基数

数学において、基数（または略して基数）とは、一般的に集合の要素数と呼ばれます。有限集合の場合、その基数、つまり基数は自然数です。無限集合の場合を扱うために、無限基数が導入されました。これは、無限基数の中での順位を示す下付き文字が付いたヘブライ文字（アレフ）で表されることが多いです。 $\aleph$

濃度は、全単射関数によって定義されます。2 つの集合の濃度が同じである場合、かつその場合に限り、 2 つの集合の要素間に1 対 1 の対応(全単射) があります。有限集合の場合、これは要素の数という直感的な概念と一致します。無限集合の場合、動作はより複雑になります。ゲオルク・カントールによる基本定理は、2 つの無限集合が異なる濃度を持つことが可能であり、特に実数の集合の濃度が自然数の集合の濃度よりも大きいことを示しています。また、無限集合の真部分集合が元の集合と同じ濃度を持つことも可能であり、これは有限集合の真部分集合では起こり得ないことです。

基数の超限列が存在する:

0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\

この数列は、ゼロを含む自然数（有限基数）から始まり、その後にアレフ数が続きます。アレフ数は序数でインデックス付けされます。選択公理が真であれば、この超限数列にはすべての基数が含まれます。選択公理が真でない場合（選択公理 § 独立性を参照）、アレフ数ではない基数は無限に存在します。

基数は、集合論の一部としてそれ自体の研究対象となっています。また、モデル理論、組合せ論、抽象代数、数学解析といった数学の分野でも用いられるツールです。圏論では、基数は集合の圏の骨格を形成します。

歴史

現在理解されている濃度の概念は、集合論の創始者であるゲオルク・カントールによって1874年から1884年にかけて定式化されました。濃度は有限集合の一側面を比較するために用いられます。例えば、集合{1,2,3}と{4,5,6}は等しくありませんが、濃度は同じで、つまり3です。これは、2つの集合の間に{1→4, 2→5, 3→6}のような一対一対応（つまり1対1対応）が存在することによって証明されます。

カントールは、自身の単射の概念を無限集合^[1]（例えば、自然数集合N = {0, 1, 2, 3, ...}）に適用した。したがって、彼はN個 の可算（可算無限）集合と単射となるすべての集合をと呼んだ。これらの集合はすべて同じ基数を共有する。この基数は、アレフ零と呼ばれる。彼は無限集合の基数を超限基数と呼んだ。 $\aleph _{0}$

カントールは、Nの任意の非有界部分集合はNと同じ濃度を持つことを証明した。これは直感に反するように見えるかもしれないが、彼はまた、自然数の順序付き対全体の集合が可算であることも証明した。これは、すべての有理数が整数の対で表せることから、すべての有理数の集合も可算であることを意味する。彼は後に、すべての実代数的数の集合も可算であることを証明した。各実代数的数zは、その解となる多項式方程式の係数である有限の整数列、すなわち順序付けられた n 組 ( a ₀、a ₁、 ...、a _n )、a _i ∈ Zと 1 組の有理数 ( b ₀、b ₁ ) としてエンコードされる場合があります。この場合、 zは、区間 ( b ₀、b ₁ )内に存在する係数 ( a ₀、a ₁、 ...、a _n ) を持つ多項式の唯一の根となります。

カントルは1874年の論文「すべての実代数的数の集合の性質について」において、実数集合の基数がNよりも大きいことを示すことで、高階基数が存在することを証明した。彼の証明では区間を入れ子にした議論が用いられたが、1891年の論文では、独創的ではるかに単純な対角線議論を用いて同じ結果を証明した。実数集合の新しい基数は連続体の基数と呼ばれ、カントルはそれを記号で表した。 ${\mathfrak {c}}$

カントルは基数一般理論の大部分を展開し、最小の超限基数（アレフゼロ）が存在すること、またすべての基数に対して次に大きい基数が存在することを証明した。 $\aleph _{0}$

(\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots ).

