二重井戸電位

位置aとaで最小値を持つ二重井戸ポテンシャル。粒子はどちらの側にも存在でき、また（移動またはトンネル効果によって）一方から他方の側に切り替えることもできます。

量子力学において、二重井戸ポテンシャルは、多くの場合過度に単純化することなく明示的な計算を可能にするため、さまざまな物理現象や数学的特性の探究に使用される 4 次ポテンシャルの 1 つです。

特に対称的な二重井戸型ポテンシャルは、ユークリッド場の理論における擬古典的構成としてのインスタントンの概念を説明するためのモデルとして機能します。^{[1]より単純な量子力学の文脈では、このポテンシャルは}経路積分の評価モデルとして機能しました。^{[2] [3]}または、エネルギー固有値を明示的に得る目的でさまざまな方法によって シュレーディンガー方程式を解くモデルとして機能します。

一方、反転対称二重井戸ポテンシャルは、シュレーディンガー方程式における崩壊率の計算^[4]や漸近展開の大規模挙動の探究において重要なポテンシャルとして機能した。^{[5] [6] [7]}

4 次ポテンシャルの 3 番目の形式は、純粋に離散的なエネルギー スペクトルを持つ、摂動を受けた単純な調和振動子または純粋な非調和振動子の形式です。

4 番目に考えられる 4 次ポテンシャルのタイプは、上記の最初の 2 つのうちの 1 つと非対称な形状のポテンシャルです。

二重井戸型ポテンシャルやその他の4次ポテンシャルは、様々な方法で扱うことができます。主な方法としては、(a) 摂動法（ロバート・バルソン・ディングルとハラルド・JW・ミュラー＝キルステン^[8]によるもので、境界条件の適用が必要です）、(b) WKB法、(c) 経路積分法があります。これらの方法はいずれもミュラー＝キルステン^[9]の著書で詳細に扱われています。マシュー関数の漸近展開とその固有値（特性数とも呼ばれます）の大きな次数での挙動は、ディングルとミュラー＝キルステンによる別の論文[ ^10]で導出されています。

対称的な二重井戸

文献における主な関心は（場の理論に関連する理由により）対称的な二重井戸（ポテンシャル）と、そこでの量子力学的基底状態に集中している。ポテンシャルの中央のこぶを通るトンネル効果が含まれるため、このポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式の固有エネルギーの計算は簡単ではない。基底状態の場合には、インスタントンおよび反インスタントンとして知られる擬古典的構成によって媒介される。明示的な形式では、これらは双曲型関数である。擬古典的構成であるこれらは、半古典的な考察で自然に現れ、（大きく離れた）インスタントン-反インスタントン対の和は、希薄気体近似として知られている。最終的に得られる基底状態固有エネルギーは、インスタントンのユークリッド作用の指数を含む式である。これは因子を含む式であるため、（古典的に）非摂動効果として説明される。 ${\displaystyle 1/\hbar }$

対称的な二重井戸型自己相互作用を持つスカラー場の理論の経路積分理論におけるインスタントン配置の安定性を、インスタントン周りの微小振動方程式を用いて調べる。この方程式は、非負の固有値を持つポシュル＝テラー方程式（すなわち、ポシュル＝テラーポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式のような2階微分方程式）であることが分かる。固有値の非負性は、インスタントンの安定性を示す。^[11]

上述のように、インスタントンは、ポテンシャルの2つの井戸間を繋ぐ無限ユークリッド時間直線上に定義される擬粒子配置であり、系の基底状態を担う。高次の状態、すなわち励起状態を担う配置は、ユークリッド時間の円周上に定義される周期インスタントンであり、これはヤコビ楕円関数（三角関数の一般化）で表される。これらの場合の経路積分の評価には、対応する楕円積分が用いられる。これらの周期インスタントンを中心とする微小変動の方程式はラメ方程式であり、その解はラメ関数である。不安定性（反転二重井戸ポテンシャルなど）の場合、この方程式は負の固有値を持ち、この不安定性、すなわち減衰を示す。^[11]

ディングルとミュラーの摂動法（元々はマシュー方程式、すなわち余弦ポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式に適用された）を適用するには、四次ポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式のパラメータ対称性を利用する必要がある。ポテンシャルの2つの極小値のうちの1つを中心に展開する。さらに、この手法では、重なり合う領域における異なる解の枝を整合させる必要がある。境界条件を適用することで、最終的に（周期ポテンシャルの場合と同様に）非摂動効果が得られる。

