可算選択公理

可算な 集合列(S _i ) = S ₁ , S ₂ , S ₃ , ... の各集合には、0 以外の、場合によっては無限個（あるいは非可算無限個）の要素が含まれます。可算選択公理により、各集合から任意の1つの要素を選択し、対応する要素列 ( x _i ) = x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...を形成することができます。

可算選択公理または可算選択公理（ AC _ωと表記）は、集合論の公理であり、空でない集合の可算な集合はすべて選択関数を持つ必要があることを述べています。つまり、任意の に対して が空でない集合となるような定義域（ここで は自然数の集合を表す）を持つ関数が与えられたとき、任意の に対してとなるような定義域を持つ関数 が存在するということです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(n)\in A(n)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

アプリケーション

AC _{ω は}、実数集合の可算な集合に対する選択関数の存在を多くの結果が依存する数学解析の発展に特に有用である。例えば、集合の任意の集積点が の元のある列の極限であることを証明するには、可算選択公理（の弱形式）が必要である。任意の距離空間の集積点に対して定式化すると、この命題は AC _ωと等価になる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$

可算選択を用いた解析の実行能力は、選択関数はそれを構成することなく存在するという主張にもかかわらず、_{ACωをいくつかの}構成的数学の公理として取り入れることにつながった。 ^[1]

例: 無限はデデキント無限を意味します

_{AC ω}の応用例として、すべての無限集合がデデキント無限集合であるという証明（ZF  + AC _ωより）を示す：^[2]

を無限大とする。各自然数 に対し、の異なる要素からなるすべての -組の集合を とする。は無限大なので、各 は空ではない。AC _ωを適用すると、それぞれが -組である列が得られる。これらの組を連結して、 の要素からなる単一の列を作成することができる。この列には、重複要素が含まれる場合もある。重複を抑制すれば、異なる要素からなる 列が得られる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle c_{n}=b_{k}}$ 、 と。${\displaystyle k=\min\{i\mid \forall _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}}$

これは、選択時にのすべての要素が、以前に選択された要素の中に含まれ得るわけではないために存在する。したがって、 は可算集合を含む。各 をに写す（そして の他のすべての要素は固定する）関数は、からへの一対一写像であり、 は全射ではない。これは、がデデキント無限であることを証明している。 ^[2]${\displaystyle i}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle B_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle c_{n+1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

他の公理との関係

より強力で独立したシステム

可算選択公理（AC _{ω ）は}従属選択公理（DC）よりも厳密に弱く、 ^{[3]従属選択公理は}選択公理（AC）よりも弱い。DC、したがってAC _{ωも、1970年に}ロバート・M・ソロベイが完全な選択公理を持たない集合論のモデルとして構築したソロベイモデルでは成立し、このモデルではすべての実数の集合が測定可能である。^[4]

ウリゾーンの補題（UL）とティーツェの拡張定理（TET）はZF+AC _{ωとは独立である。ULとTETが真となるZF+AC ω モデルと、偽となるZF+AC ω}モデルが存在する。ULとTETはDCによって導かれる。^[5]

弱いシステム

ポール・コーエンは、AC _{ω は}選択公理なしにはツェルメロ–フランケル集合論（ZF）では証明できないことを示した。 ^[6] しかし、空でない集合の可算無限集合の中には、選択公理を一切用いずにZFで選択関数を持つことが証明できるものがある。例えば、は選択関数を持つ。ここで は遺伝的に有限な集合の集合、すなわちフォン・ノイマン宇宙で非有限階数の最初の集合である。選択関数は（自明に）整列集合の最小元である。別の例としては、有理数端点を持つ実数の 真かつ有界な開区間の集合がある。${\displaystyle V_{\omega }\setminus \{\emptyset \}}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$

ZF+AC _{ω は}、可算個数の可算集合の和集合が可算であることを証明するのに十分である。これらの命題は同値ではない。コーエンの第一モデルは、可算集合の可算和集合が可算である例を示しているが、AC _{ω は}成立しない。^[7]

同等の形式

可算選択公理には、ZFで他の公理のいずれかを仮定すれば、いずれか1つが証明できるという意味で、同値な形式が多数存在します。例えば、以下の形式が挙げられます。^{[8] [9]}

• 空でない集合の可算な集合はすべて選択関数を持つ。^[8]
• 空でない集合の無限集合には必ず選択関数を持つ無限部分集合が存在する。^[8]
• 任意のσ-コンパクト空間（可算個のコンパクト空間の和）はリンデレフ空間である（任意の開被覆には可算な部分被覆がある）。^[8]距離空間がσ-コンパクトであるための必要十分条件は、それがリンデレフであることである。^[9]
• すべての第二可算空間（開集合の可算基底を持つ）は可分空間（可算稠密部分集合を持つ）である。^[8]距離空間が可分であるための必要十分条件は、σ-コンパクトであることである。^[9]
• 計量空間における連続実数値関数はすべて連続関数である。^[8]
• 距離空間の部分集合のすべての集積点は、その部分集合からの点の列の極限である。 ^[9]
• ラシオワ・シコルスキーの補題MAは、マーティンの公理の可算な形式である。可算連鎖条件を満たす前順序において、すべての稠密部分集合の可算な族は、すべての部分集合と交差するフィルタを持つ。（この文脈では、前順序のすべての要素がその集合内で下限を持つ場合、その集合は稠密であると呼ばれる。）^[8]${\displaystyle (\aleph _{0})}$

参考文献

1. バウアー、アンドレイ (2017). 「構成的数学を受け入れるための5つの段階」アメリカ数学会報. 新シリーズ. 54 (3): 481– 498. doi : 10.1090/bull/1556 . MR  3662915.
2. Herrlich 2006、命題 4.13、p. 48.
3. ジェック、トーマス・J. (1973). 『選択公理』ノースホランド、pp.  130– 131. ISBN 978-0-486-46624-8。
4. Solovay, Robert M. (1970). 「実数のすべての集合がルベーグ可測となる集合論のモデル」Annals of Mathematics . Second Series. 92 (1): 1– 56. doi :10.2307/1970696. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970696. MR  0265151.
5. Tachtsis, Eleftherios (2019)、「Urysohn lemma は ZF + 可算選択とは独立である」、Proceedings of the American Mathematical Society、147 (9): 4029– 4038、doi : 10.1090/proc/14590、MR  3993794
6. ポッター、マイケル（2004年）『集合論とその哲学：批判的入門』オックスフォード大学出版局、164頁。ISBN 9780191556432。
7. Herrlich, Horst (2006). 「セクションA.4」. 選択公理. 数学講義ノート. 第1876巻. Springer. doi :10.1007/11601562. ISBN 3-540-30989-6. 2023年7月18日閲覧。
8. ハワード, ポール;ルービン, ジーン E. (1998).選択公理の帰結. プロビデンス, ロードアイランド: アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-0977-8。特にフォーム8の17～18ページを参照してください。
9. Herrlich, Horst (1997). 「初等位相幾何学と解析における選択原理」(PDF) .コメント. 数学. カロライナ大学. 38 (3): 545.特に、定理2.4（547～548ページ）を参照してください。

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