デジタルフィルタ

信号処理において、デジタルフィルタとは、サンプリングされた離散時間信号に対して数学的演算を行い、信号の特定の側面を低減または強調するシステムです。これは、もう一つの主要な電子フィルタであるアナログフィルタとは対照的です。アナログフィルタは、通常、連続時間アナログ信号を処理する電子回路です。

デジタルフィルタシステムは通常、入力信号をサンプリングするアナログ-デジタルコンバータ（ADC）、マイクロプロセッサ、そしてデータやフィルタ係数などを格納するメモリなどの周辺部品で構成されます。マイクロプロセッサ上で実行されるプログラム命令（ソフトウェア）は、ADCから受信した数値に対して必要な演算処理を実行することで、デジタルフィルタを実装します。一部の高性能アプリケーションでは、汎用マイクロプロセッサの代わりにFPGAやASICが使用されるか、フィルタリングなどの処理を高速化するために、特定の並列アーキテクチャを備えた専用のデジタル信号プロセッサ（DSP）が使用されます。^[1]^[2]

デジタルフィルタは、複雑さが増すため、同等のアナログフィルタよりも高価になる可能性がありますが、アナログフィルタでは非現実的または不可能な多くの設計を実用化できます。デジタルフィルタは多くの場合非常に高次化でき、線形位相応答を可能にする有限インパルス応答フィルタであることが多いです。リアルタイムアナログシステムで使用する場合、デジタルフィルタは、関連するアナログ-デジタル変換、デジタル-アナログ変換、アンチエイリアシングフィルタ、あるいは実装におけるその他の遅延のために、遅延（入力と応答の間の時間差）が問題となることがあります。

デジタルフィルターは、ラジオ、携帯電話、AV レシーバーなどの日常的な電子機器に欠かせない要素として広く普及しています。

キャラクター設定

デジタルフィルタは、伝達関数、あるいは差分方程式によって特徴付けられます。伝達関数の数学的解析により、任意の入力に対するフィルタの応答を記述できます。したがって、フィルタの設計は、問題に適した仕様（例えば、特定のカットオフ周波数を持つ2次ローパスフィルタ）を策定し、その仕様を満たす伝達関数を作成することから成ります。

線形、時間不変、デジタルフィルタの伝達関数は、 Z領域の伝達関数として表現できます。因果関係がある場合は、次の形式になります。^[3]

H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots +b_{N}z^{-N}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots +a_{M}z^{-M}}}

ここで、フィルタの次数はNまたはMのいずれか大きい方です。この伝達関数の詳細については、 Z変換のLCCD方程式を参照してください。

これは再帰フィルタの形式で、通常は無限インパルス応答(IIR) の動作につながりますが、分母を 1に等しくすると、つまりフィードバックがない場合は有限インパルス応答(FIR) フィルタになります。

分析手法

様々な数学的手法を用いて、特定のデジタルフィルタの挙動を解析することができます。これらの解析手法の多くは設計にも用いられ、フィルタ仕様の基礎となることも少なくありません。

通常、フィルタの特性は、インパルスなどの単純な入力に対する応答を計算することで評価されます。その後、この情報を拡張することで、より複雑な信号に対するフィルタの応答を計算することができます。

インパルス応答

インパルス応答（しばしばまたはと表記される）は、フィルタがクロネッカーのデルタ関数にどのように応答するかを測る尺度である。^[4]例えば、差分方程式が与えられた場合、に対してとを設定し、評価する。インパルス応答は、フィルタの挙動を特徴づけるものである。デジタルフィルタは、一般的に無限インパルス応答（IIR）と有限インパルス応答（FIR）の2つのカテゴリに分類される。線形時不変FIRフィルタの場合、インパルス応答はフィルタ係数の列と正確に等しく、したがって次の式で表される。 $h[k]$ $h_{k}$ $x_{0}=1$ $x_{k}=0$ $k\neq 0$

\ y_{n}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}=\sum _{k=0}^{N}h_{k}x_{n-k}

一方、IIRフィルタは再帰型であり、出力は現在の入力と以前の入力、そして以前の出力の両方に依存します。したがって、IIRフィルタの一般的な形式は以下のようになります。

\ \sum _{m=0}^{M}a_{m}y_{n-m}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}

