角直径

角径、角サイズ、見かけの直径、または見かけのサイズは、特定の視点から見た球または円の大きさを表す角度の分離（単位は角度）です。視覚科学では視角と呼ばれ、光学では（レンズの）開口角と呼ばれます。角径は、見かけの円の片側から反対側を見るために目またはカメラを回転させなければならない角度変位と考えることもできます。

人間は肉眼で約1分角（約0.017°、または0.0003ラジアン）まで直径を認識できます。 ^[1]これは1kmの距離で0.3m、つまり最適な条件下で金星を円盤として認識することに相当します。

定式化

視点と円の中心との間の変位ベクトルに垂直な平面を持つ円の角直径は、式^[2]^{[3]を用いて計算できます}

\delta =2\arctan \left({\frac {d}{2D}}\right),

ここで、は角直径（単位は角度、通常はラジアン、逆正接の実装によっては度）、は物体の線直径（単位は長さ）、は物体までの距離（同じく長さ）である。のとき、次式が成り立つ：^[4] $\delta$ $d$ $D$ $D\gg d$

\delta \approx d/D

、

得られた結果は必然的にラジアン単位になります

球の場合

直線直径が球の中心までの距離に等しい球面物体の場合、角直径は次の修正式で求められます^[^要出典^] $d$ $D$

\delta =2\arcsin \left({\frac {d}{2D}}\right)

このように異なる定式化がなされるのは、球面の見かけ上の辺が接点であり、球面の中心よりも観察者に近いためであり、それらの間の距離は実際の直径よりも小さい。上記の式は、球面体の場合、3つの頂点が観察者、球面の中心、そして球面の接点の1つであり、斜辺がΓ、正弦がΓである直角三角形を構成できることを理解すれば導き出せる。^[^要出典^] $D$ ${\frac {d_{\mathrm {act} }}{2D}}$

この式は地平線に対する天頂角に関係しており、

\delta =\pi -2\arccos \left({\frac {R}{R+h}}\right)

ここで、Rは球の半径、hは球の近い表面までの距離です。

垂直な円の場合との違いは、大きな角度の直径を持つ球面体の場合にのみ重要になります。なぜなら、次の小角近似がの小さな値に対して成り立つからです。^[5] $x$

\arcsin x\approx \arctan x\approx x.

手を使って角径を推定する

図に示すように、完全に伸ばした腕に対して直角に手を保持することで、角直径の推定値を得ることができます。 ^[6]^[7]^[8]

天文学における使用

天文学では、天体の大きさは実際の大きさではなく、地球から見た角直径で表すことが多い。これらの角直径は一般に小さいため、秒角（″）で表すのが一般的である。1秒角は1 度（1°）の1/3600であり、1ラジアンは180/ π度である。したがって、1ラジアンは3,600 × 180/秒角、つまり約206,265秒角（1ラジアン ≈ 206,264.806247″）である。したがって、距離Dにある物理的な直径dの物体の角直径は、秒角で表すと以下の式で表される。^[9] $\pi$

\delta =206,265(d/D)~\mathrm{秒角}

。

これらの天体の角直径は1インチです。

2.06kmの距離にある直径1cmの天体
直径725.27 km、距離1天文単位（AU）の天体
1光年の距離にある直径45,866,916kmの天体
直径1 AU（149 597 871 km）で距離1パーセク（pc）にある天体

したがって、 1 AU は地球の軌道の平均半径であるため、1 pc の距離から見た太陽の周りの地球の軌道の角直径は 2″ です。

1光年の距離から見た太陽の角直径は0.03インチ、地球の角直径は0.0003インチです。上記に示した太陽の角直径0.03インチは、地球の直径と同じ距離にある人体の角直径とほぼ同じです。

この表は、地球から見た注目すべき天体の角度の大きさと、その他のさまざまな注目すべき天体を示しています。

この写真は、 2017 年 4 月 10 日の木星とその 4 つのガリレオ衛星(最大離角時のカリスト) の見かけの大きさと、それらの合の際の満月の見かけの直径を比較したものです。

地球から見た太陽の角直径は、シリウスの約 250,000 倍です。（シリウスの直径は太陽の 2 倍で、距離は 500,000 倍です。太陽は 10 ¹⁰倍明るく、角直径比は 10 ^{5なので、シリウスは単位}立体角あたり約 6 倍の明るさです。）

