静電容量

静電容量は、物体が電荷を蓄える能力です。電位差に対する電荷の変化によって測定され、これらの量の比として表されます。一般的に認識されている静電容量の概念には、自己容量と相互容量という2つがあります。^{[1] : 237–238}電荷を帯びる物体は自己容量を示し、その電位は物体と地面の間で測定されます。 相互容量は2つの部品間で測定され、電気回路に静電容量を追加するために設計された基本的な線形電子部品であるコンデンサの動作において特に重要です

2つの導体間の静電容量は、形状、導体の対向する表面積と導体間の距離、および導体間にある誘電体の誘電率のみに依存します。多くの誘電体では、誘電率、つまり静電容量は、導体間の電位差と導体上の総電荷とは無関係です

静電容量のSI単位はファラッド（記号：F）で、イギリスの物理学者マイケル・ファラデーにちなんで名付けられました。^[2] 1ファラッドのコンデンサに1クーロンの電荷が充電されると、極板間に1ボルトの電位差が生じます。 ^[3]静電容量の逆数はエラスタンスと呼ばれます。

自己容量

電気回路について議論する際、「静電容量」という用語は通常、コンデンサの2つのプレートのような、隣接する2つの導体間の相互静電容量の略語として使用されます。しかし、すべての孤立した導体も静電容量を示し、ここでは自己静電容量と呼ばれます。これは、孤立した導体の電位を1測定単位、例えば1ボルト上げるために導体に追加する必要がある電荷量で測定されます。^[4]この電位の基準点は、導体をこの球の中心に配置した、無限半径の理論的な中空導体球です。

導体の自己容量は、電荷と電位の比によって定義されます。 ここで 、$${\displaystyle C={\frac {q}{V}},}$$

• ${\textstyle q}$ は保持される電荷​​です
• ${\textstyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\sigma }{r}}\,dS}$ は電位です。
• ${\textstyle \sigma }$ は表面電荷密度です
• ${\textstyle dS}$ は導体表面上の微小面積要素であり、表面電荷密度が積分されます。
• ${\textstyle r}$ は導体上の固定点Mまでの長さです。${\textstyle dS}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ は真空の誘電率です。

この方法を用いると、自由空間（つまり、他の電荷分布から遠く離れた場所）にある半径の導体球の自己静電容量は次のようになります^。[2]${\textstyle R}$ $${\displaystyle C=4\pi \varepsilon _{0}R.}$$

自己容量の例は次のとおりです。

• ヴァンデグラフ発電機の上部「プレート」、通常は半径20cmの球の場合：22.24pF
• 地球の場合：約710μF。^[5]

コイルの巻線間容量は自己容量と呼ばれることもありますが^{[6] 、これは別の現象です。実際にはコイルの個々の巻線間の相互容量であり、浮遊容量または}寄生容量の一種です。この自己容量は高周波において重要な考慮事項です。コイルのインピーダンスを変化させ、並列共振を引き起こします。多くの用途において、これは望ましくない効果であり、回路の正しい動作のための周波数の上限を設定します。^[要出典]

相互容量

一般的な形態は平行板コンデンサで、通常は誘電体を挟んだ、互いに絶縁された2枚の導体板で構成されています。平行板コンデンサでは、静電容量は導体板の表面積にほぼ比例し、導体板間の分離距離に反比例します

プレート上の電荷が で、がプレート間の電圧を与えるとすると、静電容量は で与えられ 、電圧と電流の関係 が与えられます。 ここでは電圧の瞬間変化率、は静電容量の瞬間変化率です。ほとんどの用途では、時間による静電容量の変化は無視できるため、式は次のようになります。 ${\textstyle +q}$ ${\textstyle -q}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle C}$ $${\displaystyle C={\frac {q}{V}},}$$ $${\displaystyle i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}}+V{\frac {dC}{dt}},}$$ ${\textstyle {\frac {dv(t)}{dt}}}$ ${\textstyle {\frac {dC}{dt}}}$ $${\displaystyle i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}},}$$

