ディガンマ関数

領域カラーリングを使用して視覚化されたディガンマ関数${\displaystyle \psi (z)}$

実数直線上のディガンマ関数と次の3つのポリガンマ関数のプロット（実数直線上では実数値）

数学では、ディガンマ関数はガンマ関数の対数微分として定義されます。^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \psi (z)={\frac {d}{dz}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.}$

これはポリガンマ関数の最初のものである。この関数はに対して厳密に増加かつ厳密に凹であり、^[4]漸近的に次のように振舞う^[5]。${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},}$

任意の に対してセクター内の大きな係数 ( )を持つ複素数の場合。 ${\displaystyle |z|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

ディガンマ関数は、しばしばまたはϜ [ ^{6] （}二重ガンマを意味する古代ギリシャ語の子音digammaの大文字形）と表記される。 ${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$

調和数との関係

ガンマ関数は次の式に従う。

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}$

両辺の対数を取り、対数ガンマ関数の関数方程式の特性を使用すると、次のようになります。

${\displaystyle \log \Gamma (z+1)=\log(z)+\log \Gamma (z),}$

両辺をzについて微分すると次のようになります。

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

調和数は正の整数nに対して次のよう に定義されるので、

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

ディガンマ関数は次のように関係している。

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

ここでH ₀ = 0、 γはオイラー・マスケロニ定数である。半整数引数の場合、ディガンマ関数は以下の値を取る。

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}=-\gamma -2\ln 2+2H_{2n}-H_{n}.}$

積分表現

zの実部が正の場合、ガウスの法則により、ディガンマ関数は次の積分表現を持つ。 ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

この式をオイラー・マスケロニ定数 の積分恒等式と組み合わせると次のようになります。 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.}$

積分はオイラーの調和数 なので、前の式は次のようにも書ける。 ${\displaystyle H_{z}}$

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

結果として、再帰関係は次の一般化になります。

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

ディリクレによる積分表現は次の通りである: ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.}$

ガウスの積分表現を操作することで、漸近展開の開始点を与えることができる。^[8]${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

この式は、ガンマ関数のビネ第一積分の結果でもある。この積分はラプラス変換として認識される。

ビネのガンマ関数の2次積分は、漸近展開の最初の数項を与える別の式を与える：^[9]${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

の定義とガンマ関数の積分表現から、次の式が得られる。 ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,}$

と。^[10]${\displaystyle \Re z>0}$

無限積表現

この関数は整関数であり^[11]、無限積で表される。 ${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

ここでは のk番目の零点（下記参照）であり、はオイラー・マスケロニ定数です。 ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma }$

注: これは、ディガンマ関数の定義により と等しくなります。 ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$

シリーズ表現

級数式

ガンマ関数のオイラー積公式は、関数方程式とオイラー・マスケロニ定数の恒等式と組み合わせると、複素平面上の負の整数以外の範囲で有効な、次の二ガンマ関数の式を与える（アブラモウィッツとステグン 6.3.16）：^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}}$

同様に、

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots .\end{aligned}}}$

有理関数の和の評価

上記の恒等式は、以下の形式の和を計算するために使用できる。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},}$

ここでp ( n )とq ( n )はnの多項式です。

複素体u _nの部分分数をとると、 q ( n )のすべての根が単根である 場合、

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.}$

級数が収束するには、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,}$

そうでなければ、級数は調和級数よりも大きくなり、発散する。したがって

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}}$

高階ポリガンマ関数の級数展開により、一般化式は次のように表される。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}$

ただし、左側の級数は収束するものとする。

テイラー級数

ディガンマは有理ゼータ級数を持ち、これはz = 1におけるテイラー級数で与えられる。これは

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k},}$

これは| z | < 1で収束する。ここで、ζ ( n )はリーマンゼータ関数である。この級数は、フルヴィッツゼータ関数の対応するテイラー級数から容易に導出される。