インパルス応答をプロットすることで、フィルタが突発的な瞬間的な外乱にどのように応答するかが分かります。IIRフィルタは常に再帰型です。再帰型フィルタでも有限のインパルス応答を持つ可能性がありますが、非再帰型フィルタでは常に有限のインパルス応答を持ちます。移動平均（MA）フィルタは、再帰型^{（[要出典]）}と非再帰型の両方で実装できる例です。

差分方程式

離散時間システムでは、デジタルフィルタは、伝達関数をZ変換によって線形定係数差分方程式（LCCD）に変換することによって実装されることが多い。離散周波数領域伝達関数は、2つの多項式の比として表される。例えば、

H(z)={\frac {(z+1)^{2}}{(z-{\frac {1}{2}})(z+{\frac {3}{4}})}}

これを拡張すると次のようになります。

H(z)={\frac {z^{2}+2z+1}{z^{2}+{\frac {1}{4}}z-{\frac {3}{8}}}}

対応するフィルタを因果的にするには、分子と分母をの最高次数で割ります。 $z$

H(z)={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}={\frac {Y(z)}{X(z)}}

分母の係数は「フィードバック」係数であり、分子の係数は「フィードフォワード」係数である。結果として得られる線形差分方程式は以下の通りである。 $a_{k}$ $b_{k}$

y[n]=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x[n-k]

または、上記の例では次のようになります。

{\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}

用語の並べ替え:

\Rightarrow (1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2})Y(z)=(1+2z^{-1}+z^{-2})X(z)

次に逆Z変換を行うと次のようになります。

\Rightarrow y[n]+{\frac {1}{4}}y[n-1]-{\frac {3}{8}}y[n-2]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]

そして最後に、を解くことによって： $y[n]$

y[n]=-{\frac {1}{4}}y[n-1]+{\frac {3}{8}}y[n-2]+x[n]+2x[n-1]+x[n-2]

この式は、過去の出力、現在の入力、および過去の入力を用いて、次の出力サンプルを計算する方法を示しています。この形式の入力にフィルタを適用することは、評価の正確な順序に応じて、直接形式IまたはII（下記参照）の実現と同等になります。 $y[n]$ $y[n-p]$ $x[n]$ $x[n-p]$

たとえば、上記の式をコードで実装するコンピュータプログラマーが使用する平易な言葉で言えば、次のように説明できます。

$y$ = 出力またはフィルタリングされた値= 入力または受信した生の値= サンプル数、反復回数、または期間数
$x$
$n$

したがって：

$y[n]$ = 現在のフィルタリングされた（出力）値= 最後にフィルタリングされた（出力）値= 最後から 2 番目のフィルタリングされた（出力）値= 現在の生の入力値= 最後の生の入力値= 最後から 2 番目の生の入力値
$y[n-1]$
$y[n-2]$
$x[n]$
$x[n-1]$
$x[n-2]$

フィルター設計

フィルタは簡単に理解および計算できますが、その設計と実装の実際的な課題は大きく、多くの高度な研究の対象となっています。

デジタルフィルタには、再帰型フィルタと非再帰型フィルタの2つのカテゴリがあります。これらはそれぞれIIRフィルタとFIRフィルタと呼ばれることもあります。^[5]

フィルタの実現

フィルタを設計した後、サンプルシーケンスに対する操作の観点からフィルタを記述する信号フローダイアグラムを作成して、フィルタを実現する必要があります。

与えられた伝達関数は、様々な方法で実現できます。のような単純な式がどのように評価されるかを考えてみましょう。等価なを計算することもできます。同様に、すべての実現は同じ伝達関数の因数分解と見なすことができますが、異なる実現はそれぞれ異なる数値特性を持ちます。具体的には、実装に必要な演算数や記憶要素数の点でより効率的な実現もあれば、数値安定性の向上や丸め誤差の低減などの利点を提供する実現もあります。固定小数点演算に適した構造もあれば、浮動小数点演算に適した構造もあります。 $ax+bx+c$ $x(a+b)+c$

直接型I

IIRフィルタを実現する最も直接的な方法は、差分方程式を直接評価する直接形Iである。この形式は小規模なフィルタには実用的であるが、複雑な設計では非効率的で実用的ではない（数値的に不安定）可能性がある。 ^[6] 一般に、この形式ではN次のフィルタに2N個の遅延要素（入力信号と出力信号の両方）が必要となる。

