バタフライ効果

同一の二重振り子の6つの記録を用いたバタフライ効果の実験的実証。各記録において、振り子はほぼ同じ初期状態から開始します。時間の経過とともに、ダイナミクスの違いはほとんど目立たないものから劇的なものへと変化します。

カオス理論では、バタフライ効果とは、決定論的な非線形システムのある状態における小さな変化が後の状態に大きな違いを生じる可能性がある、 初期条件への敏感な依存性のことです。

この用語は、数学者で気象学者のエドワード・ノートン・ローレンツの研究と密接に関連している。彼は、バタフライ効果は、数週間前に遠くの蝶が羽ばたいていたいたなどの小さな摂動が竜巻の詳細（正確な発生時刻、正確な進路）に影響を与える例から派生したものであると指摘した。ローレンツは当初、嵐を引き起こすカモメを使用していたが、1972年までに蝶と竜巻を使用することでより詩的な表現にするよう説得された。^{[1] [2]彼は、一見重要でない方法で丸められた初期条件データを使用して}気象モデルを実行した際に、この効果を発見した。彼は、丸められていない初期条件データを使用して実行した結果を気象モデルが再現できないことに気づいた。初期条件の非常に小さな変化が、大幅に異なる結果を生み出していたのである。^[3]

気象において小さな原因が大きな影響を及ぼす可能性があるという考えは、フランスの数学者・物理学者アンリ・ポアンカレによって以前から認識されていました。アメリカの数学者・哲学者ノーバート・ウィーナーもこの理論に貢献しました。ローレンツの研究は、地球大気の不安定性の概念を定量的な基盤の上に置き、非線形力学と決定論的カオスを呈する多くの動的システムの特性と不安定性の概念を結び付けました。^[4]

バタフライ効果の概念はそれ以来、気象科学の文脈以外では、小さな変化がより大きな結果を引き起こすと考えられるあらゆる状況を指す広い用語として使用されるようになりました。

歴史

ヨハン・ゴットリープ・フィヒテは『人間の使命』（1800年）の中で、 「一粒の砂をその場所から取り除くことは、計り知れない全体のすべての部分にわたって何かを変えずにはできない」と述べています。

カオス理論と初期条件への鋭敏な依存性は、数多くの文献で記述されている。これは、1890年にポアンカレが三体問題で示した事例によく表れている^。[5]彼は後に、このような現象は例えば気象学において一般的である可能性があると提唱した。^[6]

1898年、ジャック・アダマールは負の曲率を持つ空間における軌道の一般的な発散を指摘した。ピエール・デュエムは1908年に、このことの一般的な意義の可能性について議論した。^[5]

1950年、アラン・チューリングは次のように述べた。「電子1個が10億分の1センチメートルだけ瞬間的にずれるだけで、1年後に雪崩で人が死亡するか、逃げおおせるかの違いが生じる可能性がある。」^[7]

一匹の蝶の死が、後に続く歴史的出来事に広範囲にわたる波及効果をもたらすという考えは、レイ・ブラッドベリの1952年の短編小説「雷鳴」に初めて登場した。この小説では、タイムトラベラーが過去に蝶を踏んでしまい、未来を変えてしまうという話である。^[8]

しかし、もっと正確に言えば、小さな昆虫の羽が大気全体の風に影響を与えるという、ほぼ正確なアイデアと正確な表現は、ロレンツが次の本を出版する前年の1962年に、世界中で大成功を収め、よく知られることになった児童書に掲載された。

「…私​​たちの行動は、たとえほんの少しでも、あらゆるもの、そしてすべての人に影響を与えます。ハエが羽ばたくと、世界中にそよ風が吹くのです。」

-- 純粋理性の王女

— ノートン・ジャスター『ファントム・トールブース』

1961年、ローレンツは数値コンピュータモデルを用いて、前回の計算の途中から天気予報をやり直すという近道を試みた。彼は、精度0.506127の完全な値を入力する代わりに、プリントアウトから得た初期値0.506を入力した。その結果、全く異なる天気シナリオが得られた。^[9]

