分散関係

プリズムでは、分散により異なる色が異なる角度で屈折し、白色光が虹色に分割されます。

物理科学および電気工学において、分散関係は媒体中の波の特性に対する分散の影響を記述します。分散関係は、波の波長または波数とその周波数を関連付けます。分散関係が与えられれば、媒体中の波の各正弦波成分の周波数依存位相速度と群速度を周波数の関数として計算できます。形状依存および材料依存の分散関係に加えて、包括的なクラマース・クローニッヒ関係は、波の伝播と減衰の周波数依存性を記述します。

分散は、幾何学的境界条件（導波管、浅瀬）または波と伝送媒体との相互作用によって引き起こされる場合があります。物質波として考えられる素粒子は、幾何学的制約や他の媒体がない場合でも、非自明な分散関係を持ちます。

分散が存在する場合、波は不変の波形で伝播せず、明確な周波数依存の位相速度と群速度が生じます。

分散

分散は、異なる波長の正弦波が異なる伝播速度を持つ場合に発生し、混合波長の波束は空間的に広がる傾向があります。平面波の速度は、波の波長の関数です。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle v=v(\lambda ).}$

波の速度、波長、周波数fは次の関係にある。

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).}$

関数は与えられた媒質の分散関係を表す。分散関係は一般的には角周波数と波数で表される。上記の関係をこれらの変数で書き直すと、 ${\displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.}$

ここで、f をkの関数として見ています。位相速度ω / kと群速度dω / dkの両方がこの関数によって便利に表現できるため、分散関係を記述するためにω ( k )を使用することが標準となっています。

検討されている平面波は次のように記述できる。

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},}$

どこ

• Aは波の振幅であり、
• A ₀ = A (0, 0)、
• xは波の進行方向に沿った位置であり、
• tは波が記述される時間です。

真空中の平面波

真空中の平面波は波の伝播の最も単純な例です。幾何学的な制約はなく、伝送媒体との相互作用もありません。

真空中の電磁波

真空中の電磁波の場合、角周波数は波数に比例します。

${\displaystyle \omega =ck.}$

これは線形分散関係であり、この場合、波は非分散的であると言われる。^[1]つまり、位相速度と群速度は同じである。

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,}$

したがって、どちらも真空中の光速度に等しく、周波数に依存しません。

ド・ブロイの分散関係

ド・ブロイ物質波の場合、周波数分散関係は非線形です。 この式は、非相対論的近似において、真空中の 物質波の周波数は波数（ ）に応じて変化することを示しています。この変化は2つの部分、すなわち静止質量のド・ブロイ周波数（）による定数部分と、運動エネルギーによる2乗部分から成ります。 $${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

導出

物質波の応用は非相対論的な速度で起こるが、ド・ブロイは 特殊相対論を適用して彼の波を導出した。相対論的なエネルギーと運動量の関係から出発して、 物質波のエネルギーと運動量に関するド・ブロイの関係 を用いると、 $${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

${\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}$

ここで、ωは角周波数、kは波数に等しい大きさ| k | = kを持つ波数ベクトルです。これを で割って平方根をとります。これにより、相対論的な周波数分散関係が得られます。 ${\displaystyle \hbar }$ $${\displaystyle \omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}$$

物質波の実際的な研究は非相対論的な速度で行われる。近似値を求めるために、静止質量に依存する周波数を取り出す。 $${\displaystyle \omega ={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}{\sqrt {1+\left({\frac {k\hbar }{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

すると、係数が非常に小さいことが分かるので、あまり大きくならないように展開して掛け合わせます。 これで、上で述べた非相対論的近似が得られます。非相対論的シュレーディンガー方程式 から始めると、最初の項である静止質量がなくなります。 ${\displaystyle \hbar /c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}\approx 1+x^{2}/2,}$ $${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$

周波数と波数

前述のように、媒質における吸収ではなく屈折、つまり屈折率の実数部に焦点を当てる場合、角周波数の波数に対する関数的依存性を分散関係と呼ぶのが一般的です。粒子の場合、これはエネルギーを運動量の関数として理解することを意味します。

波と光学

「分散関係」という名称は、もともと光学に由来する。屈折率が一定でない物質に光を通したり、導波路などの不均一な媒体に光を用いたりすることで、光の実効速度を波長に依存させることは可能である。この場合、波形は時間とともに広がり、狭いパルスが長いパルス、つまり分散する。これらの物質では、は群速度^[2]として知られており、パルスのピークが伝播する速度に対応し、位相速度^[3]とは異なる値となる。${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$

深海の波

深海における表面重力波の周波数分散。■の赤い四角は位相速度とともに移動し、●の緑の点は群速度とともに伝播する。この深海の場合、位相速度は群速度の2倍である。■の赤い四角が図を横切る時間は、●の緑の点が半分移動する時間と同じである。

