双正則写像

1 つ以上の複素変数の関数の数学的理論、および複素代数幾何学において、双正則同型性または双正則関数は、その逆関数も正則である全単射の正則関数です。

正式な定義

正式には、双正則関数とは、次元複素空間C ⁿの開部分集合U上に定義され、 C ⁿに値を持つ関数で、正則かつ一対一の関係にあり、その像はC ⁿの開集合となり、逆写像も正則となるような関数である。より一般的には、UとVは複素多様体となり得る。単複素変数関数の場合と同様に、正則写像がその像に双正則となるための十分条件は、写像が単射であることであり、その場合逆写像も正則となる。^[¹^] $\phi$ $n$ $V$ $\phi ^{-1}:V\to U$

双正則同型性が存在する場合、 UとV は双正則同値である、または双正則であると言います。 $\phi \colon U\to V$

リーマン写像定理と一般化

複素平面全体を除くすべての単連結開集合が単位円板と双正則同型であるとする（これはリーマン写像定理である）。高次元では状況は大きく異なる。例えば、単位開球と単位開多円板は、双正則同型的に等価ではない。実際、一方から他方への適切な正則関数さえ存在しない。 $n=1,$ $n>1.$

代替定義

複素平面Cの開部分集合U上に定義された写像f : U → Cの場合、一部の著者^[²^]は共形写像を非零導関数を持つ入射写像、すなわちUのすべてのzについてf '( z )≠ 0 と定義しています。この定義によると、写像f : U → Cが共形である場合、かつf : U → f ( U ) が双正則である場合に限ります。双正則写像の定義ごとに、その導関数については何も想定されていないため、この同値性には、複素微分可能な同相写像は実際には至る所で非零導関数を持つ必要があるという主張が含まれていることに注意してください。他の著者^[³^] は共形写像を非零導関数を持つ写像と定義していますが、写像が入射的である必要はありません。この弱い定義によると、共形写像は、例えば逆関数定理によって局所的に双正則であっても、双正則である必要はありません。たとえば、f : U → Uが、 U = C –{0}でf ( z ) = z ²と定義されている場合、 fは、その導関数f '( z ) = 2 z ≠ 0 であるためU上で共形ですが、 2-1 であるため双正則ではありません。

参考文献

^ガンニング、ロバート・クリフォード (1990).多変数正則関数入門. ワズワース＆ブルックス/コール数学シリーズ (改訂版および『多変数複素数解析関数』編集). ベルモント (カリフォルニア州): ワズワース. 定理I.11または系E.10. ISBN 978-0-534-13308-5。
^ Freitag, E.; Busam, Rolf (2009).複素解析. Universitext (第2版, [第2英語版]). ベルリン: Springer. 定義 IV.4.1. ISBN 978-3-540-93982-5。
^ Conway, John B. (1986).複素一変数関数. 複素一変数関数（第2版、第4版訂正）. ニューヨーク、ベルリン、パリ[他]: Springer. ISBN 978-0-387-90328-6。

参考文献

コンウェイ、ジョン・B. (1978).複素一変数関数. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-90328-3。
ダンジェロ、ジョン・P. (1993). 『複素変数と実超曲面の幾何学』 CRC Press. ISBN 0-8493-8272-6。
フライタグ、エバーハルト。ブサム、ロルフ (2009)。複雑な分析。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-3-540-93982-5。
ガンニング、ロバート・C. (1990). 『多変数正則関数入門第2巻』ワズワース. ISBN 0-534-13309-6。
クランツ、スティーブン・G. (2002). 『複素変数関数論』アメリカ数学会. ISBN 0-8218-2724-3。

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