信頼区間

各行の点は、同じ正規分布からの標本です。色付きの線は、母平均μの50%信頼区間です。各区間の中央には、ひし形でマークされた標本平均 μ があります。青い区間にはμが含まれ、赤い区間には含まれません。${\textstyle {\bar {x}}}$

統計学において、信頼区間（CI ）は、母平均などの未知の統計パラメータを推定するために使用される値の範囲です。^[1]信頼区間は、単一の点の推定値（「平均スクリーン時間は1日3時間」など）を報告するのではなく、2時間から4時間などの範囲と、通常は95％ などの指定された信頼水準を提供します。

95%の信頼水準は、真のパラメータが特定の計算区間内に存在する確率が95%であることを意味するものではありません。信頼水準は、区間を生成するために使用された方法の長期的な信頼性を反映しています。^{[2] [3]}言い換えれば、同じ母集団から同じサンプリング手順を100回繰り返した場合、結果として得られる区間のうち約95区間に真の母集団平均が含まれると予想されます。

定義

を統計パラメータを持つ確率分布からのランダムサンプルとします。ここで、は推定される量であり、 には分布を決定する他のパラメータ（もしあれば）が含まれます。信頼水準または係数 を持つパラメータ の信頼区間は、確率変数によって決定され、次の特性を持つ 区間です${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (u(X),v(X))}$ ${\displaystyle u(X)}$ ${\displaystyle v(X)}$ $${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))=\gamma \quad {\text{for all }}(\theta ,\varphi ).}$$

通常は大きな数値（例：0.95）ですが、 という形式（またはパーセンテージ）で表すこともあります。ここでは小さな正の数値（多くの場合0.05）です。これは、繰り返しサンプリングを行った場合、区間がの値をカバーする確率があることを意味します。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 1-\alpha }$ ${\displaystyle 100\%\cdot (1-\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\textstyle (u(X),v(X))}$ ${\textstyle \gamma }$ ${\textstyle \theta }$

多くの応用において、必要な信頼水準を正確に満たす信頼区間を構築することは困難ですが、近似的な区間を計算することは可能です。区間構築の規則は、以下の場合に受け入れられます。

$${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))\approx \ \gamma }$$

許容できる程度の近似値にすること。あるいは、一部の著者^[4]は、単に

$${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))\geq \ \gamma }$$ カバレッジ確率がいくつかのパラメータ値よりも確実に大きくなること が分かっている場合、信頼区間は保守的と呼ばれます。つまり、安全側に誤ります。これは、区間が必要以上に広くなる可能性があることも意味します。 ${\displaystyle \gamma }$

導出方法

信頼区間を計算する方法は数多くあり、最適な方法は状況によって異なります。広く適用されている2つの方法は、ブートストラッピングと中心極限定理です。^[2]後者の方法は、標本平均と標本標準偏差を計算し、漸近的に標準正規分布に従う量を使用する ため、標本数が多い場合にのみ有効です。${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$$

ここで、はそれぞれ母集団の平均とサンプルサイズです。 ${\textstyle \mu }$ ${\displaystyle n}$

例

この棒グラフでは、茶色の棒の上端が観測平均値を示し、赤い線分（「エラーバー」）がその周囲の信頼区間を表しています。エラーバーは平均値を中心に左右対称に表示されていますが、必ずしもそうとは限りません。ほとんどのグラフでは、エラーバーは信頼区間を表すものではありません（例えば、標準誤差や標準偏差を表す場合が多いです）。

正規分布する母集団から独立した標本を取り出し、その平均と分散が不明なパラメータを持つと仮定する。標本平均と不偏標本分散を次のように 定義する。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}.}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {X}}&={\frac {1}{n}}\left(X_{1}+\cdots +X_{n}\right),\\S^{2}&={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

すると、値

$${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$$

は自由度を持つスチューデントのt分布に従います。 ^[5]この値は、その分布が観測不可能なパラメータの値に依存しないため有用です。つまり、それは重要な量です ${\textstyle n-1}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle \sigma ^{2}}$

まず、 の95%信頼区間を計算したいとします。を の分布の97.5パーセンタイルとします。すると、が より小さくなる確率は2.5% 、 が より大きくなる確率は2.5%です（t分布は0を中心に対称であるため）。言い換えると、 ${\textstyle \mu .}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle -c}$ ${\textstyle +c}$

$${\displaystyle P_{T}(-c\leq T\leq c)=0.95.}$$

その結果、用語 を置き換えて並べ替えると、${\textstyle T}$ ${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$

$${\displaystyle P_{X}{\left({\bar {X}}-{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\right)}=0.95}$$

