Yでは、線A、線B、線Cは並行しています

幾何学において、平面または高次元空間上の直線は、1点で交差する場合、並行です。

ある点を通るすべての直線の集合は鉛筆と呼ばれ、それらの共通の交点は鉛筆の 頂点と呼ばれます。

任意のアフィン空間（ユークリッド空間を含む）において、与えられた直線に平行な（同じ方向を共有する）直線の集合も鉛筆と呼ばれ、平行線の各鉛筆の頂点は無限遠にある異なる点です。これらの点を含めると、すべての直線のペアが交点を持つ 射影空間になります。

例

三角形

三角形において、並行する直線の集合の4つの基本的なタイプは、高さ、角の二等分線、中線、垂直二等分線です

  • 三角形の縦線は各頂点から伸び、対辺と直角に交わります。3つの縦線が交わる点が垂心です。
  • 角の二等分線は、三角形の各頂点から伸び、対応する角を二等分する放射線です。それらはすべて内心で交わります。
  • 中線は、三角形の各頂点と対辺の中点を結びます。3つの中線は重心で交わります
  • 垂直二等分線は、三角形の各辺の中点から90度の角度で伸びる線です。3本の垂直二等分線は外心で交わります。

三角形に関連する他の線分も互いに交わります。例えば、

  • 任意の中線（三角形の面積の二等分線となる線）は、それぞれ辺に平行な他の2本の面積二等分線と交わります。[1]
  • 三角形の二等分線とは、三角形の周囲を二等分し、3辺のいずれかの中点に1つの端点を持つ線分です。3本の二等分線は、中心三角形の内接円であるシュピーカー円の中心で交わります
  • 三角形の二等分線とは、三角形の3つの頂点のいずれかに一端を持ち、周囲を二等分する線分のことです。3つの二等分線は三角形のナーゲル点で合流します。
  • 三角形の面積と周長を半分に分ける直線は、三角形の内心を通り、各三角形には1本、2本、または3本の内心があります。[2]したがって、内心でこれらの直線が3本ある場合、それらは内心で合流します。
  • 三角形のタリー点は、三角形の最初のブロカール三角形の対応する辺に垂直な、三角形の頂点を通る線が合流する点です。
  • 三角形のシフラー点は、4つの三角形のオイラー線が合流する点です。つまり、問題の三角形と、それぞれ2つの頂点を共有し、もう1つの頂点をその内心とする3つの三角形です
  • ナポレオン点とその一般化は、共線点です。例えば、最初のナポレオン点は、正三角形の頂点から、その頂点の反対側の外郭に描かれた正三角形の重心までの3本の直線が共線点となる点です。この概念の一般化はヤコビ点です。
  • ド・ロンシャン点は、オイラー直線と複数の直線が共線点となる点です
  • 与えられた三角形の1辺に外接正三角形を描き、その新しい頂点と元の三角形の対角点を結ぶ3本の直線は、第一等角中心と呼ばれる点で交わります。元の三角形の角度が120°を超えない場合、この点はフェルマー点でもあります。
  • アポロニウス点は、三角形の外接円が内接する円の接点と、三角形の対角点を結ぶ3本の直線が交わる点です。

四辺形

  • 四辺形の2本の二中線（対辺の中点を結ぶ線分）と対角線の中点を結ぶ線分は交わり、すべて交点で二等分されます。[3] : p.125 
  • 接線四辺形において、4本の角の二等分線は内接円の中心で交わります。[4]
  • 接線四辺形のその他の一致点については、以下を参照してください。
  • 円周四辺形において、4本の線分は、それぞれ一方の辺に垂直で、反対側の辺の中点を通っており、それらは互いに共存します。[3] : p.131,   [5]これらの線分は、中点高度[6] （中点高度の略）と呼ばれます。それらの共通点は反心と呼ばれます。
  • 凸四辺形が外接四辺形であるためには、 6つの角の二等分線が一致する必要 があります。つまり、2つの反対側の頂点における内角の二等分線、他の2つの頂点における外角の二等分線、そして反対側の辺の延長線が交差する角度における外角の二等分線です。

六角形

  • 円周 六角形の連続する辺がa、b、c、d、e、fである場合、3本の主対角線が1点で共存するのは、ace = bdfの場合のみです。[7]
  • 六角形に内接 円錐曲線がある場合、ブリアンションの定理により、その主対角線は互いに平行になります (上の図のように)。
  • パップスの六角形定理の双対において、平行線が生じます。
  • 環状六角形の各辺について、隣接する辺を交点まで延長し、その辺の外に三角形を形成します。すると、向かい合う三角形の外心を結ぶ線分は共線となります。[8]

正多角形

円

楕円

  • 楕円のすべての面積二等分線と円周二等分線は、楕円の中心で交わります。

双曲線

  • 双曲線において、以下のものは交わります。(1) 双曲線の焦点を通り、双曲線の中心を中心とする円。(2) 頂点で双曲線に接する直線のいずれか。(3) 双曲線の漸近線のいずれか
  • 以下のものも共線です。(1) 双曲線の中心を中心とし、双曲線の頂点を通る円、(2) いずれかの準線、(3) いずれかの漸近線。

四面体

代数

ルーシェ・カペリ定理によれば、連立方程式が無矛盾であるのは、係数行列の階数が拡大行列（係数行列に切片項の列を追加したもの）の階数と等しい場合のみであり、連立方程式が唯一の解を持つのは、その共通階数が変数の数と等しい場合のみである。したがって、2変数の場合、k個の方程式の集合に関連付けられた平面上のk本の直線が並行であるためには、 k × 2の係数行列の階数とk × 3の拡大行列の階数がどちらも2である必要がある。その場合、k個の方程式のうち2つだけが独立であり、並行点は、2つの変数について任意の2つの独立した方程式を同時に解くことによって見つけることができる。

射影幾何学

射影幾何学において、2次元では同時性は共線性の双対であり、3次元では同時性は共平面性の双対です。

参考文献

  1. ^ Dunn, JA, Pretty, JE, "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.
  2. ^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers," Mathematics Magazine 83, April 2010, pp. 141-146.
  3. ^ ab Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), Courier Dover, pp. 131, 137–138 , ISBN 978-0-486-45805-2、OCLC  78063045
  4. ^ Andreescu, Titu and Enescu, Bogdan, Mathematical Olympiad Treasures , Birkhäuser, 2006, pp. 64–68.
  5. ^ Honsberger, Ross (1995), "4.2 巡回四辺形", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, pp.  35– 39, ISBN 978-0-88385-639-0
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Maltitude". MathWorld .
  7. ^ Cartensen, Jens, "About hexagons", Mathematical Spectrum 33(2) (2000-2001), 37-40
  8. ^ Nikolaos Dergiades, "Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon", Forum Geometricorum 14, 2014, 243--246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html
  9. ^ Leung, Kam-tim; Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53-54
  • Wolfram MathWorld Concurrent, 2010.