コンデンサに蓄えられるエネルギーは、仕事を積分することで求められます。 ${\textstyle W}$ $${\displaystyle W_{\text{charging}}={\frac {1}{2}}CV^{2}.}$$

静電容量行列

上記の議論は、サイズと形状は任意ですが、2枚の導体板の場合に限定されています。この定義は、2枚以上の帯電板がある場合、または2枚の板の正味電荷がゼロでない場合は適用されません。このような場合に対処するために、ジェームズ・クラーク・マクスウェルは電位係数を導入しました。3枚の（ほぼ理想的な）導体に電荷が与えられた場合、導体1の電圧はで与えられ 、他の電圧についても同様です。ヘルマン・フォン・ヘルムホルツとウィリアム・トムソン卿は、電位係数が対称であることを示しました。つまり、などとなります。したがって、このシステムは、弾性行列または逆容量行列として知られる係数の集合で記述でき、次のように定義されます。 ${\displaystyle C=Q/V}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}$ $${\displaystyle V_{1}=P_{11}Q_{1}+P_{12}Q_{2}+P_{13}Q_{3},}$$ ${\displaystyle P_{12}=P_{21}}$ $${\displaystyle P_{ij}={\frac {\partial V_{i}}{\partial Q_{j}}}.}$$

このことから、2つの物体間の相互容量は、総電荷を解き、を使用して定義できます^[7]。 ${\displaystyle C_{m}}$ ${\textstyle Q}$ ${\displaystyle C_{m}=Q/V}$

$${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{(P_{11}+P_{22})-(P_{12}+P_{21})}}.}$$

実際のデバイスでは、2つの「板」のそれぞれに完全に等しく反対の電荷を保持することはないため、コンデンサで報告されるのは相互容量です

係数の集合は静電容量行列^{[8] [9] [10]}として知られており、弾性行列の 逆行列です。${\displaystyle C_{ij}={\frac {\partial Q_{i}}{\partial V_{j}}}}$

コンデンサ

電子回路で使用されるコンデンサの大部分の静電容量は、一般的にファラッド（F）よりも数桁小さい。静電容量の最も一般的な単位は、マイクロファラッド（μF）、ナノファラッド（nF）、ピコファラッド（pF）、そして超小型回路ではフェムトファラッド（fF）である。一部の用途では、数百ファラッドにもなるスーパーキャパシタが使用され、寄生容量はフェムトファラッド未満になることもある。歴史的な文献では、ファラッドの分数を表す古めかしい単位が使用されている。例えば、マイクロファラッド（μF）には「mf」や「mfd」、ピコファラッド（pF）には「mmf」、「mm​​fd」、「pfd」、「μμF」などである。^{[11] [12]}

導体の形状と導体間の絶縁体の誘電特性が分かれば、静電容量を計算することができます。静電容量は導体シートの重なり面積に比例し、導体シート間の距離に反比例します。シート同士の距離が近いほど、静電容量は大きくなります。

一例として、面積が距離で分離された2枚の平行板で構成されたコンデンサの静電容量があります 。が最小弦に対して十分に小さい場合、高い精度で次式が成り立ちます。 ${\textstyle A}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle A}$ $${\displaystyle \ C=\varepsilon {\frac {A}{d}};}$$

$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r},}$$

ここで

• ${\textstyle C}$ は静電容量（ファラッド）。
• ${\textstyle A}$ は2枚の板の重なり面積（平方メートル）。
• ${\textstyle \varepsilon _{0}}$ は電気定数 （）。${\textstyle \varepsilon _{0}\approx 8.854\times 10^{-12}~\mathrm {F{\cdot }m^{-1}} }$
• ${\textstyle \varepsilon _{r}}$ は板間の材料の比誘電率（誘電率とも呼ばれる） （${\textstyle \varepsilon _{r}\approx 1}$ 空気の場合）。
• ${\textstyle d}$ は板間の距離（メートル）。

dが板の他の寸法に比べて小さく、コンデンサ領域内の電界が均一で、周囲のいわゆるフリンジング電界が静電容量にほとんど寄与しない 場合、この式は良い近似値となります

静電容量の式と上記のコンデンサに蓄えられるエネルギーの式を組み合わせると、平板コンデンサの場合、蓄えられるエネルギーは次のようになります。 はエネルギー（ジュール）、は静電容量（ファラッド）、 は電圧（ボルト）です。 $${\displaystyle W_{\text{stored}}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {A}{d}}V^{2}.}$$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle V}$