ニュートン級数

1847年にモーリッツ・アブラハム・スターンによって導出された、二ガンマのニュートン級数（スターン級数とも呼ばれる）は、次のように表される 。 ^{[12] [13] [14]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (s)&=-\gamma +(s-1)-{\frac {(s-1)(s-2)}{2\cdot 2!}}+{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)}{3\cdot 3!}}\cdots ,\quad \Re (s)>0,\\&=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s-1}{k}}\cdots ,\quad \Re (s)>0.\end{aligned}}}$

どこ（^s
_k）は二項係数である。これは次のように一般化することもできる。

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,}$

ここでm = 2, 3, 4, ... ^[13]

グレゴリー係数、コーシー数、第二種ベルヌーイ多項式を含む級数

有理引数のみに有理係数を含むディガンマ級数には様々な級数が存在する。特に、グレゴリーの係数 G _nを含む級数は

${\displaystyle \psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

ここで( v ) _nは上昇階乗 ( v ) _n = v ( v +1)( v +2) ... ( v + n -1)、 G _n ( k )はG _n (1) = G _nを満たす高次のグレゴリー係数、Γはガンマ関数、ζはフルヴィッツゼータ関数である。^{[15] [13]第二種コーシー数}C _n と同様の級数は^{[15] [13]}である。

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,}$

第二種ベルヌーイ多項式を含む級数は次のような形をとる^[13]

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$

ここでψn ( a )は生成方程式によって定義される 第二種ベルヌーイ多項式である_。

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,}$

一般化すれば

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots }$

ここで多項式N _n,r ( a )は次の生成方程式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,}$

したがってN _n,1 ( a ) = ψ _n ( a )となる。^[13]ガンマ関数の対数を用いた同様の表現には、これらの式が含まれる^[13]

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,}$

そして

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},}$

ここで、および。 ${\displaystyle \Re (v)>-a}$ ${\displaystyle r=2,3,4,\ldots }$

反射式

ディガンマ関数とポリガンマ関数は、ガンマ関数と同様の反射公式を満たします。

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$ 。

${\displaystyle \psi '(-x)+\psi '(x)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {1}{x^{2}}}}$ 。

${\displaystyle \psi ''(-x)-\psi ''(x)={\frac {2\pi ^{3}\cot(\pi x)}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {2}{x^{3}}}}$ 。

漸化式と特徴づけ

ディガンマ関数は再帰関係を満たす

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

つまり、「望遠鏡」と言える。1/×⁠、なぜなら、

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

ここでΔは前進差分演算子である。これは調和級数の部分和の漸化式を満たし、したがって次の式が成り立つ。

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

ここでγはオイラー・マスケロニ定数です。

実際、ψは関数方程式の唯一の解である。

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

R ⁺に関して単調であり、 F (1) = − γを満たす。この事実は、 Γ関数の漸化式と凸制約^[要出典]を与えられた場合に、その一意性から直ちに導かれる。これは、有用な差分方程式を意味する。

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

二ガンマ関数を含むいくつかの有限和

二重ガンマ関数には多数の有限和公式が存在する。例えば、

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

はガウスによるものである。^{[16] [17]}より複雑な式、例えば

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

これらは、特定の現代作家の作品によるものである（例えば、Blagouchine（2014）^[18]の付録Bを参照）。

また、^[19]

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma ={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...}$

ガウスのディガンマ定理

正の整数rとm（r < m ）に対して、ディガンマ関数はオイラー定数と有限個の基本関数で表すことができる^{[20] [21]。}

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

これは、再帰方程式のため、すべての有理数論に対して成り立ちます。

乗法定理

-関数の乗法定理は^[22]と等価である。${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \psi (nz)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\psi \left(z+{\frac {k}{n}}\right)+\ln n.}$