直接型II

代替の直接型IIはN個の遅延ユニットのみを必要とします。ここでNはフィルタの次数であり、直接型Iの半分になる可能性があります。この構造は、直接型Iの分子と分母の順序を逆にすることで得られます。これらは実際には2つの線形システムであり、交換法則が適用されるためです。すると、中央ネットから分岐する2列の遅延列（）があることがわかります。これらは冗長であるため、組み合わせることができ、以下に示すような実装が得られます。 $z^{-1}$

欠点は、直接型 II では、高Qまたは共振のフィルタで算術オーバーフローの可能性が高くなることです。^[7]Q が増加すると、両方の直接型トポロジの丸めノイズが無制限に増加することが示されています。 ^[8] これは、概念的には、信号が最初に全極フィルタ (通常は共振周波数でゲインを増幅する) を通過し、その結果が飽和し、次に全ゼロフィルタ (多くの場合、全極半分が増幅したものの多くを減衰する) を通過するためです。

カスケード2次セクション

一般的な戦略は、高次（2以上）のデジタルフィルタを2次双4次（またはバイクアッド）セクションのカスケード接続として実現することです^[9]（デジタルバイクアッドフィルタを参照）。この戦略の利点は、係数の範囲が制限されることです。直接形式IIセクションをカスケード接続すると、N次のフィルタに対してN個の遅延要素が発生します。直接形式Iセクションをカスケード接続すると、 N + 2個の遅延要素が発生します。これは、最初のセクションを除くすべてのセクションの入力の遅延要素が、前のセクションの出力の遅延要素と冗長であるためです。

その他の形態

その他の形式は次のとおりです:

直接転置形式IとII
直列/カスケード下位（典型的には2次）サブセクション
並列の低位（典型的には2次）サブセクション
- 連分数展開
格子とはしご
- 1、2、3倍の格子形式
- 3倍および4倍の正規化ラダー形式
- ARMA構造
状態空間構造:
- 最適（ノイズ最小の意味で）：パラメータ $(N+1)^{2}$
- ブロック最適とセクション最適:パラメータ $4N-1$
- ギブンズ回転とバランスのとれた入力：パラメータ^[10] $4N-1$
連結形式: ゴールドレーダー (通常)、状態変数 (チェンバリン)、キングズベリー、修正状態変数、ゾルツァー、修正ゾルツァー
波形デジタルフィルタ（WDF）^[11]
アガルワル・バーラス（1ABと2AB）
ハリス・ブルッキング
ND-TDL
マルチフィードバック
サレンキーフィルタや状態変数フィルタなどのアナログ風の形式
シストリックアレイ

アナログフィルタとデジタルフィルタの比較

デジタルフィルタは、アナログフィルタの設計を非常に複雑にする部品公差、温度変化、非線形性の影響を受けません。アナログフィルタは不完全な電子部品で構成されており、その値は温度変化や経時変化によって変化する可能性があります。アナログフィルタの次数が増加し、部品数が増えるにつれて、部品の変動誤差の影響は大幅に増大します。デジタルフィルタでは、係数値がコンピュータメモリに保存されるため、はるかに安定し、予測可能性が高くなります。^[12]

デジタルフィルタの係数は明確であるため、より複雑で選択的な設計を実現できます。具体的には、デジタルフィルタを用いることで、アナログフィルタでは実現できない、通過帯域リップルの低減、遷移の高速化、阻止帯域の減衰量の増大を実現できます。たとえこの設計をアナログフィルタで実現できたとしても、同等のデジタルフィルタを設計するエンジニアリングコストははるかに低くなるでしょう。さらに、デジタルフィルタの係数を容易に変更することで、適応フィルタやユーザ制御可能なパラメトリックフィルタを作成できます。これらの手法はアナログフィルタでも実現可能ですが、やはり非常に困難です。

デジタルフィルタは、位相シフトなしで極めて急峻なロールオフ勾配を実現できる有限インパルス応答フィルタの設計に使用できます。同じ機能を実現するアナログフィルタは、多くの遅延要素を必要とするため、多くの場合、はるかに複雑になります。

デジタルフィルタはアナログ回路への依存度が低いため、信号対雑音比（S/N比）が向上する可能性があります。デジタルフィルタは、アナログローパスフィルタリング、アナログ/デジタル変換、デジタル/アナログ変換の過程で信号にノイズを発生させ、量子化によってデジタルノイズが発生する場合もあります。アナログフィルタでは、すべてのコンポーネントが熱ノイズ（ジョンソンノイズなど）の発生源となるため、フィルタの複雑さが増すにつれてノイズも増加します。