浮遊容量

隣接する2つの導体はコンデンサとして機能しますが、導体が長距離または広い面積にわたって近接していない限り、静電容量は小さくなります。この（多くの場合不要な）静電容量は、寄生容量または浮遊容量と呼ばれます。浮遊容量は、本来は分離された回路間で信号が漏れる原因となり（クロストークと呼ばれる効果）、高周波での回路の適切な動作を制限する要因となる可能性があります。

増幅回路の入力と出力間の浮遊容量は、フィードバック経路を形成し、増幅器の不安定性や寄生振動を引き起こす可能性があるため、問題となる可能性があります。解析目的では、この静電容量を1つの入力対グランド容量と1つの出力対グランド容量の組み合わせに置き換えることが便利な場合がよくあります。元の構成（入力対出力容量を含む）は、しばしばπ構成と呼ばれます。この置き換えを行うためにミラーの定理を使用できます。これは、2つのノードの利得比が1/K⁠の場合、2つのノードを接続するインピーダンスZは、 ⁠Z/1 −  K⁠最初のノードとグランド間のインピーダンス、および⁠KZ/K  − 1⁠ 2番目のノードとグランド間のインピーダンスに置き換えることができます。インピーダンスは静電容量に反比例するため、ノード間静電容量Cは、入力からグランドへの静電容量KCと、出力からグランドへの静電容量に置き換えられます。( K  − 1) C/K⁠入出力ゲインが非常に大きい場合、等価入力グランドインピーダンスは非常に小さくなりますが、出力グランドインピーダンスは元の（入出力）インピーダンスと基本的に等しくなります。

単純な形状の導体の静電容量

システムの静電容量を計算することは、 3次元空間に埋め込まれた導体の2次元表面上の一定電位を持つラプラス方程式 を解くことと同じです。これは対称性によって簡略化されます。より複雑なケースでは、基本関数による解はありません ${\textstyle \nabla ^{2}\varphi =0}$ ${\textstyle \varphi }$

平面の場合、解析関数を用いて異なる形状を互いに写像することができます。シュワルツ・クリストッフェル写像も参照してください。

エネルギー貯蔵

コンデンサに蓄えられたエネルギー（ジュール単位）は、電荷をコンデンサに押し込む、つまりコンデンサを充電するために必要な仕事に等しい。静電容量Cのコンデンサを考えてみよう。一方のプレートには電荷+ qが、もう一方のプレートには電荷-qが保持されている。小さな電荷要素dqを電位差V = q / Cに逆らって一方のプレートからもう一方のプレートへ移動させるには、仕事d Wが必要である。ここ で、 Wはジュール単位で測定された仕事、qはクーロン単位で測定された電荷、Cはファラッド単位で測定された静電容量である。 $${\displaystyle \mathrm {d} W={\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q,}$$

コンデンサに蓄えられたエネルギーは、この式を積分することで求められる。電荷が充電されていない静電容量（q = 0 ）から始めて、プレートに電荷+ Qと-Qが蓄積されるまで一方のプレートからもう一方のプレートへ電荷を移動させるには、仕事Wが必要である。 $${\displaystyle W_{\text{charging}}=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}=W_{\text{stored}}.}$$

