演算子を含むシグネチャを持ちます。変数x、y、zなどの (可算な) セットを考えると、項 algebra は、 m、i、eおよび変数を含むすべての可能な項のコレクションです。したがって、たとえば、m ( i ( x )、m ( x、m ( y、e ))) は項 algebra の要素になります。グループを定義する公理の 1 つは、単位元m ( x、i ( x )) = eであり、もう 1 つはm ( x、e ) = xです。公理はツリーとして表現できます。これらの方程式は、自由代数上の同値類を誘導します。したがって、商代数はグループの代数構造を持ちます。

いくつかの構造は、次のいずれかの理由で多様体を形成しません。

0 ≠ 1 であることが必要です。0 は加法単位元であり、1 は乗法単位元ですが、これは非単位元です。
体などの構造には、Sの非零元に対してのみ成立する公理がいくつかあります。代数構造が多様体であるためには、その演算がSのすべての元に対して定義されていなければなりません。部分演算は存在し得ません。

数学において最も重要な構造の一つに、不可避的に非恒等式を含む公理を持つ構造があります。例えば、体や分環などが挙げられます。非恒等式を含む構造は、多様体には見られない難題を提示します。例えば、 2つの体の直積は体ではありません。なぜならですが、体には零因子がないからです。 $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$

圏論

圏論は代数構造を研究するためのもう一つのツールです（例えば、Mac Lane 1998を参照）。圏とは、関連する射を持つオブジェクトの集合です。すべての代数構造には、準同型の概念、つまり構造を定義する演算と互換性のある任意の関数があります。このように、すべての代数構造は圏を生み出します。例えば、群の圏はすべての群をオブジェクトとして、すべての群準同型を射として持ちます。この具体的な圏は、圏論的な構造が追加された集合の圏と見なすことができます。同様に、位相群の圏（その射は連続群準同型）は、追加の構造を持つ位相空間の圏です。代数構造の圏間の忘却関手は、構造の一部を「忘れます」

圏論には文脈の代数的特徴を捉えようとする様々な概念がある。例えば

「構造」の異なる意味

表記法を少し乱用すると、「構造」という言葉は、基礎となる集合そのものではなく、構造に対する演算のみを指すこともあります。例えば、「集合に環構造を定義した」という文は、集合に環演算を定義したことを意味します。別の例として、群は代数構造、つまり演算を備えた集合と見なすことができます。 $A$ $A$ $(\mathbb{Z},+)$ $\mathbb{Z}$ $+$

参照

注釈

^ F.-V.クールマン（創始者）。"構造"。数学百科事典。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 1402006098。
^ PM Cohn. (1981) Universal Algebra、Springer、p.41
^リングイドとラティスは、どちらも2つの定義的な二項演算を持つにもかかわらず、明確に区別できます。リングイドの場合、2つの演算は分配法則によって結び付けられ、ラティスの場合、吸収法則によって結び付けられます。また、リングイドは数値モデルを持つ傾向があり、ラティスは集合論的モデルを持つ傾向があります。

参考文献

マック・レーン、サンダース著、バーコフ、ギャレット著（1999年）、代数学（第2版）、AMSチェルシー、ISBN 978-0-8218-1646-2
アンソニー・N.ミシェル著、チャールズ・J.ハーゲット著（1993年）『応用代数と関数解析』、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-67598-5
バリス、スタンリー・N.；サンカッパナヴァール、H.P.（1981）『普遍代数講座』、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-90578-3

圏論

マックレーン、サンダース(1998)、『実践数学者のためのカテゴリー』（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98403-2
テイラー、ポール（1999年）『数学の実践的基礎』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-63107-5

外部リンク

ジプセンの代数構造。ここには記載されていない多くの構造が含まれています
抽象代数に関するMathworld のページ。
スタンフォード哲学百科事典：代数学、ヴォーン・プラット著。