彼の連続体仮説は、実数の集合の濃度はと同じであるという命題である。この仮説は数学の集合論の標準的な公理とは独立しており、つまり、それらから証明することも反証することもできない。これは1963年にポール・コーエンによって示され、1940年のクルト・ゲーデルによる先行研究を補完するものである。 ${\mathfrak {c}}$ $\aleph _{1}$

モチベーション

非公式な用法では、基数とは、通常、0を含む数（0、1、2、…）を指します。これらは0から始まる自然数と同一視されることもあります。数え上げ数は、正式には有限基数として定義できる数です。無限基数は、高等数学と論理学においてのみ用いられます。

より正式には、非ゼロ数は2つの目的で使用できます。集合の大きさを表すことと、シーケンス内の要素の位置を表すことです。有限集合とシーケンスの場合、シーケンス内の位置を表すすべての数値に対して、正確に適切なサイズの集合を構成できるため、これら2つの概念が一致することは容易にわかります。例えば、3はシーケンス<'a','b','c','d',...>における'c'の位置を表し、3つの要素を持つ集合{a,b,c}を構築できます。

しかし、無限集合を扱う際には、これら2つの概念を区別することが不可欠です。なぜなら、無限集合においては、これら2つの概念は実際には異なるからです。位置の側面を考慮すると順序数が導き出され、一方、大きさの側面は、ここで説明する基数によって一般化されます。

基数の正式な定義の背後にある直感は、集合の要素の種類に関係なく、集合の相対的な大きさ、つまり「大きさ」の概念を構築することです。有限集合の場合、これは簡単です。集合に含まれる要素の数を数えるだけです。より大きな集合の大きさを比較するには、より洗練された概念に依拠する必要があります。

集合Yが集合Xと同じ大きさ以上であるとは、 Xの要素からYの要素への写像が入射的である場合を指します。入射的写像とは、集合Xの各要素を集合Yの一意の要素と対応づける写像です。これは例を挙げれば最も簡単に理解できます。例えば、集合X = {1,2,3} とY = {a,b,c,d} があるとします。この大きさの概念を用いると、写像が存在することがわかります。

1 → ア

2 → b

3 → c

これは単射であり、したがってY の濃度はX以上の値を持つと結論付けられる。元 d には写像が存在しないが、これは単射写像のみを必要とし、必ずしも全単射写像を必要としないため許容される。この概念の利点は、無限集合に拡張できることである。

次に、これを等式スタイルの関係に拡張できます。2 つの集合 XとYが同じ濃度を持つとは、 XとYの間に一対一写像が存在する場合です。シュレーダー・ベルンシュタインの定理により、これはXからYへの単射写像と、YからXへの単射写像の両方が存在することと同等です。この場合、 | X | = | Y | と書きます。 Xの濃度自体は、 | a | = | X |となる最小の順序数aとして定義されることがよくあります。 ^[2]これはフォン・ノイマンの基数割り当てと呼ばれます。この定義が意味をなすためには、すべての集合がある順序数と同じ濃度を持つことを証明する必要があります。このステートメントは、整列原理です。ただし、オブジェクトに明示的に名前を割り当てなくても、集合の相対的な濃度について議論することは可能です。

典型的な例として、無限ホテルパラドックス（ヒルベルトのグランドホテルのパラドックスとも呼ばれる）が挙げられます。無限の数の部屋を持つホテルに宿屋の主人がいるとします。ホテルは満室で、そこに新しい客が到着します。部屋1にいた客を部屋2へ、部屋2にいた客を部屋3へ、といった具合に部屋1を空けることで、追加の客を受け入れることが可能です。このマッピングのセグメントを明示的に記述することができます。

1 → 2

2→3

3 → 4

...

n → n + 1

...