深海波の分散関係は次のように表されることが多い。

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

ここでgは重力加速度である。この点で、深水とは一般に水深が波長の半分よりも深い場合を指す。^[4]この場合、位相速度は

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$

そして群速度は

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

弦の上の波

非分散横波の2周波数ビート。この波は非分散性であるため、●位相速度と●群速度は等しい。

理想的な弦の場合、分散関係は次のように表される。

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

ここで、 Tは弦の張力、μは弦の単位長さあたりの質量です。真空中の電磁波の場合と同様に、理想的な弦は非分散媒質であり、位相速度と群速度は等しく、振動周波数とは（一次まで）独立しています。

非理想的な弦の場合、剛性を考慮すると、分散関係は次のように表される。

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$

ここで、は文字列に依存する定数です。 ${\displaystyle \alpha }$

電子バンド構造

固体の研究において、電子の分散関係の研究は極めて重要です。結晶の周期性は、与えられた運動量に対して多くのエネルギー準位が存在できること、そしてあるエネルギーはどの運動量においても存在できない可能性があることを意味します。考えられるすべてのエネルギーと運動量の集合は、物質のバンド構造として知られています。バンド構造の特性によって、物質が絶縁体、半導体、あるいは導体のいずれであるかが定義されます。

フォノン

固体中の音波に対するフォノンは、光子に対する光子のような存在です。つまり、音波を運ぶ量子です。フォノンの分散関係もまた、物質の音響特性や熱特性に直接関係するため、重要かつ非自明です。ほとんどの系において、フォノンは主に2つのタイプに分類できます。ブリルアンゾーンの中心でバンドがゼロになるフォノンは、長波長の極限における古典音波に対応するため、音響フォノンと呼ばれます。その他のフォノンは、電磁放射によって励起されるため、 光学フォノンと呼ばれます。

電子光学

透過型電子顕微鏡の高エネルギー電子（例えば、200 keV、32 fJ）を用いた収束ビーム電子回折（CBED）パターンにおける高次ラウエ領域（HOLZ）線のエネルギー依存性を利用することで、結晶の3次元分散面の断面を直接画像化することが可能になる。^[5]この動的効果は、格子定数やビームエネルギーの精密測定、さらに最近では電子産業における格子ひずみの測定に応用されている。

歴史

アイザック・ニュートンはプリズムの屈折を研究したが、分散関係の物質依存性を認識できず、プリズムの分散の測定値がニュートン自身のものと一致しなかった他の研究者の研究を却下した。^[6]

水面上の波の分散は1776年にピエール・シモン・ラプラスによって研究された^。[7]

クラマース・クローニッヒ関係式（1926-27）の普遍性は、あらゆる種類の波と粒子の散乱理論における分散関係と因果関係との関連に関するその後の論文によって明らかになった。 ^[8]

参照

• エリプソメトリー
• 超短パルス
• プラズマの波

注記

1. アブロウィッツ 2011、19～20頁。
2. FA Jenkins、HE White (1957). 『光学の基礎』ニューヨーク: McGraw-Hill. p. 223. ISBN 0-07-032330-5。
3. RA Serway, CJ Moses, CA Moyer (1989). Modern Physics . フィラデルフィア: Saunders. p. 118. ISBN 0-534-49340-8。
4. RG DeanとRA Dalrymple (1991).エンジニアと科学者のための水波力学. 海洋工学上級シリーズ. 第2巻. World Scientific, シンガポール. ISBN 978-981-02-0420-4。64～66ページをご覧ください。
5. PM Jones, GM Rackham, JW Steeds (1977). 「電子回折における高次ラウエゾーン効果と格子定数決定への利用」Proceedings of the Royal Society A 354 (1677): 197. Bibcode :1977RSPSA.354..197J. doi :10.1098/rspa.1977.0064. S2CID  98158162.
6. ウェストフォール、リチャード・S. (1983). 『決して休むことなく：アイザック・ニュートンの伝記』（イラスト入り、改訂版）ケンブリッジ大学出版局. 276ページ. ISBN 9780521274357。
7. ADD Craik (2004). 「水波理論の起源」. Annual Review of Fluid Mechanics . 36 : 1– 28. Bibcode :2004AnRFM..36....1C. doi :10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118.
8. John S. Toll (1956). 「因果律と分散関係：論理的基礎」. Phys. Rev. 104 ( 6): 1760– 1770. Bibcode :1956PhRv..104.1760T. doi :10.1103/PhysRev.104.1760.

参考文献

• アブロウィッツ、マーク・J. (2011-09-08).非線形分散波. ケンブリッジ、イギリス; ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-01254-7. OCLC  714729246。

外部リンク

• 分散面の可視化を支援するCBEDシミュレーションに関するポスター（Andrey ChuvilinとUte Kaiser）
• 角周波数計算機