凹関数

数学において、凹関数とは、定義域内の任意の凸要素の組み合わせにおける関数値が、それらの定義域要素の凸要素の組み合わせ以上となる関数のことである。同様に、凹関数とは、その下点グラフが凸となる任意の関数のことである。凹関数のクラスは、ある意味で凸関数のクラスの反対である。凹関数は、下向き凹、下向き凹、上向き凸、凸キャップ、上向き凸とも同義である。

意味

区間（またはより一般的にはベクトル空間の凸集合）上の実数値関数が 凹関数であるとは、区間内の任意の および に対して、かつ任意の に対して、次のようになることを言う^[1]。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

関数が厳密に凹であるとき、

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

任意のおよびについて。 ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle x\neq y}$

関数 の場合、この 2 番目の定義は、 との間に厳密に存在する任意の に対して、のグラフ上の点が点とを結ぶ直線の上にあることを単に述べています。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (z,f(z))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (y,f(y))}$

関数の上側輪郭集合が凸集合である場合、その関数は準凹関数と呼ばれる。^[2]${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}$

プロパティ

3次関数は、1次導関数（赤）が単調減少、つまり2次導関数（オレンジ）が負の場合には凹関数（左半分）となり、1次導関数が単調増加、つまり2次導関数が正の場合には凸関数（右半分）となります。

単一変数の関数

1. 微分可能関数 fが区間上で（厳密に）凹関数となるのは、その導関数f′がその区間上で（厳密に）単調減少する場合のみである。つまり、凹関数は増加しない（減少する）傾きを持つ。^{[3] [4]}
2. 凹面が変化する点（凹面と凸面の間）が変曲点である。^[5]
3. f が2回微分可能であれば、fが凹となるのは、 f "が非正（または、非公式には「加速度」が非正）の場合のみです。 f "が負の場合、fは厳密に凹となりますが、逆は成り立ちません。これはf ( x ) = − x ⁴で示されます。
4. fが凹で微分可能な場合、その1次テイラー近似によって上界が与えられる：^[2] $${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$$
5. 区間C上のルベーグ可測関数が凹関数となるのは、それが中点凹関数である場合、すなわち、C内の任意のxとyに対して $${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$$
6. 関数fが凹関数でf (0) ≥ 0ならば、fはに対して劣加法性を持つ。証明： ${\displaystyle [0,\infty )}$
   • fは凹で1 ≥ t ≥ 0なので、y = 0とすると$${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$$
   • のために：${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$ $${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$$

の機能n変数

1. 関数f が凸集合に対して凹関数となるのは、関数−fがその集合に対して凸関数 となる場合のみである。
2. 2 つの凹関数の和はそれ自体が凹であり、 2 つの凹関数の点ごとの最小値も凹です。つまり、与えられた領域上の凹関数の集合は半体を形成します。
3. 関数の定義域の内部における厳密な局所的最大値の近くでは、関数は必ず凹型になります。逆に、厳密な凹型関数の導関数がある点でゼロになる場合、その点は局所的最大値になります。
4. 凹関数の任意の極大値は、大域的最大値でもある。厳密に凹関数は、大域的最大値を最大で1つしか持たない。

例

• 関数とはその定義域で凹であり、その 2 次導関数とは常に負です。${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle f''(x)=-2}$ ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$
• 対数関数は、その導関数が厳密に減少する関数であるため、その定義域上で凹です。${\displaystyle f(x)=\log {x}}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
• 任意のアフィン関数 は凹面と凸面の両方の性質を持ちますが、厳密に凹面でも厳密に凸面でもありません。${\displaystyle f(x)=ax+b}$
• 正弦関数は区間 で凹関数になります。${\displaystyle [0,\pi ]}$
• 関数（ただしは非負定値行列Bの行列式）は凹関数である。^[6]${\displaystyle f(B)=\log |B|}$ ${\displaystyle |B|}$

アプリケーション

• 大気中の電波減衰の計算における光線の曲げには、凹関数が関係します。
• 不確実性の下での選択に関する期待効用理論では、リスク回避的な意思決定者の基数効用関数は凹状である。
• ミクロ経済理論では、生産関数は通常、その領域の一部またはすべてにおいて凹型であると仮定され、その結果、投入要素に対する収穫逓減が生じる。^[7]
• 熱力学と情報理論において、エントロピーは凹関数である。相転移を伴わない熱力学的エントロピーの場合、示量変数の関数としてのエントロピーは厳密に凹である。系が相転移を起こし、かつ異なる相を持つ2つのサブシステム（相分離、例えば沸騰）に分裂することが許容される場合、サブシステムのエントロピー最大パラメータは、2つの相の間の直線上に正確に一致する合成エントロピーをもたらす。これは、相転移を伴う系の「有効エントロピー」が相分離を伴わないエントロピーの凸包であることを意味する。したがって、相分離を含む系のエントロピーは厳密には凹ではない。^[8]

参照

• 凹多角形
• ジェンセンの不等式
• 対数凹関数
• 準凹関数
• 凹面化

参考文献

1. Lenhart, S.; Workman, JT (2007).生物モデルへの最適制御の適用. 数理・計算生物学シリーズ. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-640-2。
2. Varian, Hal R. (1992).ミクロ経済分析（第3版）. ニューヨーク: Norton. p. 489. ISBN 0-393-95735-7. OCLC  24847759。
3. ルディン、ウォルター（1976年）「分析」p.101。
4. Gradshteyn, IS; Ryzhik, IM; Hays, DF (1976-07-01). 「積分、級数、積の表」. Journal of Lubrication Technology . 98 (3): 479. doi : 10.1115/1.3452897 . ISSN  0022-2305.
5. ハス, ジョエル (2017年3月13日). Thomas' calculus . ハイル, クリストファー, 1960-, ウィアー, モーリス D., トーマス, ジョージ B. ジュニア (ジョージ ブリントン), 1914-2006. (第14版). [アメリカ合衆国]. p. 203. ISBN 978-0-13-443898-6. OCLC  965446428.
6. Cover, Thomas M. ; Thomas, JA (1988). 「情報理論による行列式不等式」. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 9 (3): 384– 392. doi :10.1137/0609033. S2CID  5491763.
7. ペンバートン、マルコム、ラウ、ニコラス (2015). 『経済学者のための数学：入門教科書』オックスフォード大学出版局. pp.  363– 364. ISBN 978-1-78499-148-7。
8. Callen, Herbert B.; Callen, Herbert B. (1985). 「8.1 熱力学系の固有安定性」『熱力学と熱統計学入門』（第2版）ニューヨーク：Wiley. pp.  203– 206. ISBN 978-0-471-86256-7。

その他の参考文献

• Crouzeix, J.-P. (2008). 「準凹面性」. Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E. (編). 『新パルグレイブ経済学辞典』（第2版）. Palgrave Macmillan. pp.  815– 816. doi :10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5。
• ラオ、シンギレスS.（2009年）『エンジニアリング最適化：理論と実践』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、p.779、ISBN 978-0-470-18352-6。