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数学において、指標群（しんちょくぐん）とは、複素数値関数によるアーベル群の表現群のことである。これらの関数は1次元行列表現と考えることができるため、指標理論の関連文脈で生じる群指標の特殊なケースとなる。群が行列で表される場合、行列のトレースによって定義される関数は指標と呼ばれる。しかし、これらのトレースは一般に群を形成しない。これらの1次元指標の重要な性質のいくつかは、指標一般にも当てはまる。

• 文字は共役類に対して不変です。
• 既約表現の文字は直交する。

有限アーベル群の指標群は、主に整数論においてディリクレ指標を構成する際に用いられます。巡回群の指標群は、離散フーリエ変換の理論にも現れます。局所コンパクトアーベル群の場合、指標群（連続性を仮定した場合）はフーリエ解析において中心的な役割を果たします。

予選

をアーベル群とする。非零複素数群に写像する関数は、それが群準同型であるとき、つまりすべての に対して であるとき、の指標と呼ばれる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$

が有限群（またはより一般的には捩れ群）の指標である場合、各関数値は1 の根です。これは、各に対してとなるような が存在するため、 となるからです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g^{k}=e}$ ${\displaystyle f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1}$

各指標fはGの共役類上の定数であり、すなわちf ( hgh ⁻¹ ) = f ( g ) となる。このため、指標は類関数と呼ばれることもある。

n位 の有限アーベル群は、ちょうどn 個の異なる指標を持つ。これらはf ₁ , ..., f _nで表される。関数f ₁は自明な表現であり、すべての に対してで与えられる。これはGの主指標と呼ばれ、その他の指標は非主指標と呼ばれる。 ${\displaystyle f_{1}(g)=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

意味

Gがアーベル群ならば、指標f _kの集合は点ごとの乗法の下でアーベル群を形成する。つまり、指標と の積は、すべての に対してで定義される。この群はGの指標群であり、 と表記されることもある。 の単位元は主指標f ₁であり、指標f _kの逆数はその逆数 1/ f _kである。 がn次有限であれば、もn次である。この場合、すべての に対してとなるため、指標の逆数は複素共役に等しい。 ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle |f_{k}(g)|=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

代替定義

^{指標群の別の定義[1] pg 29} では、 をターゲットとして用いる。これは複素トーラスを研究する際に有用である。なぜなら、複素トーラス内の格子の指標群は、アペル・ハンバート定理によって双対トーラスと標準同型となるからである。すなわち、${\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb {C} ^{*}:|z|=1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong V^{\vee }\!/\Lambda ^{\vee }=X^{\vee }}$

文字群の明示的な要素は次のように表現できる。 の要素は次のように表現できることを思い出してほしい。${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle e^{2\pi ix}}$

に対してである。格子をの基礎となる実ベクトル空間の部分群として考えると、準同型${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \phi :\Lambda \to U(1)}$

地図として因数分解できる

${\displaystyle \phi :\Lambda \to \mathbb {R} \xrightarrow {\exp({2\pi i\cdot })} U(1)}$

これは準同型写像の基本的性質から導かれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x+y)&=\exp({2\pi i}f(x+y))\\&=\phi (x)+\phi (y)\\&=\exp(2\pi if(x))\exp(2\pi if(y))\end{aligned}}}$

望ましい因数分解が得られる。

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,\mathbb {R} )\cong {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )}$

群としての指標群と の準同型群との同型性が得られる。任意のアーベル群に対して、${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,G)\cong G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{2n}}$

複素指数関数と合成すると、

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},U(1))\cong \mathbb {R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$

これは予想通りの結果です。

例

有限生成アーベル群

全ての有限生成アーベル群は

${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{m}\mathbb {Z} /a_{i}}$

指標群は有限生成の場合すべてにおいて容易に計算できる。普遍性と有限積と余積の同型性から、の指標群は${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{k}{\text{Hom}}(\mathbb {Z} /n_{i},\mathbb {C} ^{*})}$

最初のケースでは、これは と同型であり、2 番目のケースは、ジェネレータを 1の - 乗根のさまざまな累乗に送るマップを調べることによって計算されます。 ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}}$ ${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} /n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \zeta _{n_{i}}=\exp(2\pi i/n_{i})}$

文字の直交性

行列A = A ( G )を考えます。この行列の要素は、Gのk番目の要素です。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k})}$ ${\displaystyle g_{k}}$

Aのj行目の要素の合計は次のように表される。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$ の場合、および${\displaystyle j\neq 1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n}$ 。

Aのk番目の列の要素の合計は次のように与えられる。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$ の場合、および${\displaystyle k\neq 1}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n}$ 。

をAの共役転置とすると、 ${\displaystyle A^{\ast }}$

${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI}$ 。

これは、文字の望ましい直交関係を意味します。つまり、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}}$ 、

ここで、 はクロネッカーのデルタであり、は の複素共役です。 ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i})}$ ${\displaystyle f_{k}(g_{i})}$

参照

• ポンチャギンの二重性

参考文献

1. ビルケンハーケ, クリスティーナ; H. ランゲ (2004).複素アーベル多様体（第2版、増補版）. ベルリン: シュプリンガー. ISBN 3-540-20488-1. OCLC  54475368。

• アポストル、トム・M.（1976）「解析的数論入門」第6章を参照、 Undergraduate Texts in Mathematics、ニューヨーク-ハイデルベルク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001