この割り当てにより、集合{1,2,3,...}は集合{2,3,4,...}と同じ濃度を持つことがわかります。これは、最初の集合と2番目の集合の間に一対一性があることが示されているためです。このことから、無限集合とは、同じ濃度を持つ真部分集合（すなわち、デデキント無限集合）を持つ任意の集合であると定義されます。この場合、{2,3,4,...}は{1,2,3,...}の真部分集合です。

これらの大きな対象について考える際、数え上げ順序の概念が、上記でこれらの無限集合に対して定義した基数の概念と一致するかどうかも確認したくなるかもしれません。しかし、実際には一致しません。上記の例を考えると、「無限より1大きい」対象が存在する場合、その基数は元の無限集合と同じでなければならないことがわかります。数を数え上げ、各数を順に考えるという考え方に基づいた、順序数と呼ばれる別の形式的な数の概念を使用することもできます。そして、有限数から外れると、基数と順序数の概念は異なることがわかります。

実数の基数は、先ほど述べた自然数の基数よりも大きいことが証明できます。これはカントールの対角線論法を用いて視覚化できます。基数に関する古典的な問題（例えば連続体仮説）は、ある基数が他の無限基数のペアの間に存在するかどうかを発見することに関係しています。近年、数学者はより大きな基数の性質を記述してきました。

濃度は数学において非常に一般的な概念であるため、様々な名称が用いられています。濃度の同一性は、等ポテンス、等ポレンス、等数性と呼ばれることもあります。したがって、濃度が同じ2つの集合は、それぞれ等ポテンス、等ポレント、等数性であると言われます。

カーディナリティ関数

基数関数は、集合を引数に取り、その基数を返す基数関数である。有限集合の場合、これは単に要素を数えることで得られる自然数である。この関数を集合に適用した場合、通常は両側に縦線を引いたで表されるが、 ^[3]、またはで表されることもある ^。[17] $A$ $A\mapsto |A|$ $A$ $|A|,$ $A$ $\operatorname {card} (A),$ $\#A.$

無限集合の場合、「基数」を正式に定義するのはやや困難です。基数は通常、正式な定義という観点からではなく、非物質的に算術的・代数的性質の観点から考えられます。^[18]したがって、を満たす基数関数が存在するという仮定（基数公理^[19]またはヒュームの原理^[20]と呼ばれることもあります）は、基数のほとんどの性質を導くのに十分です。^[21]このような関数は、公理的に定義する必要なく構築できることは後で示します。 $A\mapsto |A|$ $A\sim B\iff |A|=|B|$

建設的な定義

正式には、選択公理を仮定すると、集合Xの濃度はXと α が一対一であるような最小の順序数α です。この定義はフォン・ノイマンの基数割り当てとして知られています。選択公理を仮定しない場合は、別のアプローチが必要になります。集合Xの濃度の最も古い定義(カントールでは暗黙的、フレーゲとプリンキピア・マテマティカでは明示的) は、 X と数が同じであるすべての集合のクラス [ X ] であるというものです。これは、 Xが空でない場合、このコレクションは集合としては大きすぎるため、 ZFCやその他の関連する公理集合論のシステムでは機能しません。実際、 X ≠ ∅ の場合、集合mを { m } × Xにマッピングすることによって宇宙から [ X ]に注入できるため、サイズ制限公理により、[ X ] は適切なクラスです。しかしながら、この定義は型理論やニューファウンデーションズ、そして関連システムにおいては有効です。しかし、このクラスをXと同数でランクが最小のものに限定すれば、この定義は有効になります（これはダナ・スコット^[22]によるトリックです。任意のランクを持つオブジェクトの集合は集合であるため、有効です）。