ロレンツはこう書いている。

ある時点で、何が起こっているのかをより詳しく調べるため、いくつかの計算を繰り返すことにしました。コンピュータを停止し、少し前に出力された数値を一行入力し、再びコンピュータを起動しました。廊下にコーヒーを一杯飲みに行き、約1時間後に戻ってきました。その間にコンピュータは約2ヶ月分の天候をシミュレーションしていました。出力された数値は以前のものとは全く異なっていました。すぐに真空管の弱りか、あるいはコンピュータのその他の故障を疑いました。これはよくあることですが、修理を依頼する前に、どこで間違いが起きたのかを確かめることにしました。そうすれば修理が早く済むかもしれないと思ったからです。突然の中断ではなく、新しい値は最初は以前の値を繰り返していましたが、その後すぐに最後の[小数点]桁が1桁、そして数桁変化し、さらに最後から2桁目、そしてさらにその前の桁でも変化し始めました。実際、差異はほぼ4日ごとにほぼ着実に2倍になり、2ヶ月目に入る頃には元の出力との類似性は完全に消えてしまいました。これだけで何が起こったのかが分かりました。入力した数値は元の数値そのものではなく、元の印刷結果に表示された数値を四捨五入した値だったのです。最初の四捨五入の誤差が原因だったのです。それが徐々に大きくなり、ついには解の大部分を占めるようになってしまいました。

— EN Lorenz, The Essence of Chaos , University of Washington Press, Seattle (1993), 134ページ^[10]

1963年、ローレンツはこの効果に関する理論的研究を「決定論的非周期的流れ」^{[3] [11]}という非常に引用数の多い論文で発表しました（計算はロイヤルマクビー LGP-30コンピュータで行われました）。^{[12] [13]}彼はまた次のように述べています。

ある気象学者は、もしこの理論が正しければ、カモメの羽ばたき一つで天候の流れを永遠に変えてしまうだろうと指摘した。この論争はまだ決着していないが、最新の証拠はカモメの行動を支持するようだ。^[13]

ブラジルのバトゥス・ポリダマス蝶

同僚からの提案を受け、ローレンツはその後のスピーチや論文で、より詩的な「蝶」という表現を用いた。ローレンツによると、 1972年にアメリカ科学振興協会第139回会議で発表する講演のタイトルが思いつかなかった際、フィリップ・メリリスが「ブラジルで蝶が羽ばたくとテキサスで竜巻が発生するのか？」というタイトルをでっち上げたという。^[1]蝶が羽ばたくという表現は、この概念を表現する上で一貫しているが、蝶の位置、結果、そして結果がもたらされる場所は大きく変化してきた。^[14]

この語句は、蝶の羽が大気中に小さな変化を生み出し、それが最終的に竜巻の進路を変えたり、別の場所で竜巻の発生を遅らせたり、加速させたり、あるいは防いだりする効果を指しています。蝶は竜巻の原動力になったり、直接竜巻を発生させたりはしませんが、この語句は、蝶の羽ばたきが竜巻を引き起こす可能性があることを暗示しています。つまり、羽ばたきは、相互に連結した複雑なウェブの初期条件の一部であり、ある条件セットは竜巻を引き起こしますが、もう一方の条件セットは引き起こしません。羽ばたきによってシステムの初期条件がわずかに変化し、それが連鎖的に大規模なイベントの変化を引き起こします (ドミノ効果と比較してください)。蝶が羽ばたかなければ、システムの軌跡は大きく異なっていたかもしれませんが、蝶が羽ばたかない条件セットが竜巻を引き起こす可能性も同じくらいあります。

バタフライ効果は、天気のようなシステムの初期条件を完全に正確に知ることは不可能であるため、予測にとって明らかな課題となります。この問題が、初期条件を変化させて複数の予測を行うアンサンブル予測の開発のきっかけとなりました。 ^[15]

その後、一部の科学者は、気象システムは以前考えられていたほど初期条件に敏感ではないと主張している。^[16] デビッド・オレルは、気象予報の誤差の主な要因はモデル誤差であり、初期条件への敏感さは比較的小さい役割を果たしていると主張している。^{[17] [18]} スティーブン・ウルフラムも、ローレンツ方程式は非常に単純化されており、粘性効果を表す項を含んでいないと指摘している。彼は、これらの項は小さな摂動を減衰させる傾向があると考えている。^[19]追加の散逸項と非線形性を含む一般化ローレンツモデルを使用した最近の研究では、カオスの発生にはより大きな加熱パラメータが必要であることが示唆されている。^[20]

