可算集合

数学において、集合が可算であるとは、それが有限であるか、自然数の集合と1対1に対応できることのいずれかである。^[a]同様に、集合が可算であるとは、その集合から自然数への入射関数が存在する場合である。つまり、集合内の各要素が一意の自然数に関連付けられるか、集合の要素が一度に1つずつ数えられるが、要素の数が無限であるため、数え上げが終わらない場合があることを意味する。

より専門的な言葉で言えば、可算選択公理を仮定すると、集合の濃度（集合の要素数）が自然数の濃度より大きくない場合、その集合は可算である。有限でない可算集合は可算無限集合と呼ばれる。

この概念は、無数集合、つまり数えられない集合 (たとえば実数の集合)の存在を証明したゲオルク・カントールに帰せられます。

用語に関する注意

ここで定義されている「可算」と「可算無限」という用語は非常に一般的ですが、この用語は普遍的ではありません。^[1]別の表現では、 「可算」はここで可算無限と呼んでいるものを意味し、「せいぜい可算」はここで可算と呼んでいるものを意味します。^{[2] [3]}

可算^[4]および可算^{[5] [6]}という用語も使用されることがあります。たとえば、それぞれ可算および可算無限を指しますが^{[7] 、定義はさまざまであり、}再帰的に可算との違いに注意が必要です。^[8]

意味

集合が可算なのは次のような場合です: ${\displaystyle S}$

• その濃度は 自然数の集合の濃度（アレフゼロ）以下である。^[9]${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• からへの単射関数が存在する。^{[10] [11]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$ が空であるか、からへの射影関数が存在する。^[11]${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$
• との部分集合の間には全単射写像が存在する。^[12]${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$ は有限（ ）か可算無限のいずれかである。^[5]${\displaystyle |S|<\aleph _{0}}$

これらすべての定義は同等です。

集合が可算無限であるとは、次の場合です。 ${\displaystyle S}$

• その濃度はちょうど である。^[9]${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• との間には、単射かつ全射（したがって、全単射）のマッピングが存在します。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$ はと一対一に対応している。^[13]${\displaystyle \mathbb {N} }$
• の要素は無限列 に並べることができる。ただし はに対して とは区別され、 のすべての要素がリストされる。^{[14] [15]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle S}$

集合が可算でないとき、すなわちその濃度がより大きいとき、その集合は不可算である。^[9]${\displaystyle \aleph _{0}}$

歴史

1874年、カントルは最初の集合論の論文で、実数の集合は可算でないことを証明し、すべての無限集合が可算ではないことを示した。^[16] 1878年、彼は1対1対応を用いて基数を定義・比較した。^[17] 1883年、彼は自然数を無限順序数で拡張し、順序数の集合を用いて異なる無限基数を持つ無限の集合を生成した。^[18]

導入

集合とは要素の集まりであり、様々な方法で記述できます。一つの方法は、その要素をすべて列挙することです。例えば、整数3、4、5からなる集合は と表記され、これは名簿形式と呼ばれます。^[19]しかし、これは小さな集合に対してのみ有効です。大きな集合では、時間がかかり、間違いが起きやすくなります。すべての要素を列挙する代わりに、集合の開始要素と終了要素の間にある多くの要素を表すために、省略記号（"..."）が使用されることがあります。これは、記述者が読者が ... が何を表すかを容易に推測できると考えている場合です。例えば、はおそらく1から100までの整数の集合を表します。しかし、この場合でも、集合内の要素の数は有限であるため、すべての要素を列挙することは可能です。集合の要素に1、2、…と番号を付けて まで増やすと、「サイズ の集合」の通常の定義が得られます。 ${\displaystyle \{3,4,5\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,\dots ,100\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