太陽の角直径もアルファケンタウリ Aの約 250,000 倍です(直径はほぼ同じで、距離は 250,000 倍です。太陽は 4×10 ¹⁰倍明るく、角直径比は 200,000 なので、アルファケンタウリ A は単位立体角あたり少し明るいです)。

太陽の角直径は月とほぼ同じです。（太陽の直径は月の400倍で、距離も月の400倍です。太陽の明るさは満月の20万～50万倍（数値は変動します）で、角直径比は450～700に相当します。したがって、直径2.5～4インチで単位立体角あたりの明るさが同じ天体は、満月と同じ明るさになります。）

冥王星は物理的にはケレスより大きいですが、地球から見ると（例えば、ハッブル宇宙望遠鏡を通して）、ケレスの見た目の大きさははるかに大きくなります。

度単位で測定される角度の大きさは、空の広い範囲を測るのに便利です。（例えば、ベルトの3つの星は約4.5°の角度の大きさをカバーします。）しかし、銀河、星雲、その他の夜空の天体の角度の大きさを測定するには、はるかに細かい単位が必要です。

したがって、学位は次のように細分化されます。

360度（°）の円周
1度あたり60分角（′ ）
1分角あたり60秒角（″）

地球から見た満月は約1⁄2 °、つまり30分（1800インチ）です。月が空を横切る動きは角度で測ることができ、1時間あたり約15°、1秒あたり約15インチです。月面に描かれた1マイル（約1.6キロメートル）の線は、地球から見ると約1インチ（約2.5センチ）の長さに見えます。

地球から月までの最小、平均、最大距離と、地球表面から見た月の角直径（縮尺通り）

天文学では、物体までの距離を直接測定することは通常困難ですが、物体の物理的な大きさ（例えば、距離が既知の近い物体と似ているなど）と測定可能な角直径を持つ場合があります。その場合、角直径の公式を逆にすることで、遠くの物体までの角直径距離を次のように求めることができます。

d\equiv 2D\tan \left({\frac {\delta }{2}}\right).

非ユークリッド空間、例えば私たちの膨張宇宙においては、角直径距離は距離の複数の定義の一つに過ぎず、同じ物体に対しても異なる「距離」が存在する可能性があります。距離の尺度（宇宙論）を参照してください。

非円形天体

銀河や星雲などの深宇宙の天体の多くは非円形に見えるため、通常は長径と短径の2つの直径の尺度が与えられます。例えば、小マゼラン雲の視直径は5度20分×3度5分です

照明の欠陥

照明欠陥とは、特定の観測者から見た天体の非照明部分の最大角度幅のことです。例えば、天体の直径が40インチで、75%が照明されている場合、照明欠陥は10インチとなります。

地平線効果

距離に応じて角度の大きさが変化する見かけの大きさに加え、地平線効果の問題があります。広々とした非透過性の物体を見ると、端の部分では全体が見えないため、全幅が見えなくなります。^[23]

参照

参考文献

^ ヤノフ、マイロン、デューカー、ジェイ・S. (2009). 眼科学第3版. MOSBY Elsevier. p. 54. ISBN 978-0444511416。
^ これは、「円弧」にある弦の長さの公式を使って導くことができます。2014年12月21日にオリジナルからアーカイブ。2015年1月23日閲覧
^ 「角直径 | Wolfram Formula Repository」. resources.wolframcloud.com . 2024年4月10日閲覧。
^ 「7A ノート: 角度の大きさ/距離と面積」(PDF)。
^ 「関数arctanのテイラー級数」(PDF) 。 2015年2月18日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2015年1月23日閲覧。
^ “座標系”. 2015年1月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年1月21日閲覧。
^ “Photographing Satellites”. 2013年6月8日. 2015年1月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ ウィキバーシティ: 物理学と天文学の実験室/角度の大きさ
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^ 地球から見たアルニタクの角直径の80万倍小さい。アルニタクは青い星なので、その大きさの割に多くの光を発している。もし80万倍も遠くにあったとしたら、明るさは31.5等級となり、ハッブル宇宙望遠鏡の観測限界となる。
^ 「ホライゾン・エフェクト」SkyMarvels.com . 2025年8月16日閲覧。

外部リンク

小角公式（1997年10月7日アーカイブ）
惑星の見かけの大きさを視覚的に確認するための補助