ここで、はサンプルの確率測度です。 ${\displaystyle P_{X}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

これは、繰り返しサンプリングを行った場合、この条件が発生する確率が95%であることを意味します。サンプルを観察した後、と の値を求め、そこから以下の区間を計算します。これを平均値の95%信頼区間と呼びます。 ${\displaystyle {\bar {X}}-{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+{\frac {cS}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle \left[{\bar {x}}-{\frac {cs}{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+{\frac {cs}{\sqrt {n}}}\right].}$$

解釈

信頼区間には様々な解釈があります（以下では95%信頼区間を例に挙げます）。

• 信頼区間は、繰り返しサンプル（または再サンプリング）における長期的な頻度で表現することができます。「この手順を多数のサンプルで繰り返すと、計算された95％信頼区間のうち、母数の真の値を包含する割合は95％に近づく傾向があります。」^[6]
• 信頼区間は、単一の理論的な（まだ実現されていない）サンプルに関する確率で表現することができます。「将来の特定のサンプルから計算された95％信頼区間が、母数の真の値をカバーする確率は95％です。」 ^[7]これは本質的に、「繰り返しサンプル」の解釈を頻度ではなく確率として再構成したものです。
• 信頼区間は統計的有意性の観点から表現することができます。例えば、「95%信頼区間は、0.05レベルの点推定値と統計的に有意に差がない値を表します。」 ^[8]

統計的有意性の観点から見た95%信頼区間の解釈

よくある誤解

正規分布から生成された50個のサンプルからの50個の信頼区間のプロット

信頼区間と信頼水準はしばしば誤解されており、発表された研究では専門の科学者でさえもそれらを誤解していることが示されています。^[9]

• 95%の信頼水準は、与えられた実現区間において、母数がその区間内に存在する確率が95%であることを意味するものではない。^{[10] [11]}
• 95%の信頼水準は、サンプルデータの95%が信頼区間内に含まれることを意味するものではありません。^[1]
• 95%の信頼水準は、実験を繰り返した結果から得られたパラメータ推定値が、与えられた実験から計算された信頼区間内に95%の確率で収まることを意味するものではない。^[11]

例えば、金属棒を製造している工場があるとします。25本の棒を無作為に抽出すると、母平均長さの95%信頼区間は36.8～39.0mmとなります。^[12]

• 真の母平均がこの区間内に95%の確率で収まると言うのは誤りです。なぜなら、真の平均値は一定であり、ランダムではないからです。例えば、信頼区間内に収まる37mmの場合もあれば、収まらない40mmの場合もあります。いずれにせよ、36.8mmから39.0mmの範囲に収まるかどうかは、確率ではなく事実の問題です。
• サンプルの棒の95%の長さがこの区間内にあるとは必ずしも言えません。この場合、25の95%は整数ではないため、この区間内に収まることはあり得ません。
• 2回目の標本採取を行った場合、標本平均長（母集団平均長の推定値）がこの区間内に収まる確率が95%であるというのは誤りです。実際、真の平均長がこの特定の信頼区間から大きく離れている場合、次の標本平均がこの区間内に収まる可能性は非常に低い可能性があります。

代わりに、95％の信頼水準は、そのようなサンプルを100個採取した場合、真の母集団平均が計算された間隔の約95％以内にあると予想されることを意味します。^{[1] [10] [11] [12]}

比較予測区間

信頼区間は、平均値などの母数パラメータを推定するために使用されます。例えば、6面サイコロの目の期待値は3.5です。繰り返し標本抽出を行い、多数の95%信頼区間を計算すると、そのうち約95%の区間で3.5が含まれます（信頼区間の幅は標本数が増えるにつれて狭くなります）。

一方、予測区間は、将来の個々の観測値が一定の確率でその範囲内に入ると予想される範囲を示します。公平な6面サイコロを1回振った場合、正確な95%の予測区間は存在しません。しかし、20面サイコロを振った場合、正確な95%の予測区間は存在します。そのような区間の1つは です。これは、サイコロを振った場合、95%の確率で19以下が出、残りの5%の確率で20が出るからです。 ${\displaystyle [1,19]}$