しかし、デジタルフィルタはシステムに大きな遅延をもたらします。アナログフィルタでは、遅延は多くの場合無視できます。厳密に言えば、遅延とは電気信号がフィルタ回路を伝播するのにかかる時間です。デジタルシステムでは、遅延はデジタル信号パスの遅延要素だけでなく、システムがアナログ信号を処理するために必要なアナログ-デジタルコンバータやデジタル-アナログコンバータによっても発生します。デジタルフィルタは、量子化誤差や丸め誤差にも対処する必要があります。

さらに、非常に単純なケースや、周波数とフィルタの傾きが固定されている場合は、アナログフィルタを使用する方がコスト効率に優れています。デジタルフィルタを導入するには、前述のように、2つのローパスアナログフィルタを含む、かなりのオーバーヘッド回路が必要になります。また、アナログフィルタはデジタルフィルタよりも消費電力が大幅に少ないため、電力要件が厳しい場合はアナログフィルタが唯一のソリューションとなります。

PCB上に電気回路を作る場合、処理ユニットが長年にわたり高度に最適化されているため、デジタルソリューションを使用する方が一般的に容易です。アナログ部品で同じ回路を作る場合、ディスクリート部品を使用すると、はるかに多くのスペースが必要になります。代替手段としてFPGA ^[13]とASICがありますが、少量生産の場合は高価です。

デジタルフィルタの種類

フィルタを特徴付ける方法はさまざまです。たとえば、次のようになります。

線形フィルタは入力サンプルの線形変換です。他のフィルタは非線形です。線形フィルタは重ね合わせ原理を満たします。つまり、入力が異なる信号の重み付き線形結合である場合、出力は対応する出力信号の同様に重み付き線形結合になります。
因果フィルタは入力信号または出力信号の過去のサンプルのみを使用しますが、非因果フィルタは将来の入力サンプルを使用します。非因果フィルタは通常、遅延を追加することで因果フィルタに変更できます。
時間不変フィルターは時間の経過に伴って一定の特性を持ちますが、適応フィルターなどの他のフィルターは時間とともに変化します。
安定したフィルタは、時間の経過とともに一定値に収束するか、有限区間内で制限された出力を生成します。不安定なフィルタは、制限された入力、あるいはゼロの入力に対して、制限なく増加する出力を生成することがあります。
有限インパルス応答（FIR）フィルターは入力信号のみを使用しますが、無限インパルス応答（IIR）フィルターは入力信号と出力信号の前のサンプルの両方を使用します。FIRフィルターは常に安定していますが、IIRフィルターは不安定になる場合があります。

フィルタはブロック図で表現することができ、これを用いてハードウェア命令を用いてフィルタを実装するためのサンプル処理アルゴリズムを導出することができます。フィルタは、差分方程式、零点と極の集合、あるいはインパルス応答やステップ応答として記述することもできます。

一部のデジタルフィルタは高速フーリエ変換に基づいています。これは、信号の周波数スペクトルを高速に抽出する数学アルゴリズムであり、スペクトルを操作（例えば、非常に高次のバンドパスフィルタの作成）した後、逆FFT演算によって変更後のスペクトルを時系列信号に変換します。これらのフィルタの計算コストはO(n log n)ですが、従来のデジタルフィルタはO(n ² )になる傾向があります。

デジタルフィルタのもう一つの形態は状態空間モデルです。よく使われる状態空間フィルタとしては、 1960年にルドルフ・カルマンによって発表されたカルマンフィルタがあります。

従来の線形フィルタは通常、減衰に基づいています。一方、エネルギー転送フィルタ^[14]などの非線形フィルタを設計することも可能です。エネルギー転送フィルタは、不要なノイズや影響を、より低い周波数または高い周波数帯域に移動させたり、複数の周波数帯域に分散させたり、分割したり、集中させたりといった、意図的な方法でエネルギーを移動させることを可能にします。エネルギー転送フィルタは従来のフィルタ設計を補完し、フィルタ設計に多くの自由度をもたらします。デジタルエネルギー転送フィルタは、設計、実装、そして非線形ダイナミクスの利用が比較的容易です。