フォン・ノイマン基数割り当ては、有限集合の基数がその集合のすべての可能な順序付けの共通順序数であることを意味し、基数算術と順序数算術（加算、乗算、べき乗、適切な減算）は有限数に対して同じ答えを与えます。しかし、無限数に対しては異なります。例えば、順序数算術ではですが、基数算術ではとなります。フォン・ノイマン割り当てではとなります。一方、スコットのトリックは、基数0がであることを意味し、これは順序数1でもあるため、混乱を招く可能性があります。可能な妥協案（有限演算での配置を利用しながら、選択公理への依存と無限演算での混乱を回避する）は、フォンノイマン割り当てを有限集合（整列可能で、適切なサブセットと等しくないもの）の基数に適用し、他の集合の基数にはスコットのトリックを使用することです。 $2^{\omega }=\omega <\omega ^{2}$ $2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}=\aleph _{0}^{2}$ $\aleph _{0}=\omega$ $\{\emptyset \}$

正式には、基数間の順序は次のように定義されます。| X | ≤ | Y | は、 XからYへの単射関数が存在することを意味します。カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理は、| X | ≤ | Y | かつ | Y | ≤ | X | ならば、| X | = | Y | となります。選択公理は、2つの集合XとYが与えられたとき、| X | ≤ | Y | または | Y | ≤ | X | のいずれかとなるという命題と同等です。^[23]^[24]

集合Xは、 Xの真部分集合Yが存在し、| X | = | Y |を満たす場合、デデキント無限集合となり、そのような部分集合が存在しない場合には、デデキント有限集合となる。有限基数とは、自然数そのものであり、ある自然数nに対して | X | = | n | = nを満たす場合、かつその場合に限り、集合Xは有限集合となる。それ以外の集合は無限集合となる。

選択公理を仮定すると、デデキントの概念は標準的な概念に対応することが証明できます。また、自然数集合の基数（アレフゼロまたはアレフ-0、ここでアレフはヘブライ語アルファベットの最初の文字で、で表される）は最小の無限基数（つまり、任意の無限集合は基数の部分集合を持つ）であることも証明できます。次に大きい基数はで表され、以下同様に続きます。すべての順序数 α に対して基数が存在し、このリストはすべての無限基数を網羅しています。 $\aleph _{0}$ $\aleph$ $\aleph _{0}$ $\aleph _{1}$ $\aleph _{\alpha },$

基数算術

自然数に対する通常の演算を一般化した、基数に対する算術演算を定義することができます。有限基数の場合、これらの演算は自然数に対する通常の演算と一致することが示されます。さらに、これらの演算は通常の算術と多くの性質を共有しています。

後継枢機卿

選択公理が成り立つ場合、すべての基数 κ には κ ^{+ と}表記される後続基数があり、ここで κ ⁺ > κ であり、κ とその後続基数の間には基数は存在しません。(選択公理がない場合、ハートッグスの定理を使用して、任意の基数 κ に対して、となる最小基数 κ ⁺が存在することが示されます。) 有限基数の場合、後続基数は単に κ + 1 です。無限基数の場合、後続基数は後続順序数とは異なります。 $\kappa ^{+}\nleq \kappa .$

基数加算

XとYが互いに素である場合、加算はXとYの和集合によって与えられます。2つの集合が互いに素でない場合は、同じ基数を持つ互いに素な集合に置き換えることができます（例えば、XをX ×{0}に、 YをY ×{1}に置き換えます）。

|X|+|Y|=|X\cup Y|.

^[25]

ゼロは加法単位κ + 0 = 0 + κ = κです。

加算は結合( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν ) です。

加算は可換です κ + μ = μ + κ。

どちらの議論でも加算は減少しません。

(\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ and }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )).