重要な違いは、信頼区間はパラメータの推定における不確実性を定量化するのに対し、予測区間は将来の観測を予測する際の不確実性を定量化する点です。

比較信頼区間

既知の分散を持つ正規分布の平均を推定するなど、多くの一般的な設定では、^[13]信頼区間は非情報事前分布の下での信頼区間と一致します。このような場合、信頼区間に関する一般的な誤解（例えば、信頼区間をパラメータに関する確率の記述として解釈すること）によって、実質的に正しい結論が得られる可能性があります

信頼区間の単純な解釈がいかに問題となるかの例

均一な位置の信頼手順

50%ウェルチ区間とベイズ区間の10例が、白と灰色の対照的な行に示されています。例は、との間の距離が短い順に上から下へ並べられています。${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

ウェルチ^[14]は、信頼区間理論と他の区間推定理論（フィッシャーの信頼区間や客観的ベイズ区間を含む）との違いを明確に示す例を示した。ロビンソン^[15]はこの例を「ネイマン版信頼区間理論に対する最もよく知られた反例」と呼んだ。ウェルチにとって、これは信頼区間理論の優位性を示したが、批判者にとっては欠陥を示した。ここでは簡略化した例を示す。

が一様分布からの独立した観測値であると仮定する。この場合、最適な50%信頼区間の手順は^[16]である。${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ ${\displaystyle (\theta -1/2,\theta +1/2)}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\bar {X}}\pm {\begin{cases}{\dfrac {|X_{1}-X_{2}|}{2}}&{\text{if }}|X_{1}-X_{2}|<1/2\\[8pt]{\dfrac {1-|X_{1}-X_{2}|}{2}}&{\text{if }}|X_{1}-X_{2}|\geq 1/2.\end{cases}}}$$

信頼区間推定値を求めるには、信頼度の高いベイズ推定法または客観的ベイズ推定法を用いることができ、 これも50%の信頼度で求められます。ウェルチは、信頼区間理論の要件に従い、最初の信頼区間推定法が2番目の信頼区間推定法よりも優れていることを示し、すべての に対して、最初の推定法が を含む確率は、2番目の推定法が を含む確率以下であることを示しています。最初の推定法による区間の平均幅は、2番目の推定法による区間の平均幅よりも狭くなります。したがって、古典的な信頼区間理論では、最初の推定法が優先されます。 $${\displaystyle {\bar {X}}\pm {\frac {1-|X_{1}-X_{2}|}{4}},}$$ ${\displaystyle \theta _{1}\neq \theta }$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$

しかし、 の場合、最初の手順で得られた区間には真の値 が含まれることが保証されます。したがって、名目50%信頼係数は、特定の区間に真の値が含まれるという不確実性とは無関係です。2番目の手順にはこの性質がありません。 ${\displaystyle |X_{1}-X_{2}|\geq 1/2}$ ${\displaystyle \theta }$

さらに、最初の手順で非常に短い区間が生成された場合、これは非常に接近しているため、単一のデータポイントの情報しか提供できないことを意味します。しかし、最初の区間は幅が短いため、パラメータの妥当な値のほとんどを除外してしまいます。2番目の手順では、このような特性はありません。 ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$

最初の手順には、直感に反する2つの特性、すなわち、値が離れている場合には100%のカバレッジが得られるのに対し、値が近い場合にはほぼ0%のカバレッジしか得られないという特性があります。これらの特性がバランスを取り、平均すると50%のカバレッジが得られます。しかし、最初の手順は最適であるにもかかわらず、その区間は推定値の精度を評価することも、区間に真の値が含まれているかどうかの不確実性を評価することもできません。 ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$

この例は、信頼区間の単純な解釈に反論するために用いられます。信頼区間の手順が名目上の範囲を超える特性（例えば、精度との関係やベイズ推論との関係など）を持つと主張される場合、それらの特性は証明されなければなりません。それらの特性は、手順が信頼区間の手順であるという事実から導かれるものではありません。

信頼手順ω²

Steiger ^[17]は、分散分析における一般的な効果サイズの指標に対して、いくつかの信頼区間推定手順を提案した。Moreyら^[10]は、 ω ²の手順を含め、これらの信頼区間推定手順のいくつかは、 F統計量が小さくなるにつれて（ ω ^{2のすべての可能な値との不適合を示す）、信頼区間が狭くなり、} ω ² = 0という単一の値しか含まなくなる 、つまり信頼区間が極めて狭い（信頼区間に対して のときに発生する）という特性があると指摘している。 ${\displaystyle p\geq 1-\alpha /2}$ ${\displaystyle 100(1-\alpha )\%}$