「バタフライ効果」は、ローレンツが1963年の論文で記述した（そしてポアンカレによって以前に観察されていた）初期条件への敏感な依存性と同義であると説明されることが多いが、このバタフライ効果の比喩は、彼が1969年に発表した研究^{[21]に最初に適用された[1]}。この研究は、この考えをさらに一歩進めたものである。ローレンツは、大気中の微小な運動がどのようにスケールアップしてより大きなシステムに影響を与えるかを示す数学モデルを提案した。彼は、このモデルにおけるシステムは将来の特定の時点までしか予測できず、それを超えると初期条件の誤差を減らしても予測可能性は向上しない（誤差がゼロでない限り）ことを発見した。これは、決定論的システムが予測可能性の観点から非決定論的システムと「観測的に区別できない」可能性があることを示した。この論文の最近の再検討は、この論文が、量子物理学が提起する問題に匹敵する、我々の宇宙が決定論的であるという考えに重大な挑戦を投げかけたことを示唆している。^{[22] [23]}

1993年に出版された『カオスの本質』^[24]において、ローレンツはバタフライ効果を次のように定義した。「力学系の状態における小さな変化が、その後の状態を、変化がなかった場合の状態とは大きく異なるものにする現象」。この特徴は、^[3]における初期状態への解の敏感な依存性（SDIC）と同じである。同著の中で、ローレンツはスキーの運動を応用し、時間とともに変化する経路の初期位置に対する敏感性を明らかにするための理想化されたスキーモデルを開発した。予測可能性の地平線は、SDICの発現前に決定される。^[25]

イラスト

理論と数学的定義

ρ=28、σ=10、β=8/3 の値におけるローレンツのストレンジアトラクターのプロット。バタフライ効果、すなわち初期条件への敏感な依存性は、アトラクター上の様々な任意の近い初期条件から開始すると、反復点が互いに任意の距離に広がるという力学系の特性です。

系が初期状態へ近似的に回帰する現象（回帰）と、初期状態への鋭敏な依存性は、カオス運動の二つの主要な要素である。これらの要素は、気象などの複雑なシステムにおいて、ある一定の時間範囲（気象の場合は約1週間）を超えた後の予測を困難にするといった実際的な結果をもたらす。これは、初期の大気の状態を完全に正確に測定することが不可能であるためである。

力学系は、任意の距離にある点が時間の経過とともに指数関数的に離れていく場合、初期条件に対する敏感な依存性を示す。この定義は位相的なものではなく、本質的に計量的なものである。ローレンツ^[24]は、敏感な依存性を次のように定義した。

ある時点でその軌道の近くを通過する他のほとんどの軌道が、時間の経過とともにその軌道の近くに留まらない場合、その軌道 (つまり、解) を特徴付けるプロパティ。

M が写像の状態空間である場合、M内の任意の x と任意の δ > 0 に対して、 M内の y が存在し、距離d (. , .)が次の式を満たすとき、は初期条件に敏感な依存性を示します 。${\displaystyle f^{t}}$ ${\displaystyle f^{t}}$ ${\displaystyle 0<d(x,y)<\delta }$

${\displaystyle d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)}$

何らかの正のパラメータaに対して、定義は近傍のすべての点が基点xから離れていることを要求しないが、正のリアプノフ指数が1つ必要である。正のリアプノフ指数に加えて、有界性はカオス系におけるもう一つの重要な特徴である。^[26]

初期条件に対する敏感な依存性を示す最も単純な数学的枠組みは、ロジスティックマップの特定のパラメータ化によって提供される。

${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,}$

これは、ほとんどのカオスマップとは異なり、閉じた形式の解を持ちます。

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

ここで、初期条件パラメータは で与えられる。有理数 の場合、有限回の反復処理の後、 は周期的な列に写像される。しかし、ほとんどすべてが無理数であり、無理数 の場合、それ自体を繰り返すことはなく、非周期的である。この解方程式は、カオスの2つの主要な特徴、すなわち伸張と折り畳みを明確に示している。係数 2 ⁿは伸張の指数関数的増加を示し、初期条件への敏感な依存性（バタフライ効果）をもたらす。一方、正弦関数の2乗は範囲 [0, 1] 内で折り畳みを維持する。 ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

物理システムでは

天候

概要

バタフライ効果は気象現象において最もよく知られており、例えば標準的な気象予報モデルで容易に実証できます。気候科学者のジェームズ・アナンとウィリアム・コノリーは、気象予報手法の開発においてカオスが重要であると説明しています。モデルは初期条件に敏感だからです。彼らは次のような注意を付け加えています。「もちろん、未知の蝶が羽ばたくという現象が気象予報に直接影響を与えることはありません。なぜなら、このような小さな擾乱が大きな規模に成長するにはあまりにも長い時間がかかり、私たちが懸念すべきより差し迫った不確実性は数多くあるからです。そのため、この現象が気象予報に直接与える影響は、しばしば多少の誤りを伴います。」^[27]