選択公理を仮定すると、無限基数の加法は容易である。κかμのどちらかが無限大であれば、

\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

減算

選択公理を仮定し、無限基数σと基数μが与えられたとき、 μ ≤ σの場合にのみμ + κ = σとなる基数κが存在する。これはμ < σの場合にのみ一意（かつσと等しい）となる。

基数の乗算

基数の積はデカルト積から得られます。

|X|\cdot |Y|=|X\times Y|

^[25]

ゼロは乗法吸収要素です: κ ·0 = 0 · κ = 0。

自明でないゼロ除数はありません: κ · μ = 0 → ( κ = 0 またはμ = 0)。

1 つは乗法恒等式です: κ ·1 = 1 · κ = κ。

乗算は結合的です: ( κ · μ ) · ν = κ ·( μ · ν )。

乗算は可換です: κ · μ = μ · κ。

乗算は両方の引数で非減少です: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · νおよびν · κ ≤ ν · μ )。

乗算は加算に分配されます: κ ·( μ + ν ) = κ · μ + κ · νおよび ( μ + ν ) · κ = μ · κ + ν · κ。

選択公理を仮定すれば、無限基数の乗算も容易である。κ かμのどちらかが無限大で、かつ両方とも0でない場合、

\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.

したがって、2 つの無限基数の積はそれらの和に等しくなります。

分割

選択公理を仮定し、無限基数πと非零基数μが与えられたとき、 μ ≤ πのときのみμ · κ = πとなる基数κが存在する。これはμ < πのときのみ一意（かつπと等しい）となる。

基数累乗

べき乗は次のように表される。

|X|^{|Y|}=\left|X^{Y}\right|,

ここでX ^YはYからXまでのすべての関数の集合である。^[25]右辺がとのみに依存することは簡単に確認できる。 ${|X|}$ ${|Y|}$

κ ⁰ = 1 (特に 0 ⁰ = 1)、空関数を参照してください。

μ ≥ 1の場合、0 ^μ = 0 となります。

1 ^μ = 1 です。

κ ¹ = κ。

κ ^{μ + ν} = κ ^μ · κ ^ν。

κ ^{μ · ν} = ( κ ^μ ) ^ν .

( κ · μ ) ^ν = κ ^ν · μ ^ν。

どちらの議論でも指数は減少しません。

(1 ≤ νおよびκ ≤ μ ) → ( ν ^κ ≤ ν ^μ ) および

( κ ≤ μ ) → ( κ ^ν ≤ μ ^ν )。

2 ^{| X |}は集合Xの冪集合の基数であり、カントールの対角論によれば、任意の集合Xに対して 2 ^|^X^| > | X | となる。これは、最大基数が存在しないことを証明している（任意の基数κに対して、常にそれより大きい基数 2 ^κが存在するため）。実際、基数のクラスは真クラスである。（この証明は、一部の集合論、特に New Foundationsでは証明できない。）

このセクションの残りのすべての命題は選択公理を前提としています。

κとμ が両方とも有限で 1 より大きく、νが無限である場合、 κ ^ν = μ ^νとなります。

κが無限で、μが有限で非ゼロの場合、 κ ^μ = κとなります。

2 ≤ κかつ 1 ≤ μかつそのうちの少なくとも 1 つが無限大の場合、次の式が成り立ちます。

最大 ( κ , 2 ^μ ) ≤ κ ^μ ≤ 最大 (2 ^κ , 2 ^μ )。

ケーニッヒの定理を使用すると、任意の無限基数κに対してκ < κ ^{cf( κ )}およびκ < cf(2 ^κ )を証明できます。ここで、 cf( κ ) はκの共終点です。

ルーツ

選択公理を仮定し、無限基数κと0 より大きい有限基数μが与えられると、満たす基数νはになります。 $\nu ^{\mu }=\kappa$ $\kappa$

対数

選択公理とを仮定し、無限基数κと1より大きい有限基数μが与えられた場合、を満たす基数λ が存在するかどうかは分からない。しかし、もしそのような基数が存在するならば、それは無限かつκより小さく、 1より大きい有限基数νもを満たす。 $\mu ^{\lambda }=\kappa$ $\nu ^{\lambda }=\kappa$

無限基数κの対数は、 κ ≤ 2 ^μを満たす最小の基数μとして定義されます。無限基数の対数は、位相空間の基数不変量の研究など、数学のいくつかの分野で有用ですが、正の実数の対数が持ついくつかの性質を欠いています。^[26]^[27]^[28]

