CW複合体

数学、特に位相幾何学において、CW複体（セル複体、セル複体とも呼ばれる）は、異なる次元の位相球（いわゆるセル）を特定の方法で接着することで構築される位相空間である。この概念は多様体と単体複体の両方を一般化し、代数位相幾何学において特に重要な意味を持つ。^{[1]これは当初、}ホモトピー理論のニーズを満たすためにJHC ホワイトヘッドによって導入された。^{[2] CW複体は}単体複体よりも 優れた圏論的特性を備えているが、それでも計算（多くの場合、はるかに小さな複体で）を可能にする組み合わせ論的性質を保持している。

CWのCは「閉包有限」を意味し、Wは「弱い」位相を意味します。^[2]

意味

CW複合体

CW複体は、k次元ユークリッド空間の開単位球に同相なkセルのコピーを連続的に貼り合わせることで得られる位相空間の列の和集合をとることによって構成される。これらの写像は、貼付写像とも呼ばれる。したがって、集合として、 は、 となる。 $${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots }$$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k-1}}$ ${\displaystyle (e_{\alpha }^{k})_{\alpha }}$ ${\displaystyle B^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{k-1}}$ ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:\partial e_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}}$ ${\displaystyle X_{k}=X_{k-1}\sqcup _{\alpha }e_{\alpha }^{k}}$

それぞれは複合体の k 骨格と呼ばれます。${\displaystyle X_{k}}$

の位相は弱い位相です。つまり、サブセットが開いている場合と、各 k スケルトンが開いている場合とで同じです。 ${\displaystyle X=\cup _{k}X_{k}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U\cap X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$

圏論の言語では、上の位相は図の直接の極限です。「CW」という名前は「閉包有限弱位相」を表し、次の定理によって説明されます。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots }$$

定理-ハウスドルフ空間 Xが CW 複体に同相である場合、それはXを「開セル」に分割し、各セルに対応する閉包（または「閉セル」）が存在し、その閉包が次式を満たす場合に限られます。 ${\displaystyle e_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle {\bar {e}}_{\alpha }^{k}:=cl_{X}(e_{\alpha }^{k})}$

• 各 に対して、次元閉球 からの連続射影が存在し、${\displaystyle e_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:D^{k}\to {\bar {e}}_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle k}$
  • 開球への制約は同相写像である。${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:B^{k}\to e_{\alpha }^{k}}$
  • (閉包有限性) 境界のイメージは有限個の閉じたセルで覆われ、各セルの寸法は k 未満です。${\displaystyle g_{\alpha }^{k}(\partial D^{k})}$
• (弱い位相) Xのサブセットは、閉集合内の各閉セルと交わる場合にのみ閉じています。

Xのこの分割はセル化とも呼ばれます。

言葉で表すと、建設

CW 複合体の構築は、次のプロセスを簡単に一般化したものです。

• 0次元 CW 複素数は、単に 0 個以上の離散点 (離散トポロジを持つ)の集合です。
• 1次元CW複体は、 0次元CW複体と単位区間の1つ以上のコピーとの非結合和をとることによって構成されます。各コピーには、その境界（2つの端点）を0次元複体の元（点）に「接着」する写像が存在します。CW複体の位相は、これらの接着写像によって定義される商空間の位相です。
• 一般に、n次元CW複体は、 k次元CW複体（ある に対して）とn次元球体の1つ以上のコピーとの非結合和をとることによって構成される。各コピーには、その境界（次元球面）を 次元複体の元に「接着」する写像が存在する。CW複体の位相は、これらの接着写像によって定義される商位相である。${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle k}$
• 無限次元CW複体は、上記のプロセスを可算回数繰り返すことで構築できます。この和集合の位相は不定であるため、図が直接極限を強く示唆していることから、直接極限位相を採用します。これは大きな技術的利点をもたらします。${\displaystyle \cup _{k}X_{k}}$

通常のCW複合体

正則CW複体とは、その接着写像が同相写像となるCW複体である。したがって、 Xの分割は正則セル化とも呼ばれる。

ループのないグラフは、正則1次元CW複体によって表される。閉2セルグラフを曲面に埋め込むと、正則2次元CW複体となる。最後に、3次元球面正則セル化予想は、すべての2連結グラフが3次元球面上の正則CW複体の1次元スケルトンとなることを主張する。^[3]

相対CW複合体

大まかに言えば、相対CW複合体は、必ずしも細胞構造を持たない1つの追加の構成要素を許容する点でCW複合体と異なります。この追加の構成要素は、前者の定義では(-1)次元の細胞として扱うことができます。^{[4] [5] [6]}