整数から偶数への全単射写像

集合の中には無限 個の要素を持つものがあります。これらの集合は 個以上の要素を持ちます。ここでは任意の整数です。（のように、指定された整数がどれほど大きくても、無限集合は 個以上の要素を持ちます。）例えば、 で表される自然数の集合[ ^a]は無限個の要素を持ち、その大きさを表すために任意の自然数を使用することはできません。集合を異なるクラスに分けるのが自然に思えるかもしれません。つまり、1つの要素を含むすべての集合をまとめる、2つの要素を含むすべての集合をまとめる、…そして最後に、すべての無限集合をまとめて、それらを同じ大きさを持つと見なすのです。この考え方は可算無限集合には有効であり、ゲオルク・カントールの研究以前は広く信じられていた仮定でした。例えば、奇数は無限個、偶数は無限個、そして整数全体も無限個存在します。これらの集合はすべて同じ「大きさ」を持つと見なすことができます。なぜなら、すべての整数に対して、異なる偶数が存在するように配置できるからです。 あるいは、より一般的には、（図を参照）。ここで行ったのは、整数と偶数を一対一対応（または単射）に配置することです。これは、 2つの集合を、それぞれの集合の各要素がもう一方の集合の単一の要素に対応するように写像する関数です。この「サイズ」、つまり濃度という数学的概念は、2つの集合が同じサイズであるためには、それらの集合間に単射が存在する必要があるというものです。整数と一対一に対応するすべての集合は可算無限であり、濃度 を持つと言います。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=10^{1000}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,\dots \}}$ $${\displaystyle \ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots }$$ ${\displaystyle n\rightarrow 2n}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

ゲオルク・カントールは、すべての無限集合が可算無限であるとは限らないことを示しました。例えば、実数は自然数（非負の整数）と一対一に対応付けることはできません。実数の集合は自然数の集合よりも濃度が大きく、非可算であると言われています。

正式な概要

定義により、集合が可算であるとは、自然数の部分集合 との間に一対一の関係が存在する場合です。例えば、 の対応関係を定義します。 のすべての要素はのちょうど1つの要素と対になっており、その逆も同様です。これは一対一の関係を定義し、 が可算であることを示します。同様に、すべての有限集合が可算であることを示すことができます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$ $${\displaystyle a\leftrightarrow 1,\ b\leftrightarrow 2,\ c\leftrightarrow 3}$$ ${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle S}$

無限集合の場合、集合と のすべての間に一対一の関係がある場合、その集合は可算無限です。例として、集合、正の整数の集合、偶数の整数の集合 を考えてみましょう。これらの集合が可算無限であることは、自然数への一対一の関係を示すことで示せます。これは、と の割り当てを用いて行うことができます。つまり、 すべての可算無限集合は可算であり、すべての無限可算集合は可算無限です。さらに、自然数の任意の部分集合は可算であり、より一般的には、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A=\{1,2,3,\dots \}}$ ${\displaystyle B=\{0,2,4,6,\dots \}}$ ${\displaystyle n\leftrightarrow n+1}$ ${\displaystyle n\leftrightarrow 2n}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}0\leftrightarrow 1,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 3,&3\leftrightarrow 4,&4\leftrightarrow 5,&\ldots \\[6pt]0\leftrightarrow 0,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 4,&3\leftrightarrow 6,&4\leftrightarrow 8,&\ldots \end{matrix}}}$$

定理—可算集合の部分集合は可算である。^[20]

すべての自然数の順序付きペア の集合（ 2 つの自然数集合の直積）は、図のような経路をたどることでわかるように、可算無限です。${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

カントールペアリング関数は、自然数のペアごとに1つの自然数を割り当てる。

結果のマッピングは次のように進行します。

$${\displaystyle 0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots }$$ このマッピングは、そのような順序付きペアをすべてカバーします。

この形式の三角写像は、-組の最初の 2 つの要素を自然数に繰り返し写像することによって、自然数の -組、つまりに再帰的に一般化されます。たとえば、は と書くことができます。次に は5 に写像されるのでに写像され、次に は39 に写像されます。 などの異なる 2 組は異なる自然数に写像されるため、2 つの n 組の要素が 1 つ異なるだけで、n 組が異なる自然数に写像されることが保証されます。したがって、- 組の集合から自然数の集合への単射が証明されています。有限個の異なる集合の直積によって作成される - 組の集合では、各組の各要素は自然数に対応しているため、すべての組を自然数で書くことができ、同じロジックを適用して定理を証明できます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (0,2,3)}$ ${\displaystyle ((0,2),3)}$ ${\displaystyle (0,2)}$ ${\displaystyle ((0,2),3)}$ ${\displaystyle (5,3)}$ ${\displaystyle (5,3)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n}$

定理—有限個の可算集合の直積は可算である。^{[21] [b]}

すべての整数 の集合とすべての有理数の集合は、直感的には よりもはるかに大きいように見えるかもしれません。しかし、見た目は欺瞞的です。 を のペアとして普通分数（とが整数であるの形の分数）の分子と分母として扱うと、すべての正の分数に対して、それに対応する別の自然数を見つけることができます。この表現には自然数も含まれます。なぜなら、すべての自然数は分数でもあるからです。したがって、正の有理数は正の整数とちょうど同じ数であると結論付けることができます。これは、以下に示すように、すべての有理数にも当てはまります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n/1}$