ナノスケールシステム

量子ドットなどのナノスケール誘電体コンデンサの静電容量は、従来の大型コンデンサの構成とは異なる場合があります。特に、従来のコンデンサでは、電子が受ける静電ポテンシャル差は空間的に明確に定義されており、従来のコンデンサに存在する統計的に多数の電子に加えて、金属電極の形状とサイズによって固定されています。しかし、ナノスケールコンデンサでは、電子が受ける静電ポテンシャルは、デバイスの電子特性に寄与するすべての電子の数と位置によって決まります。このようなデバイスでは、電子の数が非常に少ない場合があり、デバイス内の等電位面の空間分布は非常に複雑になります。

単電子デバイス

接続された、つまり「閉じた」単電子デバイスの静電容量は、接続されていない、つまり「開いた」単電子デバイスの静電容量の2倍です。^[23]この事実は、より根本的には、単電子デバイスに蓄えられたエネルギーに起因します。その「直接分極」相互作用エネルギーは、電子の存在によるデバイス自体の分極電荷と電子の相互作用と、デバイス上の分極電荷を形成するために必要なポテンシャルエネルギー（デバイスの誘電体材料内の電荷と電子によるポテンシャルとの相互作用）に等しく分割できます。 ^[24]

少数電子デバイス

少数電子デバイスの「量子容量」の導出には、N粒子系 の熱力学的化学ポテンシャルが関与します。これは、$${\displaystyle \mu (N)=U(N)-U(N-1),}$$

そのエネルギー項はシュレーディンガー方程式の解として得ることができます。 電位差を伴う 容量の定義は、 $${\displaystyle {1 \over C}\equiv {\Delta V \over \Delta Q},}$$ $${\displaystyle \Delta V={\Delta \mu \, \over e}={\mu (N+\Delta N)-\mu (N) \over e}}$$

個々の電子の追加または除去を伴うデバイスに適用することができ、 $${\displaystyle \Delta N=1}$$ $${\displaystyle \Delta Q=e.}$$

デバイスの「量子容量」は^[25] $${\displaystyle C_{Q}(N)={\frac {e^{2}}{\mu (N+1)-\mu (N)}}={\frac {e^{2}}{E(N)}}.}$$

この「量子容量」の表現は、と書くことができます。 これは、 導入部で説明した従来の表現とは異なり、蓄積された静電ポテンシャルエネルギー は、$${\displaystyle C_{Q}(N)={e^{2} \over U(N)},}$$ ${\displaystyle W_{\text{stored}}=U}$ $${\displaystyle C={Q^{2} \over 2U},}$$ 1/2とします。${\displaystyle Q=Ne}$

しかし、純粋に古典的な静電相互作用の枠組みの中では、1/2の係数の出現は、コンデンサを充電する際に行われる仕事を含む従来の定式化における積分の結果です $${\displaystyle W_{\text{charging}}=U=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q,}$$

これは、多数の電子または金属電極を含むシステムでは適切ですが、少数の電子システムでは適切です。積分は一般に和になります。静電容量 と静電相互作用エネルギーの式を簡単に組み合わせて、 ${\displaystyle \mathrm {d} q=0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} q\to \Delta \,Q=e}$ $${\displaystyle Q=CV}$$ $${\displaystyle U=QV,}$$ $${\displaystyle C=Q{1 \over V}=Q{Q \over U}={Q^{2} \over U},}$$

これは量子容量に似ています。より厳密な導出が文献で報告されています。^[26]特に、デバイス内の空間的に複雑な等電位面の数学的課題を回避するために、各電子が経験する平均静電ポテンシャルが導出に利用されます

見かけ上の数学的差異は、より根本的に理解できるかもしれない。孤立したデバイス（自己容量）のポテンシャルエネルギーは、下限では「接続された」デバイスに蓄えられるエネルギーの2倍である。が大きくなると、容量は増加する。^[24]したがって、静電容量の一般的な表現は次のようになる。 ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U(N)\to U}$ $${\displaystyle C(N)={(Ne)^{2} \over U(N)}.}$$