例

0次元CW複素数

すべての離散位相空間は 0 次元 CW 複体です。

1次元CW複素数

1次元CW複体の例としては次のようなものがある: ^[7]

• 区間。2点 ( xとy ) と1次元球B (区間)から構成され、 Bの一方の端点はxに、もう一方の端点はyにそれぞれ接着されます。2点xとyは0次元セルであり、 Bの内部は1次元セルです。あるいは、0次元セルを含まず、1つの区間のみから構成することもできます。
• 円。これは、点xと1次元球Bから構成され、Bの両端点はxに接着されます。あるいは、点xとyと2つの1次元球AとBから構成され、 Aの両端点はxとyに接着され、Bの両端点もxとyに接着されます。
• グラフ。グラフが与えられたとき、0 セルを頂点、1 セルを辺とする 1 次元 CW 複体を構築できる。各辺の端点は、その辺に接続する頂点と同一視される。このように組み合わせグラフを位相空間として実現したものは、位相グラフと呼ばれることがある。
  • 3-正則グラフは、一般的な1次元CW複体とみなすことができます。具体的には、 Xが1次元CW複体である場合、1-セルへの接続写像は、2点空間からX、への写像です。この写像は、 Xの0-スケルトンと互いに素となるように摂動を加えることができるため、と はXの0-価頂点ではありません。${\displaystyle f:\{0,1\}\to X}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(1)}$
• 実数 上の標準的な CW 構造は、整数 を 0 の骨格として、区間 を 1 のセルとして持ちます。同様に、 上の標準的な CW 構造は、の 0 のセルと 1 のセルの積である立方格子セルを持ちます。これが 上の標準的な立方格子セル構造です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

有限次元CW複体

有限次元CW複体の例としては次のようなものがある: ^[7]

• n次元球面。これは、0-セルとn-セルの2つのセルを持つCW構造を許容します。ここで、n-セルは、その境界から単一の0-セルへの定数写像によって接続されます。別のセル分解は、1つの( n -1)次元球面（「赤道」）と、それに接続された2つのn-セル（「上半球」と「下半球」）で構成されます。これは、帰納的に、k次元ごとに2つのセルを持つCW分解を与え、 となります。${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$
• n次元実射影空間。各次元に1つのセルを持つCW構造を許容する。
• 一般的な2次元CW複合体の用語はシャドウです。^[8]
• 多面体は本来 CW 複合体です。
• グラスマン多様体はシューベルト細胞と呼ばれる CW 構造を許容します。
• 微分可能多様体、代数多様体、射影多様体は CW 複体のホモトピー型を持ちます。
• 尖頭双曲多様体の一点コンパクト化は、 0-セル（コンパクト化点）を一つだけ持つ標準的なCW分解、すなわちエプスタイン・ペナー分解を持つ。このようなセル分解はしばしば理想多面体分解と呼ばれ、 SnapPeaなどの一般的なコンピュータソフトウェアで利用されている。

無限次元CW複体

• 無限次元球面 。各次元に2つのセルを持つCW構造を許容し、これらのセルは、-スケルトンが-球面によって正確に与えられるように組み立てられます。${\displaystyle S^{\infty }:=\mathrm {colim} _{n\to \infty }S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• 無限次元射影空間、、は各次元に 1 つのセルを持ち、、は各偶数次元に 1 つのセルを持ち、 4 で割り切れる各次元に 1 つのセルを持ちます。それぞれのスケルトンは、、(2n スケルトン)、(4n スケルトン)で与えられます。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

非CW複合体

• 無限次元ヒルベルト空間はCW複体ではない。それはベール空間であり、したがって、 n-スケルトン（各スケルトンは内部が空である閉集合）の可算和として書くことはできない。この議論は、他の多くの無限次元空間にも当てはまる。
• ヘッジホッグ空間は CW 複体 (点) とホモトピー等価ですが、局所的に収縮できないため CW 分解は許可されません。${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }$
• ハワイアンイヤリングは原点において局所縮約可能ではないため、CW分解を持たない。また、良好な開被覆を持たないため、CW複体とホモトピー同値でもない。