定理— (すべての整数の集合)と(すべての有理数の集合)は可算である。^[c]${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

同様に、代数的数の集合も可算である。^{[23] [d]}

場合によっては、複数のマッピングが有用である。可算として示される集合 が別の集合 に一対一にマッピング（単射）される場合、が自然数の集合 に一対一にマッピングされていれば、は可算であることが証明される。例えば、は にマッピングされるため、正の有理数の集合は自然数のペア（2組）の集合に簡単に一対一にマッピングできる。上に示したように、自然数のペアの集合は自然数の集合に一対一にマッピング（実際には一対一対応、つまり一対一単射）されるため、正の有理数の集合は可算であることが証明される。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle (p,q)}$

定理—可算集合の有限和は可算である。^{[24] [25] [e]}

無限集合が存在するという先見の明があれば、この最後の結果をさらに推し進めることができるかどうか疑問に思うかもしれません。答えは「はい」でもあり「いいえ」でもあります。この結果をさらに推し進めることができますが、そのためには新たな公理を仮定する必要があります。

定理— (可算選択公理を仮定) 可算個の可算集合の和集合は可算である。^[f]

可算集合の可算数の列挙

たとえば、可算集合が与えられた場合、まず各集合の各要素にタプルを割り当て、次に上で見た三角列挙の変形を使用して各タプルにインデックスを割り当てます。 ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$ $${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c }{\text{Index}}&{\text{Tuple}}&{\text{Element}}\\\hline 0&(0,0)&{\textbf {a}}_{0}\\1&(0,1)&{\textbf {a}}_{1}\\2&(1,0)&{\textbf {b}}_{0}\\3&(0,2)&{\textbf {a}}_{2}\\4&(1,1)&{\textbf {b}}_{1}\\5&(2,0)&{\textbf {c}}_{0}\\6&(0,3)&{\textbf {a}}_{3}\\7&(1,2)&{\textbf {b}}_{2}\\8&(2,1)&{\textbf {c}}_{1}\\9&(3,0)&{\textbf {d}}_{0}\\10&(0,4)&{\textbf {a}}_{4}\\\vdots &&\end{array}}}$$

すべてのセットを同時に インデックスするには、可算選択公理が必要です。${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$

定理—すべての有限長さの自然数列の集合は可算で ある。

この集合は、長さ1のシーケンス、長さ2のシーケンス、長さ3のシーケンス、…といった、それぞれが可算集合（有限直積）であるシーケンスの和集合である。したがって、この集合は可算集合の可算和集合であり、前述の定理により可算となる。

定理—自然数の すべての有限部分集合の集合は可算である。

任意の有限部分集合の要素は有限列に並べることができます。有限列は可算個しか存在しないため、有限部分集合も可算個しか存在しません。

定理—とを集合とする。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

1. 関数が単射かつ可算であれば、は可算です。${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$
2. 関数が射影的かつ可算であれば、は可算です。${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

これらは可算集合を単射/全射関数として定義することから導かれる。^[g]

カントールの定理は、 が集合であり がその冪集合、すなわち の部分集合全体の集合であるときへの射影関数は存在しないことを主張する。証明はカントールの定理の記事に示されている。この定理と上記の基本定理から直接導かれる帰結として、以下の式が成り立つ。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$

命題—集合は可算ではありません。つまり、不可算です。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

この結果の詳細については、カントールの対角線議論を参照してください。

実数の集合は無数であり、^[h]すべての自然数の 無限列の集合も無数である。

集合論の最小モデルは可算である

ZFC集合論の標準モデル（内部モデル参照）となる集合が存在する場合、最小標準モデル（構成可能宇宙参照）が存在する。レーヴェンハイム・スコーレム定理は、この最小モデルが可算であることを示すために用いられる。「非可算性」の概念がこのモデルにおいても意味を持ち、特にこのモデルMが以下の要素を含む という事実は、

• Mの部分集合なので可算であり、
• しかし、 Mの観点からは数えられない。

集合論の初期には逆説的であると考えられていました。詳細については スコーレムのパラドックスを参照してください。

最小標準モデルには、すべての代数的数とすべての効果的に計算可能な超越数、および他の多くの種類の数が含まれます。

合計注文数

可算集合は、さまざまな方法で完全に順序付けることができます。たとえば、次のようになります。

• 井戸順序（序数も参照）：
  • 自然数の通常の順序 (0、1、2、3、4、5、...)
  • 整数は (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...) の順になります。
• その他（注文がうまくいかない場合）:
  • 整数の通常の順序 (...、-3、-2、-1、0、1、2、3、...)
  • 有理数の通常の順序 (順序付きリストとして明示的に記述することはできません!)