対称二重井戸ポテンシャルのシュレーディンガー方程式のパラメータに関して、次の式で表される。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;c^{2}>0,h^{4}>0,}$

の固有値は次のように表される（ミュラー・キルステンの著書、公式（18.175b）、p.425参照）。 ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \;\;\;\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

明らかに、これらの固有値は、ポテンシャルの調和関数から予想されるように、漸近的に（ ）退化しています。結果の摂動項は、 と において偶奇が交互に現れることに注意してください（マシュー関数、ラメ関数、長球状波動関数、扁平球状波動関数など の対応する結果と同様です）。${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle h^{2}}$

場の理論の文脈では、上記の対称的な二重井戸型ポテンシャルは、（スカラー場である）と 書かれることが多い。${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2},}$

そしてインスタントンはニュートンのような方程式の 解である${\displaystyle \phi _{c}(\tau )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),\;\;\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{d\tau }}\right)^{2}-V(\phi )=-E_{cl}=0}$

（ユークリッド時間）、すなわち ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right].}$

についての小さな変動の方程式は ポシュル・テラー方程式である（ポシュル・テラーポテンシャルを参照）。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,}$

${\displaystyle \left[-{\frac {d^{2}}{d\tau ^{2}}}+V''(\phi _{c})\right]\eta _{n}(\tau )=\omega _{n}^{2}\eta _{n}(\tau ),}$

と

${\displaystyle V''(\phi _{c})=4m^{2}-{\frac {6m^{2}}{\cosh ^{2}m(\tau -\tau _{0})}}.}$

すべての固有値は正またはゼロなので、インスタントン構成は安定しており、減衰はありません。 ${\displaystyle \omega _{n}^{2}}$

より一般的な古典的解は周期的インスタントンである。 ${\displaystyle E_{cl}\neq 0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {kb(k)}{g}}sn[b(k)(\tau -\tau _{0})],\;\;\;b(k)=m\left({\frac {2}{1+k^{2}}}\right)^{1/2},}$

ここで、周期的ヤコビ楕円関数の楕円係数である。この小さな変動方程式は、この一般的な場合にはラメ方程式となる。極限において、解は真空インスタントン解となる。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle sn}$ ${\displaystyle k=1,E_{cl}=0}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$

${\displaystyle \phi _{c}={\frac {m}{g}}\tanh[m(\tau -\tau _{0})].}$

反転二重井戸ポテンシャル

摂動論、重なり合う領域における解のマッチング、そして境界条件（二重井戸の場合とは異なる）の適用を併用することで、このポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式の固有値を求めることができる。ただし、この場合はポテンシャルの中心の谷の周りを展開するため、結果は上記のものとは異なる。

逆二重井戸ポテンシャルのシュレーディンガー方程式のパラメータに関して、次の式で表される。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

の固有値は次のように表される（ミュラー・キルステンの著書、式（18.86）、p.503参照）。 ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})+i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

この表現の虚数部はCM BenderとTT Wuの結果と一致する（彼らの公式（3.36）を参照し、、表記 と設定する）。^[12]この結果は、摂動論の大規模動作の議論と調査において重要な役割を果たす。 ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon }$

純粋非調和振動子

純粋非調和振動子のシュレーディンガー方程式のパラメータに関しては、次の式で表される。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

の固有値は次のように求められる。 ${\displaystyle q=q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}qh^{2}+{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q^{2}+1)-{\frac {c^{4}}{h^{10}}}q(4q^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}}).}$

より多くの項は簡単に計算できます。展開の係数は、他のすべての場合と同様に、およびでは偶数または奇数を交互に繰り返すことに注意してください。これは、4次ポテンシャルの微分方程式の解の重要な側面です。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle h^{2}}$

一般的なコメント

二重井戸および反転二重井戸に対する上記の結果は、経路積分法（ここでは周期インスタントン経由、インスタントンを参照）および WKB 法によっても得ることができますが、楕円積分およびガンマ関数のスターリング近似を使用するため、計算はより困難になります。結果のq → - q、→ -の変化における摂動部分の対称性は、シュレーディンガー方程式からの導出でのみ得られます。したがって、これが結果を得るためのより適切かつ正しい方法です。この結論は、固有値方程式で同様の特性を示すマシュー方程式やラメ方程式などの他の 2 階微分方程式の調査によって裏付けられています。さらに、これらの各ケース（二重井戸、反転二重井戸、コサインポテンシャル）において、古典的な構成に関する小さな変動の方程式はラメ方程式です。 ${\displaystyle h^{2}}$ ${\displaystyle h^{2}}$

参考文献

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