プロパティ

• CW複合体は局所的に収縮可能である。^[9]
• ある空間がCW複体とホモトピー同値である場合、その空間は良好な開被覆を持つ。 ^[10]良好な開被覆とは、すべての空でない有限交差が縮約可能であるような開被覆のことである。
• CW複体はパラコンパクトである。有限CW複体はコンパクトである。CW複体のコンパクト部分空間は、必ず有限部分複体に含まれる。^{[11] [12]}
• CW 複体はホワイトヘッドの定理を満たします。つまり、CW 複体間の写像は、すべてのホモトピー群に同型性を誘導する場合に限り、ホモトピー同値です。
• CW複体の被覆空間もまたCW複体である。[ 13 ^]
• 2 つの CW 複体の積は、CW 複体にすることができます。具体的には、XとYが CW 複体であれば、各セルがXのセルとYのセルとの積であり、弱位相が備わっているCW 複体X × Yを形成できます。すると、X × Yの基礎セットは、予想どおり、 XとYの直積になります。さらに、このセット上の弱位相は、たとえばXまたはYのいずれかが有限である場合など、 X × Y上のより一般的な積位相と一致することがよくあります。ただし、たとえばXもYも局所コンパクトでない場合は、弱位相が積位相よりも細かくなることがあります。この好ましくないケースでは、積位相における積X × Yは CW 複体ではありません。一方、コンパクト生成空間のカテゴリにおけるXとYの積は、弱位相と一致し、したがって CW 複体を定義します。
• XとYをCW 複体とする。すると、関数空間Hom( X , Y ) （コンパクト開位相を持つ）は一般に CW 複体ではない。Xが有限ならば、ジョン・ミルナー(1959)の定理により、 Hom( X , Y ) は CW 複体とホモトピー同値となる。^[14] XとYはコンパクト生成ハウスドルフ空間であるため、Hom( X , Y ) はコンパクト生成変種のコンパクト開位相を持つことが多いこと に注意されたい。その場合でも、上記の記述は真である。^[15]
• 細胞近似定理

CW複合体のホモロジーとコホモロジー

CW複体の特異ホモロジーとコホモロジーは、細胞ホモロジーによって容易に計算できます。さらに、CW複体と細胞写像のカテゴリでは、細胞ホモロジーはホモロジー理論として解釈できます。CW複体の特別な（コ）ホモロジー理論を計算するには、アティヤ・ヒルツェブルッフスペクトル列が細胞ホモロジーの類似物となります。

例:

• 球面の場合、 2つのセル（0セル1つとnセル1つ）にセル分解します。セルホモロジーチェーンの複素数とホモロジーは次のように与えられます。${\displaystyle S^{n},}$ ${\displaystyle C_{*}}$

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}}$

すべての微分がゼロだからです。

あるいは、各次元に2つのセルを持つ赤道分解を使用すると、

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

そして、微分は、形式の行列である。これは、鎖複素数が、およびを除くすべての項で正確であるため、上記と同じホモロジー計算を与える。${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}.}$

• 同じように${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

上記の例はどちらも、ホモロジーが細胞数によって決定されるため、特に単純です。つまり、細胞接着マップはこれらの計算には関与しません。これは非常に特殊な現象であり、一般的なケースを示すものではありません。

CW構造の修正

ホワイトヘッドによって開発された、CW 複合体を、より単純なCW 分解を持つホモトピー等価の CW 複合体に置き換える手法があります。

例えば、任意のCW複体を考えてみましょう。その1-スケルトンは、任意のグラフとなるため、かなり複雑になる可能性があります。次に、このグラフ内の最大フォレスト Fを考えてみましょう。これは木の集合であり、木は縮約可能であるため、最大フォレストF内の共通の木に含まれる場合に、同値関係が生成される空間を考えてみましょう。商写像はホモトピー同値です。さらに、は自然にCW構造を継承し、セルはFに含まれないのセルに対応します。特に、 の1-スケルトンは、円のくさびの互いに素な和集合です。 ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$

上記を別の言い方で述べると、連結された CW 複合体は、0 スケルトンが単一の点から構成されるホモトピー等価な CW 複合体に置き換えることができます。

接続性の階段を上ることを考えてみましょう。X は単連結な CW 複体で、その 0 スケルトンは 1 点から成ると仮定します。適切な変更を加えることで、X をホモトピー同値な CW 複体（ は1 点から成る）に置き換えることは可能でしょうか？答えは「はい」です。最初のステップは、 と、から構築する添付写像が群表示を形成することを観察することです。群表示に関するTietze の定理は、この群表示を自明群の自明表示 に簡約するために実行できる一連の動作が存在することを述べています。Tietze の動作には次の 2 つがあります。 ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle X^{1}}$

1) 生成子の追加/削除。CW分解の観点から見ると、生成子の追加は、1セルと2セルを追加することであり、その接続写像は新しい1セルで構成され、接続写像の残りは に含まれる。を対応するCW複体とすると、新しい2セルをXにスライドさせることによって得られるホモトピー同値が存在する。${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