漸近展開

ディガンマ関数は漸近展開を持つ

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},}$

ここで、B _kはk番目のベルヌーイ数、ζはリーマンゼータ関数です。この展開の最初の項は次のとおりです。

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

無限和はどのzに対しても収束しませんが、有限部分和はzが増加するにつれて精度が増します。

展開はオイラー・マクローリンの公式を合計に適用することで求められる^[23]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

この展開は、ガンマ関数のビネの第二積分公式から得られる積分表現からも導出できる。等比級数として展開し、ベルヌーイ数の積分表現を代入すると、上記と同じ漸近級数が得られる。さらに、級数の有限個の項のみを展開すると、明示的に誤差項を含む式が得られる。 ${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}$

${\displaystyle \psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

不平等

x > 0 のとき、関数

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

は完全に単調で、特に正である。これは、ガンマ関数のビネ第一積分から導かれる積分表現に単調関数に関するベルンシュタインの定理を適用した結果である。さらに、凸性不等式 により、この表現における積分関数は によって上界となる。したがって、 ${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$ ${\displaystyle e^{-tz}/2}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)}$

も完全に単調である。したがって、すべてのx > 0に対して、

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.}$

これはホルスト・アルツァーの定理を再現するものである。^[24] アルツァーはまた、s∈ (0,1)に対して、

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

関連する境界はエレゾヴィッチ、ジョルダーノ、ペカリックによって得られ、彼らはx > 0に対して、

${\displaystyle \ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},}$

ここではオイラー・マスケロニ定数である。^[25]これらの境界内に現れる 定数（および）は、可能な限り最良のものである。^[26]${\displaystyle \gamma =-\psi (1)}$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.56}$

平均値定理は、ガウチの不等式の次の類似を示唆する。x > c（ただしc ≈ 1.461はディガンマ関数の唯一の正の実根）であり、s > 0であれば、

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

さらに、等式はs = 1の場合にのみ成立する。^[27]

古典的なガンマ関数の調和平均値不等式に着想を得て、ホルツ・アルツァーとグラハム・ジェイムソンは、とりわけ二重ガンマ関数の調和平均値不等式を証明した。

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}}$ のために${\displaystyle x>0}$

等式は の場合にのみ成立する。^[28]${\displaystyle x=1}$

計算と近似

漸近展開は、 xの実部が大きい場合のψ ( x )の計算を容易にする。xが小さい場合のψ ( x )を計算するには、再帰関係

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

xの値をより大きな値にシフトするために使用できます。Beal ^[29]は、上記の再帰式を使用してxを6より大きい値にシフトし、その後、xが^14を超える項を切り捨てた上記の展開を適用することを提案しています。これにより、「十分以上の精度」（ゼロ付近を除いて少なくとも12桁）が得られます。

xが無限大に近づくと、ψ ( x )はln( x − ⁠1/2⁠ )とln x 。 x + 1からxに下がると、 ψ は⁠減少します1/×⁠ , ln( x − ⁠1/2⁠ )はln( x + ⁠1/2⁠ ) / ( x − ⁠1/2⁠） 、これは⁠より大きいです1/×⁠、そしてln x はln(1 + ⁠だけ減少する1/×⁠）は⁠より小さい1/×⁠。このことから、 ⁠より大きい任意の正のxに対して、1/2⁠、

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

あるいは、任意の正のxに対して、

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

指数関数exp ψ ( x )は、およそx − ⁠1/2⁠大きいxでは ですが、小さいxではxに近づき、 x = 0では 0 に近づきます。

x < 1の場合、 1 と 2 の間でψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ]であるという事実に基づいて極限を計算することができるので、

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}$

または

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}$

上記のψの漸近級数から、 exp(− ψ ( x ))の漸近級数を導くことができます。この級数は全体的な挙動とよく一致しており、大きな引数に対しても漸近的に振る舞い、原点にも無限重複の零点を持ちます。