連続体仮説

連続体仮説（CH）は、との間に厳密に一致する基数は存在しないと述べている。後者の基数はとも表記され、連続体（実数の集合）の基数である。この場合、 $\aleph _{0}$ $2^{\aleph _{0}}.$ ${\mathfrak {c}}$ $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.$

同様に、一般化連続体仮説（GCH）は、任意の無限基数に対して、との間に厳密に含まれる基数は存在しないことを述べています。連続体仮説と一般化連続体仮説はどちらも、集合論の通常の公理、すなわちツェルメロ・フランケル公理と選択公理（ZFC ）とは独立であることが証明されています。 $\kappa$ $\kappa$ $2^{\kappa }$

実際、イーストンの定理によれば、正規基数の場合、ZFC がの基数に課す唯一の制約はであり、指数関数が非減少であるということです。 $\kappa$ $2^{\kappa }$ $\kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })$

参照

参考文献

注記

^ ダウベン 1990、54ページ
^ Weisstein, Eric W. 「Cardinal Number」. mathworld.wolfram.com . 2020年9月6日閲覧。
^ フルバーチェク & ジェヒ 2017、p. 65
^ クリーネ 1952、9ページ。
^ クリヴィネ 1971、23ページ。
^ クラトフスキー 1968年、174ページ。
^ ストール 1963、80ページ。
^ サッペス 1972年、109ページ。
^ 竹内・ザリング 1982年、85ページ。
^ ブルバキ 1968年、158ページ。
^ エンダートン 1977年、136ページ。
^ ハルモス1998、94ページ。
^ シューマッハ 1996年、103ページ。
^ ハルモス 1998、53ページ。
^ Pinter 2014、第8章の3ページ。
^ タオ2022、60頁。
^ ^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16] $A$
$\operatorname {card} (A)$
$\#A$
^ クリーネ 1952, 9ページ
^ Pinter 2014、第8章の2ページ
^ ポッター、マイケル（2004年1月15日）『集合論とその哲学：批判的入門』クラレンドン・プレス、ISBN 978-0-19-155643-2。
^ エンダートン 1977年、136ページ
^ デイザー、オリバー（2010年5月）「基数概念の発展について」『論理学の歴史と哲学』31 (2): 123–143 . doi :10.1080/01445340903545904. S2CID 171037224.
^ エンダートン、ハーバート『集合論の要素』、アカデミック・プレス社、1977年。ISBN 0-12-238440-7
^ フリードリヒ・M・ハートグス(1915)、フェリックス・クライン;ヴァルター・フォン・ダイク;デヴィッド・ヒルベルト;オットー・ブルーメンタール（編）、「世界の問題の解決」、数学。アン。、Ｂｄ． 76 (4)、ライプツィヒ: B. G. Teubner: 438– 443、doi :10.1007/bf01458215、ISSN 0025-5831、S2CID 121598654、オリジナルから 2016-04-16 にアーカイブ、2014-02-02 に取得
^ abc シンドラー 2014、34ページ
^ Robert A. McCoy と Ibula Ntantu、「連続関数の空間の位相的性質」、Lecture Notes in Mathematics 1315、 Springer-Verlag。
^ Eduard Čech、『Topological Spaces』、Zdenek Frolík と Miroslav Katetov により改訂、John Wiley & Sons、1966 年。
^ DA Vladimirov、「解析、数学およびその応用におけるブール代数」、Kluwer Academic Publishers。