バタフライ効果の種類を区別する

バタフライ効果の概念には、いくつかの現象が含まれます。2 種類のバタフライ効果、つまり初期条件への敏感な依存性^[3]と、小さな摂動が長距離に組織化された循環を作り出す能力^[1]は、厳密には同じではありません。^[28] Palmer ら^[22]は、新しいタイプのバタフライ効果を導入し、小規模プロセスが Lorenz 1969 モデル内の有限予測可能性に及ぼす潜在的な影響を強調しました。さらに、Lorenz 1969 モデルの悪条件の側面を特定したことで、実用的な形の有限予測可能性が示唆されました。^[25] Lorenz 1969 モデルにおける有限予測可能性を示唆するこれら 2 つの異なるメカニズムは、総称して第 3 種のバタフライ効果と呼ばれています。 [ ^{29 ]}著者らは、Palmer らの提案を考慮し、特定の論争を提起することなく、自分たちの見解を示すことを目指しました。

^[22]で議論されているように、有限予測可能性を持つ3番目の種類のバタフライ効果は、主にローレンツの公式とリリーの公式として知られる収束幾何級数に基づいて提案されました。 ^[30]における予測可能性の限界を推定するためのこれらの2つの公式の妥当性については、現在も議論が続いています。

2種類のバタフライ効果^{[1] [3]}と3番目の種類のバタフライ効果^{[21] [22] [23]}の比較が文書化されています。^[29]最近の研究では、^{[25] [31]}気象学的および非気象学的線形モデルの両方で、不安定性がバタフライ効果の発生に役割を果たしていることが報告されており、バタフライ効果は小さな擾乱から生じる短時間ではあるが顕著な指数関数的成長を特徴としています。

バタフライ効果に関する最近の議論

第一種のバタフライ効果（BE1）はSDIC（初期条件への敏感な依存性）として知られ、広く認識され、理想化されたカオスモデルを通して実証されている。しかし、第二種のバタフライ効果、特に蝶の羽ばたきが竜巻の形成に与える影響については意見が分かれており、2024年の2つの論文で指摘されているように^{[32] [33] 。Physics} Todayに掲載された最近の議論[34][35]では、^第二種のバタフライ効果（BE2）は現実的な気象モデルを用いて厳密に検証されたことがないことが認められている。研究ではBE2が現実の大気中では起こりにくいと示唆されているが^{[32] [34]}、この文脈におけるその無効性は、パンデミックや歴史的出来事など、他の分野におけるBE1の適用可能性を否定するものではない。^[36]

3番目の種類のバタフライ効果については、1969年のローレンツモデルの予測可能性の限界は、ある論文^[22]ではスケール相互作用によって説明され、また最近の別の研究ではシステムの悪条件によって説明されている。^[25]

カオス系における有限予測可能性

^{ライトヒル（1986） [37]}によれば、SDIC（一般にバタフライ効果として知られる）の存在は、カオス系には有限の予測可能性限界があることを意味する。文献レビュー^[38]では、ローレンツの予測可能性限界に関する見解は、次のように要約できることがわかった。

• (A) ローレンツ1963モデルは、大気のようなカオス系における有限の予測可能性の本質を定性的に明らかにした。しかし、大気の予測可能性の正確な限界を決定づけることはなかった。
• (B) 1960年代、2週間の予測限界は、現実世界のモデルにおける5日間の倍加時間に基づいて推定されました。その後、この知見はCharney et al. (1966) ^{[39] [40]}によって文書化され、コンセンサスとなっています。

最近、予測可能性限界に関するローレンツの視点を紹介する短いビデオが作成されました。^[41]

最近の研究では、1960年代にミンツ・アラカワモデルの5日間の倍加時間を用いて最初に計算された2週間の予測可能性限界を「予測可能性限界仮説」と呼んでいます。^[42]ムーアの法則に触発されたこの用語は、チャーニーのリーダーシップの下でローレンツ、ミンツ、アラカワの共同貢献を称えるものです。この仮説は、偏微分方程式（PDE）に基づく物理学的手法と人工知能（AI）技術の両方を用いた長期予測の研究を裏付けています。