参照

参考文献

^ Lyakhov, Pavel; Valueva, Maria; Valuev, Georgii; Nagornov, Nikolai (2020). 「剰余数システムにおける切り捨て乗算累算単位の高性能デジタルフィルタリング」. IEEE Access . 8 : 209181–209190 . Bibcode :2020IEEEA...8t9181L. doi : 10.1109/ACCESS.2020.3038496 . ISSN 2169-3536.
^ Priya, P; Ashok, S (2018年4月). 「Xilinx System Generatorを用いたFPGA実装のためのIIRデジタルフィルタ設計」. 2018 International Conference on Communication and Signal Processing (ICCSP) . pp. 0054– 0057. doi :10.1109/ICCSP.2018.8524520. ISBN 978-1-5386-3521-6. S2CID 53284942。
^ Smith, Julius O. 「デジタルフィルタ入門」. DSPRelated.com . The Related Media Group . 2020年7月13日閲覧。
^ 「Lab.4&5. FIRフィルタ入門」(PDF)ヨルダン科学技術大学工学部. 2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2020年7月13日閲覧。
^ A. Antoniou, Digital Filters: Analysis, Design, and Applications , New York, NY: McGraw-Hill, 1993., Chapter 1
^ JO Smith III、直接フォーム I
^ JO Smith III、直接フォーム II
^ LB Jackson、「デジタルフィルタにおける丸めノイズとダイナミックレンジの相互作用について」、 Bell Sys. Tech. J.、vol. 49（1970年2月）、 LR RabinerとCM Rader編『デジタル信号処理』（IEEE Press、ニューヨーク、1972年）に再掲載。
^ JO Smith III、シリーズ第2次セクション
^ Li, Gang; Limin Meng; Zhijiang Xu; Jingyu Hua (2010年7月). 「丸めノイズを最小にする新しいデジタルフィルタ構造」.デジタル信号処理. 20 (4): 1000– 1009. Bibcode :2010DSP....20.1000L. doi :10.1016/j.dsp.2009.10.018.
^ Fettweis, Alfred (1986年2月). 「Waveデジタルフィルタ：理論と実践」. Proceedings of the IEEE . 74 (2): 270– 327. doi :10.1109/proc.1986.13458. S2CID 46094699.
^ 「マッチ #1: アナログフィルターとデジタルフィルター」。
^ Bains, Sunny (2008年7月). 「アナログのFPGAへの回答が一般大衆に市場を開く」EETimes .
^ Billings SA「非線形システム同定：時間、周波数、時空間領域におけるNARMAX法」Wiley、2013年

さらに読む

JO Smith III、「オーディオアプリケーションにおけるデジタルフィルタ入門」、スタンフォード大学音楽および音響に関するコンピュータ研究センター (CCRMA)、2007 年 9 月版。
ミトラ, SK (1998). 『デジタル信号処理：コンピュータベースのアプローチ』ニューヨーク：マグロウヒル.
オッペンハイム, AV ;シェーファー, RW (1999).離散時間信号処理. アッパーサドルリバー, ニュージャージー: プレンティス・ホール. ISBN 9780137549207。
Kaiser, J.F. (1974). Io-sinh窓関数を用いた非再帰型デジタルフィルタ設計. Proc. 1974 IEEE Int. Symp. Circuit Theory. pp. 20– 23.
Bergen, SWA; Antoniou, A. (2005). 「超球面窓関数を用いた非再帰型デジタルフィルタの設計」EURASIP応用信号処理ジャーナル. 2005 (12): 1910– 1922. Bibcode :2005EJASP2005...44B. doi : 10.1155/ASP.2005.1910 .
Parks, TW ; McClellan, JH (1972年3月). 「線形位相を持つ非再帰型デジタルフィルタのチェビシェフ近似」. IEEE Transactions on Circuit Theory . 19 (2): 189– 194. doi :10.1109/TCT.1972.1083419.
Rabiner, LR ; McClellan, JH ; Parks, TW (1975年4月). 「重み付きチェビシェフ近似を用いたFIRデジタルフィルタ設計手法」. Proceedings of the IEEE . 63 (4): 595– 610. Bibcode :1975IEEEP..63..595R. doi :10.1109/PROC.1975.9794. S2CID 12579115.
Deczky, AG (1972年10月). 「最小p誤差基準を用いた再帰型デジタルフィルタの合成」. IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics . 20 (4): 257– 263. doi :10.1109/TAU.1972.1162392.