2) 関係の追加/削除。関係を追加する動作は似ていますが、Xをに置き換える点が異なります。ここで、新しい3セルには、新しい2セルと残りの への写像からなるアタッチメント写像があります。同様のスライドには、ホモトピー同値 が示されています。${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

CW複体Xがn連結である場合、 n-スケルトンが1点からなるホモトピー等価なCW複体を求めることができる。 の議論はの場合と同様であるが、基本群の表現に対するTietze移動を、の表現行列に対する基本行列演算に置き換える点が異なる（表現行列は細胞ホモロジーから得られる）。すなわち、同様に、細胞または接続写像の適切なホモトピーの追加/削除のシーケンスによって基本行列演算を実現できる。 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}$

ホモトピーカテゴリ

CW複体のホモトピー圏は、一部の専門家の意見では、ホモトピー圏の唯一の候補ではないにしても、最良の候補である（技術的な理由から、実際には尖端空間のバージョンが用いられる）。^[16] CW複体ではない空間を生み出す補助的な構成も、場合によっては用いる必要がある。基本的な結果の一つは、ホモトピー圏上の表現可能関数は単純な特徴付けを持つということである（ブラウン表現可能性定理）。

参照

• 抽象的な細胞複合体
• CW 複素数の概念は、ハンドル分解と呼ばれる滑らかな多様体への適応を持っており、これは手術理論と密接に関連しています。

参考文献

注記

1. ハッチャー、アレン(2002).代数的位相幾何学.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-79540-0。この教科書では、第1章でCW複体を定義し、全編を通してCW複体を用いています。また、CW複体の位相に関する付録も含まれています。無料の電子版は著者のホームページから入手できます。
2. Whitehead, JHC (1949a). 「組合せホモトピー I.」(PDF) .アメリカ数学会報. 55 (5): 213– 245. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09175-9 . MR  0030759.（オープンアクセス）
3. De Agostino, Sergio (2016). 3球面正則セル化予想(PDF) . 組み合わせアルゴリズムに関する国際ワークショップ.
4. デイビス, ジェームズ・F.; カーク, ポール (2001).代数的位相幾何学講義ノート. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会.
5. 「nLabのCW複合体」。
6. 「CW複素数 - 数学百科事典」。
7. GhostarchiveとWayback Machineにアーカイブ：チャンネル、Animated Math（2020年）。「1.3 代数的位相幾何学入門。CW複体の例」。YouTube 。
8. Turaev, VG (1994).結び目と3次元多様体の量子不変量. De Gruyter 数学研究第18巻. ベルリン: Walter de Gruyter & Co. ISBN 9783110435221。
9. ハッチャー、アレン (2002).代数的位相幾何学.ケンブリッジ大学出版局. p. 522. ISBN 0-521-79540-0。命題A.4
10. ミルナー, ジョン (1959年2月). 「CW複体のホモトピー型を持つ空間について」 .アメリカ数学会誌. 90 (2): 272– 280. doi :10.2307/1993204. ISSN  0002-9947. JSTOR  1993204.
11. ハッチャー、アレン『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局（2002年）。ISBN 0-521-79540-0無料の電子版は著者のホームページで入手可能です。
12. Hatcher, Allen、「ベクトル束とK理論」、予備版は著者のホームページで入手可能
13. ハッチャー、アレン (2002).代数的位相幾何学.ケンブリッジ大学出版局. p. 529. ISBN 0-521-79540-0。練習問題1
14. ミルナー, ジョン(1959). 「CW複体のホモトピー型を持つ空間について」. Trans. Amer. Math. Soc . 90 (2): 272– 280. doi : 10.1090/s0002-9947-1959-0100267-4 . JSTOR  1993204.
15. 「コンパクトに生成された空間」(PDF) 。 2016年3月3日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2012年8月26日閲覧。
16. 例えば、「CW複体のクラス（またはCW複体と同じホモトピー型の空間のクラス）は、ホモトピー理論に関連して位相空間の最も適切なクラスである」という意見は、Baladze, DO (2001) [1994]、「CW複体」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Pressに掲載されています。

一般的な参考文献

• ルンデル, AT; ウェイングラム, S. (1970). CW複体の位相幾何学.ヴァン・ノストランド大学高等数学シリーズ. ISBN 0-442-04910-2。
• Brown, R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011).非アーベル代数的位相幾何学：フィルター空間、交差複体、立方体ホモトピー群.ヨーロッパ数学会数学論文集 第15巻. ISBN 978-3-03719-083-8。詳細は[1]第一著者のホームページをご覧ください。