この挙動は、信頼区間と有意性検定の関係と一致している。すなわち、Fが非常に小さくなり、グループ平均値が偶然に予想されるよりもはるかに接近すると、有意性検定ではω ²のほとんどまたはすべての値が棄却される可能性がある。したがって、区間は非常に狭くなるか、空になる（あるいは、Steigerが提案した慣例によれば、0のみを含む）。しかし、これはω ²の推定値が非常に正確であることを示すものではない。ある意味では、その逆、つまり結果自体の信頼性が疑わしい可能性があることを示している。これは、信頼区間は推定値の精度を明らかにするという一般的な解釈に反する。

歴史

二項比率の信頼区間を計算する方法は1920年代から登場しました。^{[18] [19]}信頼区間の一般的な主要な考え方は1930年代初頭に開発され、^{[20] [21] [22]}最初の徹底的かつ一般的な説明は1937年にJerzy Neymanによって示されました。 ^[7]

ネイマンはアイデアの発展について次のように述べている（参照番号は変更されている）。^[22]

[信頼区間に関する私の研究]は、1930年頃、当時ワルシャワで農業経済学の実証研究に携わっていた私の教え子、ヴァツワフ・ピトコフスキーの素朴な疑問から始まりました。その疑問とは、「推定された回帰係数の精度を、独断的ではなくどのように特徴づけるか？」というものでした。

ピトコウスキーのモノグラフは 1932 年に出版された^[23]。偶然にも、そのやや前に、フィッシャーが信頼分布と信頼論証に関する最初の論文^[24]を発表していた。予想外だったのは、信頼論証の概念的枠組みが信頼区間のそれとはまったく異なっているにもかかわらず、いくつかの特定の問題に対する具体的な解決法が一致したということである。したがって、私が 1934 年に発表した信頼区間の理論を発表した最初の論文^[20]では、ベイズの定理を参照することなく区間推定が可能であり、その解が事前確率から独立しているというフィッシャーの考えを優先していることを認識していた。同時に、私は、この問題に対するフィッシャーのアプローチには小さな誤解が含まれていることを軽く示唆した。

医学雑誌では、信頼区間は1970年代に推奨されましたが、広く使用されるようになったのは1980年代になってからでした。^[25] 1988年までに、医学雑誌は信頼区間の報告を義務付けました。^[26]

特定の分布の信頼区間

• 二項分布の信頼区間
• べき乗分布の指数の信頼区間
• 指数分布の平均の信頼区間
• ポアソン分布の平均の信頼区間
• 正規分布の平均と分散の信頼区間（こちらも）
• 単回帰のパラメータの信頼区間
• 平均値の差の信頼区間（正規分布のデータに基づき、等分散を仮定しない）
• 2つの割合の差の信頼区間

参照

• CLs上限（素粒子物理学）
• 68-95-99.7ルール
• 信頼帯、曲線の区間推定値
• 信頼分布
• 信頼領域 – 信頼区間の多次元版、高次元の一般化
• 信念（統計）  - 統計で使用される信念の強さの尺度
• 信頼区間、区間推定のベイズ推定の代替法
• 累積分布関数に基づくノンパラメトリック信頼区間 – 分布の統計関数の周りの信頼区間のクラス
• エラーバー – データの変動性をグラフで表したもの
• 推定統計 - 頻度主義統計におけるデータ分析アプローチ
• 誤差範囲、CI半値幅
• p値 – 観測されたサンプル結果の関数
• 予測区間、確率変数の区間推定
• 確率誤差
• ロバスト信頼区間 – 標本の偏差の統計的指標Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

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参考文献

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外部リンク

• Excelで実行される信頼区間の探索的ソフトウェアチュートリアルプログラム
• R二乗、回帰係数、回帰切片の信頼区間計算ツール
• ワイスタイン、エリック・W.「信頼区間」。MathWorld。
• CAUSEweb.org 信頼区間を含む統計を教えるためのリソースが多数あります。
• 信頼区間のインタラクティブな入門
• 信頼区間: 信頼レベル、サンプル サイズ、および誤差範囲、Eric Sc​​hulz、 Wolfram デモンストレーション プロジェクト。
• 公衆衛生における信頼区間（2016年8月9日、Wayback Machineにアーカイブ） 。例を挙げて分かりやすく説明し、サンプルサイズが小さい場合や0に近い割合の場合の対処法についても解説しています。