量子力学では

初期条件への敏感な依存性（バタフライ効果）の可能性は、強い場にある原子や異方性ケプラー問題など、半古典物理学と量子物理学の多くのケースで研究されてきました。^{[43] [44]}初期条件への極端な（指数関数的な）依存性は純粋な量子処理では予期されないと主張する著者もいます。^{[45] [46]}しかし、古典運動で実証された初期条件への敏感な依存性は、マーティン・グッツヴィラー^[47]とジョン・B・デロスとその同僚によって開発された半古典的処理に含まれています。^[48]ランダム行列理論と量子コンピュータによるシミュレーションは、量子力学におけるバタフライ効果のいくつかのバージョンが存在しないことを証明しています。^[49]

他の研究者たちは、バタフライ効果が量子系でも観測可能であると示唆している。Zbyszek P. Karkuszewskiらは、わずかに異なるハミルトニアンを持つ量子系の時間発展を考察している。彼らは、与えられたハミルトニアンの小さな変化に対する量子系の感度レベルを調査している。^[50] David Poulinらは、忠実度減衰を測定する量子アルゴリズムを提示した。これは、「同一の初期状態がわずかに異なるダイナミクスにさらされたときに発散する速度を測定する」ものである。彼らは、忠実度減衰を「（純粋に古典的な）バタフライ効果に最も近い量子アナログ」とみなしている。^{[51]古典的なバタフライ効果は、与えられた}ハミルトニアン系における物体の位置および／または速度の小さな変化の影響を考慮するのに対し、量子バタフライ効果は、与えられた初期位置と速度を持つハミルトニアン系の小さな変化の影響を考慮する。^{[52] [53]}この量子バタフライ効果は実験的に実証されている。^[54]初期条件に対するシステムの敏感性の量子的および半古典的な扱いは量子カオスとして知られている。^{[45] [52]}

大衆文化において

バタフライ効果は、文学（『サウンド・オブ・サンダー』など）、映画やテレビ（ 『ザ・シンプソンズ』など）、ビデオゲーム（『ライフ・イズ・ストレンジ』など）、ウェブコミック（『ホームスタック』など）、音楽の参照（ 『トラヴィス・スコット』の「バタフライ効果」など）、AI 駆動の拡張言語モデルなど、さまざまなメディアに現れています。

参照

• 雪崩効果
• 行動カスプ
• 連鎖的な失敗
• カタストロフィー理論
• 因果関係
• 連鎖反応
• クラポティス
• 決定論
• ドミノ効果
• 動的システム
• フラクタル
• 鐙大論争
• イノベーションバタフライ
• ケスラー症候群
• ノートンのドーム
• 数値解析
• 分岐点
• 肯定的なフィードバック
• 潜在性と現実性
• 代表性ヒューリスティック
• 波及効果
• 雪だるま効果
• 交通渋滞
• 熱帯低気圧の発生
• 意図しない結果

参考文献

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さらに読む

• ジェームズ・グレイク『カオス：新たな科学の創造』ニューヨーク：ヴァイキング、1987年、368頁。
• デヴァニー、ロバート・L. (2003). 『カオス力学系入門』ウェストビュー・プレス. ISBN 0-670-81178-5。
• ヒルボーン, ロバート C. (2004). 「カモメ、蝶、そしてバッタ：非線形力学におけるバタフライ効果の簡潔な歴史」. American Journal of Physics . 72 (4): 425– 427. Bibcode :2004AmJPh..72..425H. doi :10.1119/1.1636492.
• ブラッドベリ、レイ.「雷鳴の音」コリアーズ.1952年6月28日

外部リンク

• 気象とカオス：エドワード・N・ローレンツの研究。ローレンツの研究を背景に「バタフライ効果」を解説する短編ドキュメンタリー。
• カオス・ハイパーテキストブック。カオスとフラクタルの入門書
• ディジケス、ピーター (2008年6月8日). 「蝶の意味。ポップカルチャーはなぜ『バタフライ効果』に夢中になり、それを完全に誤解しているのか」.ボストン・グローブ. マサチューセッツ州ボストン. 2022年6月19日閲覧.
• ニューイングランド複雑系研究所 - 概念：バタフライ効果
• ChaosBook.org。カオスに関する大学院上級教科書（フラクタルなし）
• ワイスタイン、エリック・W.「バタフライ効果」。MathWorld。