量子ドットなどのナノスケールデバイスでは、「コンデンサ」はデバイス内の独立した、または部分的に分離されたコンポーネントであることがよくあります。ナノスケールコンデンサとマクロスケール（従来の）コンデンサの主な違いは、過剰電子（デバイスの電子的挙動に寄与する電荷キャリア、つまり電子）の数と、金属電極の形状とサイズです。ナノスケールデバイスでは、金属原子からなるナノワイヤは、通常、マクロスケール、つまりバルク材料のナノワイヤと同じ導電性を示しません。

電子デバイスと半導体デバイスの静電容量

電子デバイスおよび半導体デバイスでは、端子間の過渡電流または周波数依存電流には、伝導成分と変位成分の両方が含まれます。伝導電流は電荷キャリア（電子、正孔、イオンなど）の移動に関連し、変位電流は時間変化する電界によって発生します。キャリア輸送は電界と、キャリアのドリフトと拡散、トラッピング、注入、接触関連効果、衝突イオン化など、多くの物理現象の影響を受けます。その結果、デバイスのアドミタンスは周波数に依存し、静電容量の単純な静電容量式は適用できません。静電容量式を含む、より一般的な静電容量の定義は次のとおりです。^[27] ここで、はデバイスのアドミタンス、は角周波数です ${\displaystyle C=q/V,}$ $${\displaystyle C={\frac {\operatorname {Im} (Y(\omega ))}{\omega }},}$$ ${\displaystyle Y(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

一般に、静電容量は周波数の関数です。高周波では、静電容量は一定値に近づき、端子の形状とデバイス内の誘電体含有量によって決まる「幾何学的」静電容量に等しくなります。Steven Lauxの論文^[27]では、静電容量計算のための数値手法のレビューが示されています。特に、静電容量は、ステップ状の電圧励起に対する過渡電流のフーリエ変換によって計算できます。 $${\displaystyle C(\omega )={\frac {1}{\Delta V}}\int _{0}^{\infty }[i(t)-i(\infty )]\cos(\omega t)dt.}$$

半導体デバイスにおける負の静電容量

通常、半導体デバイスの静電容量は正です。ただし、一部のデバイスおよび特定の条件（温度、印加電圧、周波数など）では、静電容量が負になることがあります。ステップ状の励起に対する過渡電流の非単調な挙動は、負の静電容量のメカニズムとして提案されています。^[28]負の静電容量は、多くの異なるタイプの半導体デバイスで実証され、調査されてきました。^[29]

静電容量の測定

静電容量計は、主に個別コンデンサの静電容量を測定するために使用される電子試験機器です。ほとんどの目的およびほとんどの場合、 コンデンサは回路から切り離す必要があります

多くのDVM（デジタル電圧計）には静電容量測定機能があります。これらは通常、試験対象のコンデンサを既知の電流で充放電し、結果として生じる電圧の上昇率を測定することで動作します。上昇率が遅いほど、静電容量は大きくなります。DVMは通常、ナノファラッドから数百マイクロファラッドまでの静電容量を測定できますが、より広い範囲も珍しくありません。また、試験対象のデバイスに既知の高周波 交流電流を流し、その両端に生じる電圧を測定することで静電容量を測定することも可能です（有極性コンデンサには機能しません）。

Andeen-Hagerling 2700A容量ブリッジ

より高度な計測器では​​、試験対象のコンデンサをブリッジ回路に挿入するなどの他の技術が用いられます。ブリッジの他の端子の抵抗値を変化させることで（ブリッジのバランスをとるため）、未知のコンデンサの抵抗値を決定します。この間接的な静電容量測定法は、より高い精度を保証します。ケルビン接続やその他の慎重な設計技術を用いることで、これらの計測器は通常、ピコファラッドからファラッドまでの範囲のコンデンサを測定できます。

参照

• 静電容量式変位センサ
• 集合の容量
• 変位電流
• ガウスの法則
• LCRメーター
• 磁気容量
• 量子容量

参考文献

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参考文献

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外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおける静電容量関連メディア