コンパクト収束

数学 において、コンパクト収束（またはコンパクト集合上の一様収束）は、一様収束の考え方を一般化した収束の一種である。コンパクト開位相と関連している。

意味

を位相空間とし、を計量空間とする。関数列 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$ 、${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

は、任意のコンパクト集合に対して、 ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle f_{n}|_{K}\to f|_{K}}$

として一様である。これは、任意のコンパクト に対して、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

例

• およびが通常の位相で、 の場合、 は値 0 を持つ定数関数にコンパクトに収束しますが、一様収束は成り立ちません。${\displaystyle X=(0,1)\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$
• 、かつの場合、は上で 0 、 で 1 となる関数に点ごとに収束しますが、その数列はコンパクトには収束しません。${\displaystyle X=(0,1]}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle 1}$
• コンパクト収束を示す非常に強力なツールとして、アルゼラ・アスコリ定理があります。この定理にはいくつかのバージョンがありますが、大まかに言えば、等連続かつ一様有界な写像の列には、何らかの連続写像にコンパクト収束する部分列が存在することを述べています。

プロパティ

• 均一であれば、コンパクトに。${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$
• がコンパクト空間であり、コンパクトであれば、一様です。${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$
• が局所コンパクト空間である場合、コンパクトであることと、局所一様であることは同値です。${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$
• がコンパクト生成空間であり、コンパクトであり、それぞれが連続である場合、は連続です。${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

参照

• 収束のモード（注釈付き索引）
• モンテルの定理

参考文献

• ラインホルト・レンメルト『 複素関数の理論』（1991年 シュプリンガー）p. 95