ディリクレ関数

数学において、ディリクレ関数^{[1] [2]は、}実数集合に対する有理数集合の指示関数 であり、つまり、実数xに対してxが有理数である場合、 xは有理数ではなく（つまり無理数である場合）、となる。 ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=1}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=0}$ $${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}$$

これは数学者ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレにちなんで名付けられました。^{[3]これは多くの状況に反例を提供する}病的な関数の例です。

位相的性質

• ディリクレ関数は連続ではありません。連続関数の定義を参照することで、有理引数と無理引数の両方において連続性に反することを示すことができます。
  証拠

  • yが有理数の場合、 f ( y ) = 1 です。関数がyで連続ではないことを示すには、 δ をどれだけ小さくしても、 yのδ内に点zが存在し、f ( z )がf ( y ) = 1のε内に収まらないようなεを見つける必要があります。実際、1 ⁄ 2はそのようなεです。無理数は実数に稠密であるため、 δ をどれだけ小さくしても、 yのδ内に無理数z が必ず存在し、f ( z ) = 0は1 から少なくとも1 ⁄ 2離れています。
  • yが無理数の場合、 f ( y ) = 0 となります。ここでもε = 1 ⁄ 2とすることができ、今回は有理数が実数に稠密であるため、z をyに必要最小限の有理数として選ぶことができます。ここでも、f ( z ) = 1はf ( y ) = 0から1 ⁄ 2以上離れています。
  有理数集合と無理数集合への制約は定数であり、したがって連続である。ディリクレ関数は、ブルンベルクの定理の典型的な例である。
• ディリクレ関数は、連続関数の列の二重点極限として、次のように構成できる。 整数jとkに対して。これは、ディリクレ関数がベールクラス2の関数であることを示す。ベールクラス1の関数は希薄集合上でのみ不連続となるため、ディリクレ関数はベールクラス1の関数にはなり得ない。^[4]$${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)}$$

周期性

任意の実数xと任意の正の有理数Tに対して、 が成り立ちます。したがって、ディリクレ関数は、定数ではないが、周期の集合、すなわち有理数の集合が の稠密部分集合である実周期関数の例です。 ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x+T)=\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

統合プロパティ

• ディリクレ関数は、不連続点の集合が無視できない（ルベーグ測度の場合）ため、有界であるにもかかわらず、 の任意のセグメント上でリーマン積分可能ではありません。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ディリクレ関数は、任意の有界区間上で上ダルブー積分（つまり、）と下ダルブー積分（0）の両方を持ちますが、 の場合、それらは等しくないため、ディリクレ関数は任意の非退化区間上でダルブー積分可能ではありません（したがって、リーマン積分可能ではありません）。${\displaystyle b-a}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<b}$
• ディリクレ関数は、リーマン積分の文脈では 単調収束定理が成り立たないことを示す反例を提供します。
  証拠

  0から1までの有理数の列挙を用いて、関数f _n（すべての非負整数nに対して）を、この有理数列の最初のn項の集合の指示関数として定義する。関数f _nの増加列（非負で、リーマン積分可能で、積分値が零となる）は、リーマン積分不可能なディリクレ関数に各点収束する。

• ディリクレ関数は上でルベーグ積分可能であり、 上での積分はゼロである。なぜなら、(ルベーグ測度の場合) 無視できる有理数集合以外ではゼロだからである。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

参照

• トーマ関数は、有理数においてのみ不連続となる変分である。

参考文献

1. 「ディリクレ関数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
2. ディリクレ関数 — MathWorldより
3. ルジューヌ・ディリクレ、ピーター・グスタフ (1829)。 「三角法シリーズの収束は、制限の範囲内での任意の表現者としての役割を果たします。」数学に関するジャーナル。4：157～ 169。この関数は169ページで定義されています
4. ダナム、ウィリアム (2005). 『微積分ギャラリー』プリンストン大学出版局. p. 197. ISBN 0-691-09565-5。