参考文献

ブルバキ、ニコラス(1968)。集合の理論。数学的要素。パリ：ヘルマン版。LCCN 68-25177。
ダウベン、ジョセフ・ウォーレン（1990年）、ゲオルク・カントール：無限の数学と哲学、プリンストン：プリンストン大学出版局、ISBN 0691-02447-2
エンダートン、ハーバート（1977年）『集合論の要素』ニューヨーク：アカデミック・プレス、ISBN 0-12-238440-7。LCCN 76-27438。
ハーン、ハンス『無限』、第9部、第2章、第3巻『数学の世界』、ニューヨーク：サイモン＆シュスター、1956年。
ハルモス、ポール・R. (1998) [1974]. 素朴集合論.数学学部テキスト. ニューヨーク:シュプリンガー・サイエンス+ビジネス・メディア. doi :10.1007/978-1-4757-1645-0. ISBN 978-0-387-90092-6. ISSN 0172-6056. 2023年1月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。代替URL
フルバーチェク, カレル;ジェフ, トーマス(2017) [1999]. 集合論入門（第3版、改訂増補版）. ニューヨーク: CRC Press . doi :10.1201/9781315274096. ISBN 978-0-82477915-3。LCCN 99-15458。
ジェッヒ, トーマス(2002) [1997]. 集合論. シュプリンガー数学モノグラフ（第3版）. ベルリン:シュプリンガー出版. doi :10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382.
金森明弘(2003) [1994]. 『高次の無限：集合論における大基数とその起源』シュプリンガー数学モノグラフ（第2版）ベルリン：シュプリンガー出版. doi :10.1007/978-3-540-88867-3. ISBN 978-3-540-88866-6. ISSN 1439-7382. LCCN 2008940025.
クリーネ、スティーブン・コール（1952年）『メタ数学入門』ニューヨーク：D.ヴァン・ノストランド社。
クリヴィン, ジャン＝ルイ (1971). 公理的集合論入門. シンセシス・ライブラリー. ニューヨーク: D. ライデル出版社. doi :10.1007/978-94-010-3144-8. ISBN 9780391001794. ISSN 0166-6991. LCCN 71-146965. 2014年8月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。代替URL
Koellner, Peter (2011), Zalta, Edward N. (ed.), "Independence and Large Cardinals", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2011 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , 2025-07-08取得
Koellner, Peter (2014), Zalta, Edward N. (ed.), "Large Cardinals and Determinacy", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2014 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University , 2025-07-08取得
クラトフスキ、カジミエシュ(1968)。集合理論。アムステルダム:北オランダ出版。LCCN 67-21972。
レヴィ、アズリエル(1979). 『基礎集合論　数理論理学の展望』ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-08417-7。LCCN 78-1917。
ピンター、チャールズ・C. (2014) [1971]. 集合論の書. ドーバー数学書. ミネオラ:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-79549-2. ISSN 2693-051X. LCCN 2013024319. 2024年8月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。代替URL
シンドラー、ラルフ＝ディーター (2014).集合論：独立性と真理の探究. Universitext. シュプリンガー出版. doi :10.1007/978-3-319-06725-4. ISBN 978-3-319-06725-4。
シューマッハー、キャロル(1996). 第0章抽象数学の基本概念. 参考文献: Addison-Wesley . ISBN 9780201826531。LCCN 95-22675。
ストール、ロバート・R. (1963). 集合論と論理. サンフランシスコ: WHフリーマン. LCCN 63-8995.
サッペス、パトリック(1972) [1960]. 公理的集合論. ドーバー数学ブックス. ニューヨーク:ドーバー出版. ISBN 0-486-61630-4. ISSN 2693-051X. LCCN 72-86226. 2014年8月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。代替URL
竹内, ガイシ; ザリング, ウィルソン M (1982). 公理的集合論入門.大学院数学テキスト（第2版）. ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/978-1-4613-8168-6. ISBN 0-387-90683-5. ISSN 0072-5285. LCCN 81-8838. 2014年8月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。
タオ、テレンス(2022). 『解析学 I. 数学テキストとリーディング（第4版）』シンガポール: Springer Science+Business Media . doi :10.1007/978-3-662-00274-2. ISBN 978-981-19-7261-4. ISSN 2366-8717.

外部リンク

「基数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]