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

これはy = 0におけるexp(− ψ (1 / y ))のテイラー展開に似ているが、収束しない。^[30]（この関数は無限大では解析的ではない。） exp( ψ ( x ))についても同様の級数が存在し、これは${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

ψ ( x +1/2 )の漸近級数を計算すると、xの奇数乗は存在しない（ x ⁻¹の項は存在しない）ことがわかります。このことから、次のような漸近展開が得られ、偶数次の項を計算する手間が省けます。

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

関数のLanczos 近似と精神的に似ているのが、Spouge の近似です。 ${\displaystyle \Gamma }$

もう一つの選択肢は、再帰関係式や乗法公式を使って引数を範囲にシフトし、そこでチェビシェフ級数を評価することである。^{[31] [32]}${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$

特別な値

ガウスのディガンマ定理の結果として、ディガンマ関数は有理数に対して閉じた形で値を持ちます。以下にいくつか例を挙げます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

さらに、または実数値の対数微分をとることで、次のように簡単に推論できる。 ${\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}}$ ${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

ガウスのディガンマ定理を除けば、実部一般についてはそのような閉式は知られていない。例えば、虚数単位においては、 OEIS : A248177という数値近似式が知られている。

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}$

二重ガンマ関数の根

二重ガンマ関数の根は複素ガンマ関数の鞍点である。したがって、それらはすべて実軸上に存在する。正の実軸上にある唯一の根は、 R ⁺上の実ガンマ関数のx ₀ =における唯一の最小値である。1.461 632 144 968 362 341 26 ...。その他はすべて、負の軸の極の間に単独で発生します。

× ₁ =−0.504 083 008 264 455 409 25 ...

× ₂ =−1.573 498 473 162 390 458 77 ...

× ₃ =−2.610 720 868 444 144 650 00 ...

× ₄ =−3.635 293 366 436 901 097 83 ...

${\displaystyle \vdots }$

すでに1881年に、シャルル・エルミートは次 のように観察している^[33]。

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

漸近的に成り立つ。根の位置のより良い近似は次のように与えられる。

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

さらに別の言葉を使うと、さらに良くなる

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}$

どちらも反射式から派生しており、

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

そして、ψ ( x _n ) をその収束しない漸近展開に代入する。この展開の正しい第2項は、⁠1/2 n⁠、ここで与えられたものは、小さなnで根を近似するのにうまく機能します。

エルミートの公式のもう一つの改良法は次の通りである: ^[11]

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

零点に関しては、以下の無限和恒等式がイシュトヴァン・メゾーとマイケル・ホフマンによって最近証明された^{[11] [34]。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

一般的に、関数

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

決定することができ、引用された著者によって詳細に研究されています。

以下の結果^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

もまた真実である。

正規化

ディガンマ関数は発散積分の正規化に現れる

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

この積分は発散する一般調和級数で近似できるが、級数には次の値が付加される。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

応用数学では

多くの著名な確率分布は、確率密度関数や質量関数の定義においてガンマ関数を用いています。そして、統計学において、このような分布を含むモデルに対して最尤推定を行う際には、最大値を求めるために対数尤度の微分をとる際に、二重ガンマ関数が自然に現れます。

参照

• ポリガンマ関数
• トリガンマ関数
• Wimp, Jet (1961). 「積分変換の多項式近似」における二重ガンマ関数のチェビシェフ展開. Math. Comp . 15 (74): 174– 178. doi : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3 .

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外部リンク

• OEISシーケンスA020759（(-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2)の10進展開。ここでGamma(x)はガンマ関数を表す）—psi(1/2)

OEIS : A047787 psi(1/3)、 OEIS : A200064 psi(2/3)、 OEIS : A020777 psi(1/4)、 OEIS : A200134 psi(3/4)、 OEIS : A200135～ OEIS : A200138 psi(1/5) ～ psi(4/5)。

• GNU Scientificライブラリへの実装
• チェビシェフ級数を使ったC関数
• テイラー級数を使ったJava実装