ここで挙げた整列順序の例では、いずれも部分集合に最小元が存在します。また、整列順序でない例では、いずれの部分集合にも最小元 が存在しません。これが、全順序が整列順序でもあるかどうかを判断する重要な定義です。

参照

• アレフ数
• カウント
• グランドホテルのヒルベルトのパラドックス
• 不可算集合

注記

1. との間には明らかな一対一性があるため、 0 を自然数とみなすかどうかは関係ありません。いずれにせよ、本稿はISO 31-11および数理論理学における標準的な慣例0 を自然数とみなす慣例に従います。${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}}$
2. 証明：定義の結果として、 は可算である。なぜなら、 によって与えられる関数は単射であるからである。^[22] すると、任意の2つの可算集合の直積は可算となる。なぜなら、と が2つの可算集合である場合、全射と が存在するからである。したがって、可算集合から集合への 全射も であり、系から は可算である。この結果は、任意の有限な可算集合の集合の直積に一般化され、その証明は集合内の集合の数に関する帰納法によって導かれる。${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(m,n)=2^{m}\cdot 3^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to A}$ ${\displaystyle g:\mathbb {N} \to B}$ ${\displaystyle f\times g:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to A\times B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A\times B}$
3. 証明:整数は可算である。なぜなら、が非負であれば で与えられる関数は単射であり、 が負であればは単射である。有理数は可算である。なぜなら、で与えられる関数は可算集合から有理数への全射である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(n)=2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(n)=3^{-n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle g(m,n)=m/(n+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
4. 証明:定義により、すべての代数的数（複素数を含む）は整数係数の多項式の根である。代数的数 が与えられたとき、 を整数係数の多項式とし、 が多項式の - 乗根であるとする。ここで、根は絶対値で小さい方から大きい方へ並べられ、次に引数で小さい方から大きい方へ並べられる。によって与えられる単射（つまり1対1）関数を定義できる。ここでは- 番目の素数である。${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:\mathbb {A} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(\alpha )=2^{k-1}\cdot 3^{a_{0}}\cdot 5^{a_{1}}\cdot 7^{a_{2}}\cdots {p_{n+2}}^{a_{n}}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$
5. 証明:がの各 に対して可算集合であるならば、各 に対して全射関数が存在するので、 によって与えられる関数 は全射となる。が可算なので、和集合も可算である。${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle g_{i}:\mathbb {N} \to A_{i}}$ $${\displaystyle G:I\times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i},}$$ ${\displaystyle G(i,m)=g_{i}(m)}$ ${\displaystyle I\times \mathbb {N} }$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$
6. 証明: 有限の場合と同様ですが、と については可算選択公理を使って、からまでの空でない全射の集合から全射の各について選びます。^[26]単射ではなく全射を考えているので、集合が互いに素である必要はないことに注意してください。${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle G:\mathbf {N} \times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i}}$
7. 証明: (1) について、 が可算であれば、単射関数 が存在する ことに注意してください。次に、 が単射であれば、合成は単射であるため、は可算です。(2) について、 が可算であれば、が空であるか、または射影関数 が存在することに注意してください。次に、が射影であれば、と が両方とも空であるか、または合成は射影です。どちらの場合もは可算です。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h:T\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle h\circ f:S\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to S}$ ${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g\circ h:\mathbb {N} \to T}$ ${\displaystyle T}$
8. カントールの最初の非可算性の証明と、位相的な証明については有限交差性#応用を参照してください。

引用

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16. スティルウェル、ジョン・C.（2010）、無限への道：真理と証明の数学、CRCプレス、p.10、ISBN 97814398655071874年のカントールによる無数集合の発見は、数学史上最も予想外の出来事の一つでした。1874年以前は、無限はほとんどの人にとって正当な数学的主題とさえ考えられておらず、可算無限と非可算無限を区別する必要性は想像もできませんでした。
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参考文献

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